FRACTALES
Y
PAPIROFLEXIA
PAPIROFLEXIA MODULAR APLICADA A
LA MODELIZACIÓN DE UNA DE LAS
FASES DEL CUBO DE MENGER
¿Qué es un FRACTAL?
“Un fractal es, por definición, un
conjunto cuya dimensión de HausdorffBesicovitch es estrictamente mayor que
su dimensión topológica.”
Benoît B. Mandelbrot (Polonia, 1924)
¿Qué es un FRACTAL?
• Objetos geométricos con formas semejantes a
distintas escalas de observación y que se obtienen
por iteración.
Quizá la mejor manera de entenderlo es ver algunos....
Georg CANTOR (San Petersburgo, 3 de
marzo de 1845, Halle, 6 de enero de 1918 )
fue un matemático alemán, inventor con
Dedekind de la teoría de conjuntos
CONJUNTO DE CANTOR
Niels Fabian Helge von KOCH (25 de enero de 1870 †11 de marzo de 1924) fue un matemático sueco, cuyo
nombre se ha asignado a una famosa curva fractal
llamada curva Copo de nieve de Koch, una de las
primeras curvas fractales en ser descritas.
CURVA DE KOCH
TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
Wacław Franciszek SIERPIŃSKI (n. 14 de marzo de
1882, Varsovia - m. 21 de octubre de 1969 en
Varsovia) fue un matemático de Polonia.
El salto a 3D
El salto a 3D
ESPONJA DE MENGER
Karl MENGER (1902 – 1985) matemático austríaco
PAPIROFLEXIA MODULAR
Construcción de un modelo a base de ensamblar piezas
iguales construidas a partir de un cuadrado de papel.
Utilizaremos los denominados módulos SONOBÉ, para
construir la esponja de Menger en su tercera etapa
MÓDULO SONOBÉ
MÓDULO
SONOBÉ
Distintas formas de plegado
según el objetivo.
ESPONJA DE MENGER EN SU PRIMERA ETAPA
CUBO completo: 486 piezas
ESPONJA DE MENGER EN SU SEGUNDA ETAPA
648 piezas
ESPONJA DE MENGER EN SU SEGUNDA ETAPA
648 piezas
ESPONJA DE MENGER EN SU SEGUNDA ETAPA
648 piezas
ESPONJA DE MENGER EN SU TERCERA ETAPA
1056 piezas
ESPONJA DE MENGER EN SU TERCERA ETAPA
1056 piezas
ESPONJA DE MENGER EN SU TERCERA ETAPA
1056 piezas
ESPONJA DE MENGER EN SU TERCERA ETAPA
1056 piezas
ALGUNAS OBSERVACIONES MATEMÁTICAS:
El número de cubitos que componen la
esponja en la n-sima iteración es 20n
ALGUNAS OBSERVACIONES MATEMÁTICAS:
Si partimos de que la arista del cubo inicial mide 1, la arista de uno
de los cubitos en la n-sima etapa mide (1/3)n
(1/3)2
1/3
1
ALGUNAS OBSERVACIONES MATEMÁTICAS:
A = 40/3 ≈ 13’3
V = 400/729 ≈ 0’55
A = 800/27 ≈ 29’6
V = 8000/19683 ≈ 0’4
A=6
V=1
El área del cuerpo obtenido en la etapa nª es:
6·(1/9)n·20n
El volumen del cuerpo obtenido en la etapa nª es:
20n·(20/27)·(1/3)3n
ALGUNAS OBSERVACIONES MATEMÁTICAS:
Los resultados anteriores nos muestran que si pudiéramos
seguir
“hasta
el
infinito”
perforando
el
cubo
inicial,
“llegaríamos” a un cuerpo cuya área va aumentando hacia el
infinito y cuyo volumen desciende hacia cero.
De esta manera:
¡Curioso! ¿NO?
CUADRADO: Dimensión 2 (ancho y alto)
CUBO: Dimensión 3 (largo, ancho y alto)
ESPONJA DE MENGER: Dimensión ≈ 2’7
TODOS LOS
MODELOS
ESTÁN
REALIZADOS
CON PAPEL
RECICLADO
Marzo - 2008
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