Correlación
©1997-Sep-06 Pedro Juan Rodríguez Esquerdo
Departamento de Matemáticas
UPR Río Piedras
Medidas de hojas




Toma una muestra de n=16 hojas.
Mide su ancho(A), largo(L) y área(Am).
¿Hay alguna relación cuantitativa lineal
entre el área medida(Am) y el área del
rectángulo L x A (Ar)?
¿Cómo se puede encontrar?
¿Qué relación hay entre LxA
de una hoja con su área real?
R e la c io n e n t r e L x A y e l a r e a d e la s
h o ja s d e l a r b o l A
16
A r e a d e la h o ja
14
12
10
8
6
4
2
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
L a r g o x A n c h o d e la h o ja
22
24
26
Examina la relación
R e la c io n e n t r e L x A y e l a r e a d e la s
h o ja s d e l a r b o l A
16
xi  x
A r e a d e la h o ja
14
-+
12
++
10
yi  y
y
8
6
4
--
2
+-
x
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
L a r g o x A n c h o d e la h o ja
22
24
26
Coeficiente de correlación
Si la pendiente de la recta es positiva se espera que :
n
 (x
i
 x )( y i  y )  0
i 1
La variación entre las variables x, y se compara con la variación
interna de cada variable: n
(x  x)( y
i
i
 y)
i 1
r

n
n
(x  x) ( y
2
i
i 1
i
i 1
 y)
2
sxy
sx s y
Significado de la correlación
n
n
 (x
i
 (x
 x )( y i  y )
i 1
r 
 m
n
 (x
i 1
n
i
 x)
2
 (y
i 1
i
 x)
2
i
 y)
2
i 1
n
i
 y)
2
 (y
i 1
El coeficiente de correlación y la pendiente tienen el
mismo signo.
r es una medida de la dependencia estadística
(numérica) lineal entre las variables x, y.
Ejemplos de correlación
r>0
r cerca de 0
r<0
No hay relación lineal
Propiedades de r
r > 0 si y solo si m > 0.
-1 < r < 1.
r cerca de 1 indica dependencia lineal creciente
fuerte.
r cerca de 0 indica no hay dependencia lineal.
r cerca de -1 indica dependencia lineal decreciente
fuerte.
Propiedades de r



x, y pueden estar correlacionadas, pero
NO quiere decir que x causa y o que y
causa a x.
x, y pueden ser dependientes, pero su
coeficiente de correlación puede ser 0:
Ejemplo:


x = -1, 0, 1
y = x2 pero ¡r = 0!
(su dependencia NO es lineal)
Dependientes pero no
correlacionadas
Y
1
-1
0
1
numerador de r = (-1).33 + (0)0 + (1).33 = 0
X
Relación con coeficiente de
determinación

Cuando se estima la línea de regresión de
UNA variable dependiente y en función
de UNA variable independiente x

El coeficiente de correlación es la raíz
cuadrada del coeficiente de determinación:
r 
R
2

SSR
SST

SST  SSE
SST
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Ejemplo de experimento