Sean A y B dos conjuntos arbitrarios.
Una función de A en B es una asociación entre elementos
de A y B donde a todos y cada uno de los elementos de A
se les asocia un único elemento de B.
 El conjunto A se llama dominio de la función.
 Al conjunto B se le denomina codominio o contradominio.
Es el conjunto de todos los valores posibles que puede
tomar la función.
También se le llama imagen del dominio bajo la función.
Dada la función f : A  B el rango de f , es el conjunto
Rango de f   x  B : x  f  a  para alguna a  A
 Evidentemente el rango de f es un subconunto del
contradominio:
El rango de Rango de f  Contradominio de f
Una función real de una variable
real es una función cuyo dominio
es un subconjunto de los números
reales y su contradominio son los
números reales.
Su rango es también un
subconjunto de los reales.
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
y1  f1(x) y y2  f 2 (x).
Se llama función suma de ambas, a la función:
ys  y1  y2  f1(x)  f 2 (x).
Análogamente podemos definir la función diferencia como
yd  y1  y2  f1(x)  f 2 (x)
El dominio de definición de la función suma, y también el de la
función diferencia será la intersección de los dominios de ambas
funciones.
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
y1  f1 ( x) y y2  f 2 ( x).
Se llama función producto de ambas, a la función:
yp  y1  y2  f1 ( x)  f 2 ( x)
Análogamente a lo que ocurre con las funciones suma y diferencia,
el dominio de definición de esta función vuelve aser la intersección
de los dominios.
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
y1  f1 ( x) y y  f 2 ( x).
Se llama función cociente de ambas, a la función:
y1 f1  x 
yC = =
y2 f 2  x 
El dominio de definición de esta función es la intersección de los
dominios, menos todos los puntos que anulen a f 2 ( x), puesto que
serán puntos que anulen el denominador de dicha función.
Dadas dos funciones y  f ( x), z  g ( y ),
se llama función compuesta
g
f
a la función
g
f  x   g  f  x  
Para que exista la función compuesta es necesario
que el recorrido de la función f quede totalmente
incluido en el dominio de la función g.
Dominio  g f    x  Dom  f  tales que f  x   Dom  g 
Sea f : D  R  R..
Se llama gráfica de la
función al conjunto
G   x, y   R ( x, f ( x))
2
El concepto de “límite” describe
el comportamiento de una
función cuando su argumento se
“acerca” a algún punto o se
vuelve extremadamente grande
Sea y  f(x) una función y c un número real.
La expresión
lim f  x   L
x c
significa que f  x  se puede hacer tan cercano a L como se
quiera haciendo x suficientemente cercano a c.
Se dice "el límite de f en x, cuando x se aproxima a c, es L ".
 Lo anterior es cierto aún si f  x   L
 Más aún, f  x  puede no estar definida en c.
Sea f : D  R  R una función y c un número real.
La expresión
lim f  x   L
x c
significa que dado  >0, existe  >0 tal
que si
0  xc 
entonces
f  x  L  .
g  x   5x2  7
g:RR
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 2?


¿lim 5 x 2  7 ?
x2
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales
Nota 2.- El contradominio de la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo [7, )  R
g:RR
g  x   5x2  7


¿lim 5 x 2  7 ?
x 2
g:RR


¿lim 5 x 2  7 ?
x 2
g  x   5x2  7
g  x   5x2  7
g:RR


¿lim 5 x 2  7 ?
x 2
13
g  x   5x  7
g:RR
2
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 2?


lim 5 x  7  13
x2
2
g  x   5x  7
g:RR
2
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 2?


lim 5 x 2  7  13
x2
En este caso,
lim f  x   f  c 
x c
x 1
Q : (0, )  1  R
Q x 
x 1
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 1?
 x 1 
¿lim 
?

x 1 
x 1
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales positivos menos el 1
Nota 2.- El contradominio de la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo 1,   R
Q : (0, )  1  R
x 1
Q x 
x 1
 x 1 
¿lim 
?

x 1 
x 1
Q : (0, )  1  R
x 1
Q  x 
x 1
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 1?
De la gráfica es claro que
 x 1 
lim 
2

x 1
 x 1
x 1
Q : (0, )  1  R
Q x 
x 1
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 1?
 x 1 
lim 
2

x 1
 x 1
Sin embargo, la función ni siquiera está definida en
x 1
3 x  4 x  5
a:R  R
a  x   2
x5
 x
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 1?
¿lim a  x  ?
x 5
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales
Nota 2.- El contradominio de la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función son todos los números reales
menos el intervalo (11,25]
a:R  R
3x  4 x  5
a  x   2
x5
 x
¿lim a  x  ?
x 5
3 x  4 x  5
a:R  R
a  x   2
x5
 x
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 5?
lim a  x   No existe
x 5
Si nos acercamos por la izquierda tiende a 11
Si nos acercamos por la derecha tiende a 25
1
E : R  0  R
E  x 
x
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 0?
1
¿ lim ?
x 0 x
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales menos el cero
Nota 2.- El contradominio de la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función son todos los números reales
E : R  0  R
1
¿lim ?
x0 x
1
E  x 
x
E : R  0  R
1
E  x 
x
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 0?
1
lim  No existe
x 0 x
Si nos acercamos por la izquierda tiende a  
Si nos acercamos por la derecha tiende a +
E : R  0  R
1
E  x 
x
E : R  0  R
1
E  x 
x
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
1
E : R  0  R
E  x 
x
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
E : R  0  R
1
E  x 
x
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
lim E  x   0
x 
Sea y  f(x) una función y c un número real.
La expresión
lim f  x   L
x c
significa que f  x  se puede hacer tan cercano a L como se
quiera haciendo x suficientemente cercano a c por la izquierda.
Se dice "el límite de f en x, cuando x se aproxima a c por
la izquierda, es L ".
 Lo anterior es cierto aún si f  x   L
 Más aún, f  x  puede no estar definida en c.
Sea y  f(x) una función y c un número real.
La expresión
lim f  x   L
x c
significa que f  x  se puede hacer tan cercano a L como se
quiera haciendo x suficientemente cercano a c por la derecha.
Se dice "el límite de f en x, cuando x se aproxima a c por
la derecha, es L ".
 Lo anterior es cierto aún si f  x   L
 Más aún, f  x  puede no estar definida en c.
f : R  0  R
sin x
y  f  x 
x
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 0?
sin x
¿lim
?
x
x0
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales menos el cero
Nota 2.- El contradominio de la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo  -1,1  R
f : R  0  R
sin x
¿lim
?
x
x 0
sin x
y  f  x 
x
f : R  0  R
sin x
y  f  x 
x
Si x  0,
Si x  0,
sin x
f  x  
x
y
sin x
lim
 1
x 0
x
sin x
f  x 
x
y
sin x
lim
1
x 0
x
f : R  0  R
sin x
y  f  x 
x
El límite por la derecha es +1
El límite por la izquierda es  1
sin x
sin x
Dado que lim
 lim
, el límite no existe
x 0
x 0
x
x
g:RR
g  x   5x2  7
En todo el dominio, el límite
por la derecha y el límite por
la izquierda son iguales
Q : (0, )  1  R
x 1
Q x 
x 1
En todo el dominio, el límite
por la derecha y el límite por
la izquierda son iguales
a:R  R
3x  4 x  5
a  x   2
x5
 x
En todo el dominio, excepto en 5,
el límite por la derecha y el límite
por la izquierda son iguales.
En 5 son 25 y 11
respectivamente
E : R  0  R
1
E  x 
x
En todo el dominio, excepto en 0,
el límite por la derecha y el límite
por la izquierda son iguales.
En 0 son +∞ y -∞
respectivamente
Sean f : D  R  R y g : C  R  R
Supongamos que existen los límites
lim f  x 
x 
y
lim g  x 
x 
i).- lim  af  x   bg  x    a lim f  x  +b lim g  x 
x 
x 
x 
Sean f : D  R  R y g : C  R  R
Supongamos que existen los límites
lim f  x 
x 
y
lim g  x 
x 
ii).- lim  f  x  g  x    lim f  x   lim g  x  
 x 
  x 

x 
Sean f : D  R  R y g : C  R  R
Supongamos que existen los límites
lim f  x 
x 
y
lim g  x 
x 
lim f  x  
 x 

iii).- lim  f  x  / g  x   
si lim g  x   0
x 
x 
lim g  x  
 x 

De manera intuitiva podemos decir que una
función es continua cuando pequeños
cambios en la variable independiente
generan pequeños cambios en la variable
dependiente.
De manera imprecisa podemos decir que
son aquellas funciones que se “dibujan sin
separar el lápiz del papel”
Una función f  x  es continua en el punto c de su dominio si:
a) f  c  está definida, es decir, c está en el dominio de f
b) lim f  x   f  c 
x c
Si una función es continua en todos los puntos de su
dominio se le denomina continua
Si una función no es continua entonces es discontinua
sin : R  R
y  sin  x 
Esta función es continua
h:R  R
 x3 x  2
y  h x  
 5 x  2
•Es discontinua en x=-2
•Es continua en todos los
otros puntos del dominio
Si f  x  y g  x  son continuas en el punto c de su dominio
y a, b son números reales arbitrarios, entonces:
i).- af  x   bg  x  es continua en c
ii).- f  x  g  x  es continua en c
f  x
iii).es continua en c, siempre y cuando
g  x
g c  0
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
•La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la
posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cancer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo
•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos
ultracomplejos?
Las funciones “describen” la
evolución de las variables
dinámicas de los sistemas
y  f  x   3x  x  20
2
x
f(x)
0
1
-1
2
-2
3
-3
20
24
22
34
30
50
44
y  f  x   3x  x  20
2
y  f  x   3x2  x  20
¿Cómo cambia la función?
•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)
•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece)
y  f  x   3x  x  20
2
¿Cómo cambia la función entre x y x?
f  f  x  f  x 
y  f  x   3x  x  20
2
¿Cómo cambia la función?
•Cuando va de 0 a 2 crece en 14
•Cuando va de -2 a 0 crece en -10 (decrece)
y  f  x   3x  x  20
2
¿Cómo cambia la función entre x y x´?
f  x   f  x 
f 
x  x
y  f  x   3x  x  20
2
f  x   f  x 
f 
x  x
f  x  f  x 
x  x
x
x
f  x   f  x 
tan  
x  x
f  x  f  x 

x  x
La recta azul es la
secante a la curva
La recta azul es la
tangente a la curva
La recta azul es la
tangente a la
curva
•La pendiente de la tangente nos
dice
•La rapidez con que la función está
•cambiando en ese punto

f  x   f  x 
m  lim
x  x
x  x
f  x   f  x 
df
 x   xlim
 x
dx
x  x
La recta azul es la
tangente a la curva
df
m
 x   tan 
dx

Dada una función
f  x
se define su derivada en el punto x0 como
f  x   f  x0 
df
 x0   xlim
 x0
dx
x  x0
y  f  x
f :R R
x
y  f  x
f  x  h  f  x 

h
x
msecante
xh
f  x  h  f  x
 tan  
h
x
y  f  x

x
mtangente
x
f  x  h   f  x  df  x 
 tan   lim

h0
h
dx
f :D RR
f  x   f  x0 
df
 x  x0   xlim
 x0
dx
x  x0
f  x

x
x0
df
 x  x0   tan 
dx
v:R  R
v x  a
donde a es un número real arbitrario, pero fijo.
Es decir, v es una función constante igual a a.
v:R  R
v x  a
v  x   v  x0   a  a  0
v  x   v  x0 
0
x  x0
v  x   v  x0 
lim
0
x  x0
x  x0
da
 x0   0
dx
Esto es válido para todos los puntos del dominio
v:R  R
v x  a
donde a es un número real arbitrario, pero fijo.
Es decir, v es una función constante igual a a.
La derivada es cero,
La función “no cambia”
v:R  R
v x  a
dv
0
dx
l:RR
l  x   mx  b
donde m y b son números reales.
Esta es la función lineal más general,
es decir, l  x   mx  b engloba todas
las rectas posibles.
 El real m es la pendiente de la recta, es decir,
la tangente del ángulo  que hace con el eje X
 El real b es la ordenda al origen, es decir,
el punto en el cual la recta corta al eje Y
l  x   mx  b
l:RR
b
m  tan 

l:RR
l  x   mx  b
l  x   l  x0   mx  b   mx0  b   m  x  x0 
l  x   l  x0  m  x  x0 

m
x  x0
x  x0
l  x   l  x0 
lim
 lim m  m
x  x0
x  x0
x  x0
d  mx  b 
dl
 x0  
 x0   m
dx
dx
para todo x0 en el dominio
l:RR
dl
 x0   m
dx
Es lógico, la tangente
a la recta es ella misma.
El cambio está dado por
la inclinación de la recta
l  x   mx  b
l:RR
l  x   mx  b
dl
m
dx
f :RR
Una parábola
f  x   ax
2
f  x   ax 2
f :RR
f  x   f  x   ax2  ax 2  a  x2  x 2   a  x  x  x  x 
f  x   f  x  a  x  x  x  x 

 a  x  x 
x  x
x  x
f  x   f  x 
lim
 lim a  x  x  
x  x
x  x0
x  x0


 a lim  x  x   a lim x  x  a  x  x   2ax
x  x
df
 x 
dx
d  ax 2 
dx
x  x
 2ax
f :RR
f  x   ax
2
df
 2ax
dx
f  x   f  x 
df
 x   xlim
 x
x  x
dx
f  x  h  f  x
df
 x   hlim
0
h
dx
f  x  x   f  x 
df
 x   lim
x 0
x
dx
n
dx
n 1
 nx
dx
x
de
x
e
dx
d ln x 1

dx
x
d sin x
 cos x
dx
d cos x
  sin x
dx
d tan x
2
 sec x
dx
http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_derivatives
df
 x
dx
df  x 
dx
Df
f  x
Lo opuesto de una derivada es una
antiderivada o integral indefinida
La integral indefinida de una función f  x 
se denota como
 f  x  dx
y está definida por la propiedad
d
f  x  dx  f  x 

dx
d
f  x  dx  f  x 

dx
 Si una función es diferenciable, su derivada es única
 Una función tiene un número infinito de integrales,
que difieren por una constante aditiva
La integral indefinida de una función cuya derivada
es identicamente cero es una constante,
es decir,
 0dx  c
donde c es una constante arbitraria.
La integral indefinida de una función identicamente
cero es una constante.
Función constante:
f :RR
f  x   a donde a es una constante
La integral indefinida de la función constante es
 adx  ax  c
donde c es una constante arbitraria
Función identidad
I:
I :RR
I  x  x
La integral indefinida de la función identidad es
2
x
 xdx  2  c
donde c es una constante arbitraria
f :RR
f  x  x
n
n entero, n  1
n
La integral indefinida de la función x es
n 1
x
 x dx  n  1  c
donde c es una constante arbitraria
n
f : R  0  R
1
f  x 
x
Dado que
d
1
ln  x  
dx
x
se tiene que
dx
 x  ln x  c
donde c es una constante arbitraria
De:
es claro que:
d sin x
 cos x
dx
 sin xdx   cos x
d cos x
  sin x
dx
cos
xdx

sin
x

Tenemos que
d
exp  x   exp  x 
dx
así que
exp
x
dx

exp
x

c





donde c es una constante arbitraria
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
indefinidas:
- La integral indefinida de una combinación lineal
 af  x   bg  x  dx  a  f  x  dx  b g  x  dx
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
indefinidas:
- De la regla de la cadena tenemos
a
a 1
d
 f  x    a  f  x   f   x 
dx
así que
 f  x  
  f  x  f   x  dx  a  1
a
a 1
 c con a  1
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
indefinidas:
- De la derivada del logaritmo
f  x
d
ln  f  x   
dx
f  x
tenemos

f  x
dx  ln f  x   c
f  x
d
1
ln x 
para x  0
dx
x
De la regla de la cadena se tiene

f   d   f  g  x   g   x  dx
donde   g  x 
f :RR
f  x
x
b

f  x  dx
a
f  x
x
b

f  x  dx
a
f  x
a
x
b

f  x  dx
a
f  x
a
b
x
b

f  x  dx
f  x
a
Esta área
a
b
x
b
 f  x  dx
f  x
a
Esta área
a
b
x
La integral de a a b de la función f, es el área bajo la
curva de la gráfica de la función entre a y b
f  x   2  x  3x  x
2
3
f  x   2  x  3x  x
2
3
f  x   2  x  3x 2  x3
2:5
  2  x  3x
2

2:5
 x 3 dx  2  dx 
1.0
1.0
2.5
2:5
2:5

xdx  3  x 2 dx 
1.0
1.0
2.5
2:5

x 3dx 
1.0
2.5
2.5
1 
1 
1 
 2  x 1.0   x 2   3  x 3    x 4  
 2 1.0
 3 1.0  4 1.0
1
1
 2  2.5  1.0   2.52  1.0 2  2.53  1.03  2.54  1.0 4 
2
4
1
1
 2 1.5    6.25  1.0   15.625  1.0    39.063  1.0  
2
4
1
1
 3.0   5.25   14.625   38.063 
2
4
 3.0  2.625  14.625  9.5158  5.4842

 



f  x   2  x  3x  x
2
3
n 1
Valor aproximado  6.1172
Valor exacto  5.4844
n2
Valor aproximado 5.6426
Valor exacto 5.4844
n4
Valor aproximado  5.5239
Valor exacto  5.4844
n  10
Valor aproximado  5.4907
Valor exacto  5.4844
n  50
Valor aproximado  5.4846
Valor exacto  5.4844
n  100
Valor aproximado  5.4844
Valor exacto  5.4844
f  xi 
f  xi  xi
N
 f  x  x
i 0
i
i
N
lim
xi  0
 f  x  x
i 0
i
i
b
N
lim
xi  0
 f  x  x   f  x  dx
i 0
i
i
a
Linearidad
b
b
b
a
a
a


rf
x

sg
x





 dx  r  f  x  dx  s  g  x  dx
División del rango de integración
b

a
c
b
a
c
f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
Antisimetría
b

a
a
f  x  dx    f  x  dx
b
a

a
f  x  dx  0
f  x  2
f :RR
4
4
4
 f  x  dx   2dx  2 dx  2  x 
4
2
2
2
2
2 2  4
 2  4  2  2  2  4
g  x   3x  2
g:RR
0
0
0
0
3
3
3
3
 g  x  dx    3x  2  dx  3  xdx  2  dx 
2
2

3 
x 

0
0
 3    2  x 3  3  
  2 0   3  
2 
 2
 2  3
27
15
9
 3    2  3 
6
2
2
2
2
0
3 2  6
3  9 27

2
2
27
15
6
2
2
h  x   8 x 2  3x
h:R  R
2
 h  x  dx 
2
2

2

2
2
2
2
8 x 2  3x dx  8  x 2dx  3  xdx 
3
2
3
2



2  
x 
x 

2  2 
2
 8   3   8 
  3 

3 
2 
 3
 2
 3  2
 2  2
8 8  4 4
 16  128
 8     3    8   
3
3 3  2 2
 3
3
2
2
2
Definimos la función
x
F  x    f   d 
a
donde a es una constante
y
x es la variable independiente
x
f  x
F  x    f   d 
a
x
a
x
F  x    f   d 
a
Se tiene
d
F  x  f  x
dx
b
f
x
dx

F
b

F
a







a
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