Titulación:
Ingeniero Geólogo
Ultima actualización: 03/10/2015
Asignatura: Análisis Numérico
Autor:
César Menéndez
Ecuaciones diferenciales
ordinarias:
Problemas de contorno
Planificación:
Materiales:
Conocimientos previos:
4 Teoría+1 Prácticas+2 Laboratorio
MATLAB
Tmas. básicos de Cálculo –
Desarrollos de Taylor – Sistemas
lineales –
1
Análisis Numérico
EDO-Valor Inicial
por César Menéndez Fernández
Descripción del problema
Motivación
Objetivos
Temario
Introducción
Métodos de Disparo
Diferencias Finitas
Elementos Finitos

Obtener las funciones que verifican una ecuación en
que la variable dependiente se relaciona con su
variación con respecto a la variable independiente.

Ejemplo: Ley de Newton aplicada al cálculo de la
velocidad de descenso de un paracaidista:
dv  F
F

m
a

a



dt
m

Fuerzas actuantes:
Bibliografía
Software
–
–
Gravedad (peso)
Resistencia del paracaídas al aire



dv
dt
Opuesta al descenso
Proporcional a la velocidad
Coeficiente de resistencia
 g c
v
m
 ¿ v t  ?
ct


gm 
m
v t  
1


e


c 

2
Análisis Numérico
EDO-Valor Inicial
por César Menéndez Fernández
Objetivos
Motivación
Objetivos
Temario
Introducción
Métodos de Disparo
Diferencias Finitas
Elementos Finitos
Bibliografía
Software









3
Entender los conceptos de orden, consistencia, estabilidad y
convergencia.
Diferenciar los conceptos de error de truncamiento local y
global, y su relación.
Comprender los métodos de Taylor y la interpretación gráfica
de los de orden más bajo (Euler, Heun y el polígono
mejorado).
Entender la base de los métodos predictor-corrector y su
conexión con las fórmulas de integración.
Aplicar los métodos de Runge-Kutta y entender cómo se
relacionan con el desarrollo en serie de Taylor.
Aplicar los métodoas anteriores a sitemas de ecuaciones
diferenciales de primer orden.
Reducir una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden
a un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden.
Comprender la inestabilidad de algunos métodos para tipos
especiales de problemas (rígidos).
Saber seleccionar un método numérico para la solución de
un problema particular.
Análisis Numérico
EDO-Valor Inicial
por César Menéndez Fernández
Conceptos básicos (I)
Motivación
Objetivos
Temario
Introducción
Métodos de Disparo
Diferencias Finitas
Elementos Finitos
Bibliografía
Software




Conceptos básicos
Solución analítica
Resolución numérica


Formulación tipo de un problema de contorno

 y   x   f  x , y , y   , 0  x  1

y  0   0, y 1   0


El problema de contorno anterior tiene solución única cuando
f,
f
y
f
,
f
y y
son continuas en D    x , y , y   | 0  x  1,    y , y    
 x, y, y  0
M /
f
y 
  x, y, y  D
 x, y, y
M
  x, y, y   D
Reducción de la formulación general a la formulación tipo
y   x   f
 x, y, y , a  x  b
y  a   , y b   

 y   t   f  t , y , y   , 0  t  1
 x  a  b  a  t  
y  0    , y 1   


4

 z   t   g  t , z , z   , 0  t  1
 y t   z t     t  
z  0   0, z 1   0


Análisis Numérico
EDO-Valor Inicial
por César Menéndez Fernández
Conceptos básicos (II)
Motivación
Objetivos
Temario
Introducción
Métodos de Disparo
Diferencias Finitas
Elementos Finitos
Bibliografía
Software


 y   x   p  x  y   q  x  y  r  x  ,

y  a    , y b   





Conceptos básicos
Solución analítica
Resolución numérica
Formulación tipo de un problema de contorno lineal


El problema de contorno anterior tiene solución única cuando
p  x  , q  x  , r  x  son continuas en
a,b
x  a,b
qx  0
Formulación diferencial de un problema de contorno lineal
  
dy 

 p x
  q  x  y x   f  x  ,
dx 
 x 

y  0   0, y 1   0

0  x 1
El problema de contorno anterior tiene solución única cuando
pC
5
a xb
q, f  C
0
1
 0,1  p  x   0
 0,1  q  x   0
 x   0,1 
 x   0,1 
Análisis Numérico
EDO-Valor Inicial
por César Menéndez Fernández
Conceptos básicos (III)
Motivación
Objetivos
Temario
Introducción
Métodos de Disparo
Diferencias Finitas
Elementos Finitos
Bibliografía
Software

Una familia de funciones de n parámetros f  t , y , c1 , c 2 , c 3 , c n   0
se
denomina solución general si es solución de la EDO para cualquier valor de los
parámetros y no hay un conjunto inferior de parámetros que representen esas
soluciones
xc
2

 y1  x   c1 e
y   y  0 
x
y
x

c
e



2
1

Si

La función obtenida al seleccionar los valores de los parámetros se denomina
solución particular

f(t,y) satisface la condición de Lipschitz en la variable y (es lipschitciana
respecto a y) en DR2 si existe L positiva tal que |f(t,y1)-f(t,y2)|≤L|y1-y2| para
todo (t,y1), (t,y2) D.
f t, y  
y
2t
 5, D  1, 3   f  t , y1   f  t , y 2  
2
y1  y 2
2t

1
2
y1  y 2

Si f(t,y) esta definida en un conjunto convexo D y |fy| ≤L en D, entonces es
lipschitciana en y.

Un conjunto D es convexo cuando dos puntos cualesquiera se pueden unir
mediante un segmento rectilíneo cuyos puntos también pertenecen a D.
Un conjunto D es conexo cuando dos puntos cualesquiera se pueden unir
mediante una curva cuyos puntos también pertenecen a D.

6
No
Análisis Numérico
EDO-Valor Inicial
por César Menéndez Fernández
Conceptos básicos (III)
Motivación
Objetivos
Temario
Introducción
Métodos de Disparo
Diferencias Finitas
Elementos Finitos
Bibliografía
Software

Una familia de funciones de n parámetros f  t , y , c1 , c 2 , c 3 , c n   0
se
denomina solución general si es solución de la EDO para cualquier valor de los
parámetros y no hay un conjunto inferior de parámetros que representen esas
soluciones
xc
2

 y1  x   c1 e
y   y  0 
x
y
x

c
e



2
1

Si

La función obtenida al seleccionar los valores de los parámetros se denomina
solución particular

f(t,y) satisface la condición de Lipschitz en la variable y (es lipschitciana
respecto a y) en DR2 si existe L positiva tal que |f(t,y1)-f(t,y2)|≤L|y1-y2| para
todo (t,y1), (t,y2) D.
f t, y  
y
2t
 5, D  1, 3   f  t , y1   f  t , y 2  
2
y1  y 2
2t

1
2
y1  y 2

Si f(t,y) esta definida en un conjunto convexo D y |fy| ≤L en D, entonces es
lipschitciana en y.

Un conjunto D es convexo cuando dos puntos cualesquiera se pueden unir
mediante un segmento rectilíneo cuyos puntos también pertenecen a D.
Un conjunto D es conexo cuando dos puntos cualesquiera se pueden unir
mediante una curva cuyos puntos también pertenecen a D.

7
No
Análisis Numérico
EDO-Valor Inicial
por César Menéndez Fernández
Anexos
Motivación
Objetivos
Temario
Introducción
Métodos de Disparo
Diferencias Finitas
Elementos Finitos
Bibliografía
Software
8

Demostraciones y desarrollos
Análisis Numérico
EDO-Valor Inicial
por César Menéndez Fernández
Runge Kutta de Orden 2
Motivación
Objetivos
Temario
La expresión del método de orden 2 viene dada por

y n  1  y n  h  h , t n , y n  donde   h , t n , y n   c1 k 1  c 2 k 2
k 1  hf  t n , y n 
Introducción
Métodos de Disparo
Diferencias Finitas
Elementos Finitos
k 2  hf  t n   h , y n   k 1  
f
f

Bibliografía
Software

1
1!
  hf
  k1 f y  
1
2!

2
t

1
1!
  hf
  hff y  
1
2!

2
t
 f  h   f t   ff y   h
2

1
2
2
2
2
2
2
2
t
y n 1  y n  h
y n
h
2
1!
y n
h
3
2!
y    
3!
  ff y   h
3
2
1
2

1
2
 y n  hf
h

f tt  2 f ty f  f yy f

c2 
2
 f y ft   f y  f
 

 f tt    ff ty 
1
2

2
2
2
3
f  h
2
y    
3!
¿  c2

1
2
 
 f f yy   o  h
2
2
 y n  hf 
c 2   c 2 
2
h
2
2
f
t
3

 fy f   O h
3

1
2
 f tt    ff ty  12  f f yy  ?
2
2
2
Familia de soluciones dependientes de un parámetro: Heun, Punto medio, Ralston
1
2
  c1 
1
2
,     1
c 2  1   c1  0,    
c2 
2
2
2
2
2
c1  c 2  1
1
6
2
 f f yy   o  h
Igualando coeficientes se obtiene

2
h f tt  2  h ff ty   h f f yy   o  h
Comparándo con el desarrollo de Taylor

9
h f tt  2 h  k 1 f ty   k 1 f yy   o  h
 f tt    f f ty 
  f
y n  1  y n   c1  c 2  hf  c 2 h
Introducción
Mét. Euler y Taylor
Mét. Runge-Kutta
Mét. Multipaso
EDOs orden superior
Estabilidad
EDOs rígidas
Volver
2
3
  c1 
1
3
,   

3
4
1
2
y n 1  y n 
1
2
 k1  k 2 
y n 1  y n  k 2
y n 1  y n 
 13 k1 
2
3
k2 
k 1  hf  t n , y n 
k 2  hf  t n  h , y n  k 1 
k 1  hf  t n , y n 
k 2  hf  t n 
k 1  hf  t n , y n 
k 2  hf  t n 
1
2
h, yn 
1
2
3
4
h, yn 
3
4
k1 
k1 
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Mejora de los modelos de Temperatura, Fuerza, Par y …