Capítulo 5
Grafos eulerianos
Definición de grafo euleriano:
Un grafo se dice euleriano si
contiene un circuito euleriano.
Un circuito euleriano es un circuito
simple que recorre todas las aristas
del grafo.
Ejemplos
1. El ciclo Cn es euleriano.
2. K2,2 es euleriano.
Resultado de Euler
Teorema: Un multigrafo G se dice euleriano si y
solamente si todos sus vértices son de grado
par y todas sus aristas están en la misma
componente conexas (conexo salvo vértices
aislados).
Si es euleriano entonces el grado de cada vértice
es par puesto que el circuito euleriano (que
contiene todas las aristas) entra y sale de él.
El recíproco es constructivo
• Paso 1: Buscamos un circuito simple en G
(hay que demostrar que existe).
• Paso 2: Borramos de G dicho circuito y los
vértices que se queden aislados.
• Paso 3: Volvemos a empezar con el nuevo
grafo.
Continuamos
• Paso 4: Insertamos adecuadamente el
circuito para ir construyendo el circuito
euleriano (que va creciendo).
Existe el circuito simple
• Tomamos cualquier vértice v.
• Tomamos un camino simple de longitud
máxima partiendo de v.
• v=u1,u2,…,us. Si us=v fin. Si no, existe un
vértice que es adyacente con us (pues su
grado es par), contradiciendo que la
longitud es máxima.
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