Polinomios
Trabajo Práctico Nº 6
Polinomios
1) Efectuar
PQ;
cuando esto sea posible
3 P + Q ; P2 – Q
a) P = x2 - 2
b) P = x + 2
e
indicar su grado
Q = - 3 x2 + 6
Q = x2 + 4 x +4
2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede decirse del grado de los
siguientes polinomios ?
a) P Q
b) P3
3) Determinar a  R para : a) P = a  x3 - a  x + 2
c) P + Q
d) P3 + Q3
es tal que P(2) = - 1
b) P = x2 + 2  x + a
es tal que 0 es una de sus raíces
c) P = a  x2 - a  x + 6
satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2
4) Hallar el cociente y el resto de la división de P por Q en cada uno
2
de los siguientes casos : a)
3
2
Q  2x  2
P  2x
b) P 
1
4
 7x
x
4
a
1
Q  x 2
5) Determinar el valor de k tal que P = 2 x3 + k x2 + 5 x + 3 sea divisible por Q = x2 - x + 3
4
6) ¿ Para qué valores de a y b el polinomio P  x  ax
(x + 4) ; y tiene resto -18 al dividirlo por (x - 2) ?
3

1
4
x
2
b
es divisible por
7) Determinar a, b, c  R para que :
a) P = a x2 + b x + c
tenga a 1 y a 0 como raíces
b) P = x2 - b x + a y Q = a x3 – b
tengan a 2 como raíz común
8) Hallar todas las raíces de los siguientes
7
polinomios :
4
2
3
2
d)
P

x

3
x

a) P  2 x  x  2 x  1
4
b) P  1 x 3  3 x 2  11 x  3
2
c) P  x
2
4
x
3
 4x
2
 4x
e) P  x
4
 5x
3
 7x
2
 5x  6
si i es raíz de P
9) Factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que x = 2
es una raíz doble.
10) Determinar en cada caso la multiplicidad de  como raíz de P :
a) P = (x - 1)2  (x2 - 1)  (x3 - 1)
=1
b) P = x8 - x6 + 6 x3
=0
11) a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces sabiendo
que el producto de dos de ellas es 1.
b) Dado P(x) = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m  0, determinar m en
los siguientes casos
i) las raíces son opuestas
iii) las raíces son reales e iguales.
ii) las raíces son recíprocas
c) Hallar las raíces de los siguientes polinomios reales
i) P(x) = 2 x3 - x2 - 18 x + 9
si
1 + 2 = 0
ii) P(x) = x3 + 2 x2 + 3 x + 2
si
1 = 2 + 3
Un polinomio es una expresión de la forma
P  an x
n
 an  1 x
n 1
 an  2 x
n 2
 .......... .....  a 2 x
2
 a1 x  a 0
una sucesión de sumas de términos conformados por un coeficiente ai
multiplicado por un factor xi
1
2
3
n
i
Podemos escribir P   a i x
i 0
donde el coeficiente an se llama coeficiente principal
el mayor exponente de x (n), le da el grado al polinomio
Si an  0 y aunque alguno(s) –o todos- los
coeficientes ai an sean nulos
Decimos entonces que el polinomio
P  an x
n
 an  2 x
es de grado n
n 2
 ..........
.....  a 2 x
2
 a0
Faltan los términos
de grado 1 y n-1
el polinomio es de grado n, pero incompleto
P = x3 – 3 x2 + 6 x -1
P = x4 – 3 x2 + 6 x -1
polinomio completo de grado 3
polinomio incompleto de grado 4
La suma de polinomios, se efectúa operando solamente entre
términos de igual grado
P = x4 – 3 x2 + 6 x –1
Q = x3 – 5 x2 - 2 x + 3
P + Q = ( x4 – 3 x2 + 6 x –1 ) + ( x3 – 5 x2 - 2 x + 3 )
1
2
agrupamos los términos de igual grado de cada polinomio;
P + Q = x4 + x3 + ( - 3 x2 – 2 x2 ) + ( 6 x – 2 x ) + ( -1 + 3 )
Y luego operamos los términos obtenidos
P = x 4 + x3 – 5 x 2 + 4 x + 2
Para multiplicar dos polinomios, se usa la propiedad
distributiva (aplicando la regla de los signos) y luego se
resuelven cada uno de los términos que resulten
Luego sumamos los
términos de igual grado
R · S = ( x4 – 3 x2 + 6 x ) · ( x 3 - 2 x + 3 ) =
= x4 · x3 + x4 · (-2 x) + x4 · 3 + (-3x2) · x3 + (-3x2) · (-2x)
+ ( -3 x2) · 3 + 6x · x3 + 6x · (-2x) + 6x · 3 =
R · S = x7 - 2x5 + 3x4 - 3x5 + 6x3 - 9x2 + 6x4 - 12x2 + 18x =
R · S = x7 - 5x5 + 9x4 + 6x3 - 21x2 + 18x
3
1 ) Si
a) P = x2 – 2
y
Q = - 3 x2 + 6
P  Q = ( x2 – 2 )  ( - 3 x2 + 6 ) = x2  (- 3 x2) + x2  6 + (– 2 )  (-3x2)+ (-2)  6 =
P  Q = -3 x4 + 6 x2 + 6 x2 - 12 = -3 x4 + 12 x2 - 12
grado 4
3P  Q = 3  ( x2 – 2 ) + ( - 3 x2 + 6 ) = 3 x2 – 6 - 3 x2 + 6 = 0
P2  Q = ( x2 – 2 )2  ( - 3 x2 + 6 ) = ( x4 - 4x2 + 4 )  ( - 3 x2 + 6 ) =
= -3x6 + 6x4 + 12x4 - 24x2 - 12x2 + 24 = -3x6 + 18x4 - 36x2 + 24
b)
P=x+2
grado 6
Q = x2 + 4 x +4
grado 3
P  Q = ( x + 2 )  ( x2 + 4 x + 4 ) = x3 + 4 x2 + 4 x + 2 x2 + 8 x + 8 = x3 + 6 x2 + 12 x + 8
3P + Q = 3( x + 2 ) + ( x2 + 4 x + 4 ) = (3 x + 6) + (x2 + 4 x + 4) =
P2
Q=(x+2
)2
(
x2
+4x+4)= (
x2
+4x+4)(
x2
x2 + 7 x + 10
+4x+4)=
= x4 + 4x3 + 4x2 + 4x3 + 16x2 + 16x + 4x2 + 16x + 16 =
P2  Q = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16
grado 4
grado 2
2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede
decirse del grado de los siguientes polinomios ?
El grado de un producto de polinomios siempre va a
estar dado por la suma de los grados de los polinomios
a) P · Q
P · Q es gr (7)
Si P es gr(4)
y Q es gr(3)
b) P3
La potencia de un polinomio será otro polinomio cuyo grado es el
grado del polinomio base multiplicado por el exponente
P3 es gr (4 · 3) = 12
Si P es gr(4)
c) P + Q
El grado de la suma de dos polinomios será igual al grado del polinomio de
mayor grado ó eventualmente menos (si los términos de mayor grado se
anulan entre sí)
Si P es gr(4)
y Q es gr(3)
d) P3 + Q4
P + Q es gr (4) ó menor
Si P es gr(4) P3 es gr(12)
P3 + Q4 es gr (12) ó menor
y si Q es gr(3)
Q4 es gr(12)
3 a) si P = a  x3 - a  x + 2
para hallar a
tal que P(2) = - 1
debemos especializar el polinomio por x = 2
Esto es colocar el valor 2 en cada uno de los
lugares que ocupa x en el polinomio
P = a  x3 - a  x + 2 = a  23 - a  2 + 2 = - 1
a  8- a  2 + 2 = 8 a– 2 a + 2
6a=-1-2
6a=-3
e igualamos a - 1
resolvemos despejando a
=6a+2 =-1
a = - 1/2
Las raíces de un polinomio
son los valores de x que
hacen el polinomio igual a 0
b) P = x2 + 2  x + a es tal que 0 es una de sus raíces
P = x2 + 2  x + a = 02 + 2  0 + a = 0
Entonces cuando x = 0 ; P = 0
a=0
3 c
c) Si
P = a  x2 - a  x + 6
satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2
Para x = - 1
P = a  x2 - a  x + 6 = a  (-1)2 - a  (-1) + 6 = a  12 + a  1 + 6 =
2a+6=6
Si a = 0
pero . . .
P = 0  x2 - 0  x + 6 = 6
2a=6-6
entonces
a=0
y resulta que P no es de grado 2; en consecuencia
no existe el valor de a buscado
Algoritmo del cociente de polinomios
Para dividir un polinomio P1
por un polinomio
P2  x
2
 2x
 2x  1
buscamos un valor que
multiplicado por el
coeficiente principal de P2
4
 3x
3
x
2
 4x  5
planteamos el esquema de la división
entre números enteros
2x
4
 3x
3
x
2
- 2 x 4 + 4 x 3- 2 x
 4x  5
2
4
5
2
+ x - 2 x + 1
+2
x2
resulte igual en valor absoluto al an
de P1 y ése es el coeficiente
21=2
principal del polinomio cociente
Multiplicamos el monomio así formado por cada
término de P2 y los resultados encolumnamos
y le agregamos como factor x
debajo de P1 con los términos de igual grado
elevado a un valor tal, que
multiplicado por el grado de P2
+  + = + para restar coloco resulte del mismo grado que P1
+  - = - para restar coloco +
+  + = + para restar coloco Luego viene la colocación del signo, operamos en cada
caso respetando la regla de los signos, y luego para
restar cambiamos el signo que resulta buscando que al
operar el primer término se anule
Ahora sumamos
Bajamos el término de mayor
grado de P1 que todavía no se
operó, con su signo
Y empezamos de nuevo el
procedimiento
4
 3x
3
x
2
- 2x 4 + 4 x 3 - 2x
7x
3
 3x
2
 4x  5
2
 4x
- 7 x 3 + 14 x 2 - 7 x
Resultado :
C  2x
resto
2x
2
 7 x  11
R  19 x  16
De manera que:
11 x
2
 3x  5
- 11 x
2
+ 22 x - 11
19 x  16
C  P2 + R = P1
x
2
 2x  1
2 x2 + 7 x + 11
4) Para dividir
P  2x
3
 7x
2
por
a
Q  2x
2
2
Examinamos P y Q, y hallamos que ambos son polinomios incompletos
entonces los completamos con términos de coeficientes nulos
P  2x
3
 7x
2
 0x  a
Q  2x
Hacemos el esquema del cociente entre polinomios
2x
3
 7x
2
 0x  a
- 2x - 0 x - 2x
3
2
7x
2
 2x  a
- 7 x - 0x
2
2x
2
2
 0x  2
y operamos
 0x  2
7
+ x +
2
colocamos los signos de
manera que al cambiar para
restar, el primer término del
resultado se anule
sumamos . . .
-7
bajamos a con su signo
 2x  a  7
C x 
7
2
R   2x  a  7
Y empezamos a operar
nuevamente
1
P 
4) Para dividir
4
x
4
1
Q  x 2
por
Examinamos P y Q, y hallamos que P es un polinomio incompleto
entonces lo completamos con términos de coeficientes nulos
1
P 
4
x
4
 0x
3
 0x
2
Q  x 2
 0x  1
Hacemos el esquema del cociente entre polinomios
1
-
4
1
4
x
4
 0x
x +
4

-
1
2
1
2
1
2
x
3
 0x
2
x 2
 0x  1
+
3
x  0x
3
x - x
2
x
2
3
+ x
2
y operamos
1
4
x
3
+
1
2
x
2
- x -2
2
C 
 0x
- 2x
 2x  1
+ 2x - 4
-3
1
4
x
3

1
2
colocamos los
signos de manera
que al cambiar para
restar, el primer
término del
resultado se anule
sumamos . . .
bajamos 0x2 con su signo
x
2
x 2
R  3
Y empezamos a
operar nuevamente
otra vez . . .
5) para determinar k tal que
sea divisible por por
P  2x
Q x
2
3
2
 kx
 5x  3
x 3
buscaremos el cociente P / Q, y al resto lo igualamoa a cero.
Entonces podremos decir que P es divisible por Q
Hacemos el esquema del cociente entre polinomios
2x
- 2x
3
3
 kx
2

+ 2x
2
-
( k  2) x
2
2
5x
6x

x
3
3
x
y operamos
2
x 3
+ 2x + ( k  2 )
- ( k  2 ) x + ( k  2 ) x -3( k  2 )
bajamos
Y empezamos a operar
nuevamente
( k  1 ) x  ( 3k  3 )
Para que P sea divisible por Q, el resto debe ser 0
( k  1 ) x  ( 3k  3 )  0
( k  1 ) x  3( k  1 )  0
Ambos términos deben ser 0; y esto se logra con
( k  1)  0
k  1
3
6)
P x
4
 ax
3

1
4
x
2
es divisible por (x + 4) ; entonces
b
Si P es divisible por (x+4); -4 es raíz del polinomio; luego si
especializo el polinomio por –4, tendrá resultado 0
P  ( 4 )
4
 a ( 4 )
3

1
4
( 4 )
2
b  0
entonces
Si al dividir por (x-2) se obtiene resto -18
P  16  8a  1  b   18
entonces
P 2
256  64 a  4  b  0
4
3
 a 2 
1
4
2
 2  b   18
16  8 a  1  b   18
Con los resultados obtenidos componemos un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas
256  64 a  4  b  0
16  8 a  1  b   18
 64 a  b   252
Se puede escribir
Se puede escribir
El sistema será:
16  8 a  1  b   18

  64 a  b   252


 8 a  b   33
En el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,
Verificamos que las ecuaciones estén
ordenadas, de manera que las incógnitas
queden encolumnadas y los términos
independientes en el 2º miembro

  64 a  b   252


 8 a  b   33
Y resolvemos por cualquiera de los métodos conocidos (determinantes, sustitución, etc.)
a 
b 
a

b



 219

 72
4128
 72
a 

73
24
73
 
24
1032
 18
 
 64
1
8
1
  64  1  8  1   72
172
b  
3
a 
172
3
b 
4

73
24
x
1
 33
1
 64
 252
8
 33
El polinomio es:
P x
 252
3

172
3
x
2
  252  1  (  33 )  1   219
 (  64 )  (  33 )  8  (  252 )  4128
b
7) P = a x2 + b x + c tiene a 1 y a 0 como raíces
Si 1 y 0 son raíces del polinomio; si especializo el polinomio por
1 y 0 respectivamente, tendrán resultado 0
2
P  a 0 b 0 c  0
2
P  a 1  b 1  c  0
entonces
entonces
0  0 c  0
c  0
a b c a b 0  0
a  b
Se verifica la condición siempre que c= 0 y a=b pero tienen signos diferentes
b) Si P = x2 - b x + a y Q = a x3 – b para hallar valores de a y b
que tengan a 2 como raíz común
2
P  2  b 2  a  0
3
Q  a 2  b  0
Conformamos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
 a  2 b   4

 8 a  b  0
Y resolvemos el sistema aplicando sustitución
 a  2 b   4

 8 a  b  0
si
8a  b
8a  b  0
Sustituimos este resultado en la primera ecuación y tenemos
a  2  ( 8a )   4
 15 a   4
a  16 a   4
entonces
Ahora que conocemos el valor de a, podemos buscar el valor de b, haciendo:
8a  b
8(
4
15
b 
) b
32
15
Los polinomios buscados resultan ser:
P x
2

32
15
x 
4
15
Q 
4
15
x
3

32
15
a 
4
15
8a
Regla de Ruffini
8b
Al dividir un polinomio
P  an x
n
 an  1 x
n 1
 an  2 x
n 2
 .......... .....  a 2 x
2
8c
 a1 x  a 0
Q x 
por un polinomio Q de grado 1 de la forma x - 
El resultado será un
n 1
n 2
polinomio C de grado n – 1
C  cn  1 x
 cn  2 x
 .......... .....  c 2 x
8e
9
2
10
 c1 x  c 0
Aplicamos la siguiente regla : Se trazan dos rectas
se escriben los coeficientes del polinomio P en orden de grado decreciente
Se ubica convenientemente el valor  y se procede con el siguiente algoritmo
Bajamos el coeficiente principal an como cn-1 multiplicamos cn-1 x  y colocamos debajo de an-1
Sumamos an-1+ cn-1 y multiplicamos ese resultado cn-2 x  y colocamos debajo de an-2
Y repetimos sucesivamente el procedimiento hasta terminar de operar los coeficientes
an

an-1
cn-1
cn-1 cn-2
an-2
. . . . . . . a2
a1
cn-2
c2
c1
c0
cn-3
c1
c0
r
a0
En el esquema
an
an-1
an-2
cn-1

cn-1
cn-2
. . . . . . . a2
a1
cn-2 . . . . . . . c2
c1
c0
c0
r
cn-3
. . . . . . . c1
a0
Los ci son los coeficientes del polinomio cociente
C  cn  1 x
n 1
 cn  2 x
n 2
 .......... .....  c 2 x
Y r es el resto que resulta de dividir P / Q
Observe que si P es divisible por Q,
y también que
si r = 0 ;
2
 c1 x  c 0
P
Q
r
C
r=0
 es raíz del polinomio
8a
8b
8c
8e
9
10
Teorema de Gauss
Sea
P  an x
n
 an  1 x
n 1
 an  2 x
n 2
 .......... .....  a 2 x
2
 a1 x  a 0
Si P admite raíces racionales, éstas raíces serán de la forma
a0 = 2
Si P = x3 - 2x2 – x + 2
p
q
y
p es divisor de a0
donde

2
1
2 
2
1
 2 
1
1 
8b
p
q
8c
q es divisor de an
y
1
8a
an = 1
1
1
 1
Es claro que los valores p/q hallados no son
necesariamente las raíces, sino que pueden ser raíces,
porque, si el polinomio admite raíces racionales,
entonces esas raíces son de la forma p/q pero . . .
p: divisores de 2 son  2 ;  1
q: divisores de 1 son  1
posibles raíces son:  2 ;  1
No todos los p/q tienen que
ser necesariamente raíces
del polinomio P
Si las raíces no son racionales; son irracionales
o complejas, en ese caso no estarán entre los
valores hallados de la forma p/q
9
Para comprobar cuales son raíces y cuales no, una alternativa es
especializar en el Polinomio cada uno de los valores de p /q que
son posibles raíces.
Si P = x3 - 2x2 – x + 2
8a
y las posibles raíces son:  2 ;  1
Para x = 2
P = 23 – 2  22 – 2 + 2 = 8 – 8 – 2 + 2 = 0
Para x = -2
P = (-2)3 – 2  (-2)2 – (-2) + 2 = - 8 – 8 + 2 + 2 = -12
Para x = -1
P = (-1)3 – 2  (-1)2 – (-1) + 2
Para x = 1
P = 13 – 2  12 – 1 + 2
x = 2 es raíz
= -1–2+1+2=0
=1–2–1+2= 0
8b
8c
9
x = - 2 no es raíz
x = -1 es raíz
x = 1 es raíz
P es polinomio es de grado 3 y tiene entonces tres raíces; por ser las tres
raíces racionales, pudieron ser encontradas mediante el Teorema de Gauss
Observe también que la aplicación del Teorema de Gauss nos proporcionó una
“posible raíz” de la forma p/q; x = -2 que resultó no ser raíz de P
Porque el teorema de Gauss proporciona todas las raíces
racionales, pero no todas las expresiones p/q tienen
necesariamente que ser raíces del polinomio
Descomposición de un polinomio en un
producto de factores binomiales
Sea
P  an x
n
 an  1 x
n 1
 an  2 x
n 2
 .......... .....  a 2 x
2
 a1 x  a 0
El polinomio P puede escribirse
Cuyas raíces son 1; 2; 3; . . . . . n-1; n
P  an ( x   1 )  ( x   2 )  ( x   3 )
8a
8b
8c
8d
8e
9
. . . ( x   n 1 )  ( x   n )
Observe que si x toma el valor de cualquiera de las raíces i
Habrá al menos un factor que será (x - i) = (i - i ) = 0
Haciendo P = 0
Puede suceder que un valor i sea r veces raíz de un polinomio
entonces tenemos una raíz múltiple; y suponiendo que 1 es dos veces
raíz del polinomio y 2 es tres veces raíz del polinomio y las restantes
raíces son simples, el polinomio factoreado será . . .
2
3
P  an ( x   1 )  ( x   2 )  ( x   3 )
. . . ( x   j 1 )  ( x   j )
8 a) Para hallar las raíces de
P  2x
3
x
2
 2x  1
Aplicamos el Teorema de Gauss e identificamos an = 2
Los divisores de a0 son p =  1
y
a0 = -1
Los divisores de an son p =  1;  2
Las posibles raíces son de la forma
p
q

 1;
 1;

1
2
;

1
Ruffini
Gauss
2
Podríamos especializar el polinomio con cada uno de estos valores, pero estaríamos
solamente comprobando si esos valores son o no raíces del polinomio; en cambio si
aplicamos la Regla de Ruffini, al verificar una raíz, hallamos también un polinomio
de grado inferior que es submúltiplo de P y en consecuencia sus raíces son raíces
de P; de manera que si las raíces no fueran todas racionales, vamos situándonos en
mejores condiciones para resolver el polinomio, aplicamos entonces Ruffini.
El “sentido” de aplicar Ruffini es que si  es raíz del polinomio P, entonces P es
divisible por (x - ). Detectamos si  es raíz del polinomio P y al mismo tiempo
obtenemos los coeficientes de un polinomio de grado inferior, cuyas raíces son los
mismos valores de raíces que nos restan encontrar aún
8 b
8 c
8 d
8 e
P  2x
2
1
2
2
-1
2
2
1
2
2
3
x
2
p
 2x  1
q
-1
2
-1
2
1
3
1
3
2
-1
2
-1
-2
3
-5
-3
5
-6
-1
2
-1
1
0
1
2
0
0
8 b

 1;
 1;

1
2
;

1
2
Ruffini
0
1 No es raíz del polinomio
-1 No es raíz del polinomio
0

8 c
1/2 ES raíz del polinomio
8 d
8 e
Gauss
Hemos encontrado que 1/2 es raíz del polinomio, entonces
es posible escribir
P  2x
3
x
2
 2x  1
0
2

1
2
2
2
-1
5
De (2x2 + 2) = 0
Entonces:
despejamos x
P  2x
Las raíces son
3
x

0
2
2
1
2
)( 2 x
2
 2)
Buscamos ahora raíces para
el polinomio múltiplo de
menor grado
1
-1
2
P (x 
como
 2x  1
2x
2
1 = 1/2 ; 2 = i ;
2
2  0
2( x 

1
1
2
Gauss
Factoreo
No es raíz del polinomio

2x
2
 2
x 
1   i
)( x  i )( x  i )
3 = -i
Como ejercicio te propongo que
verifiques los resultados obtenidos
Observe que se cumple que: si P tiene
raíces racionales, éstas son de la
forma p/q; en este caso existe una
raíz racional y dos raíces complejas
asimismo se verifica que: si un número complejo
es raíz de un polinomio, su conjugado también es
raíz del mismo polinomio.
8 b
Ruffini
8 c
8 d
8 e
8 b) Para encontrar las raíces de
P 
1
2
x
3
 3x
2

11
x 3
2
Multiplicamos previamente todo el polinomio por 2, para eliminar los
coeficientes con forma de fracción y hallamos un polinomio equivalente
Ruffini
Gauss
Factoreo
P x
an = 1
3
 6x
2
y
 11 x  6
a0 = -6
p =  1;  2;  3;  6
1
1
1
y
Que este polinomio es equivalente al polinomio dado,
significa que sus raíces son las mismas
Para aplicar el Teorema de Gauss
q=1
-6
11
-6
1
-5
6
-5
6
0
p
q
  1;
 2;
 3;
6
Aplicando la Regla de Ruffini
entonces
P x
3
 6x
2
 11 x  6  ( x  1 )( x
2
 5x
2
 6)
Buscamos ahora las raíces de ( x 2  5 x 2  6 )
8 c
8 d
8 e
Aplicando la fórmula de la ecuación de
segundo grado encontramos las raíces de
x
2
 5x
2
6  0
Gauss
5
( 5 )
2
2 1
 4 1 6

51
2
x2 = 3
Las raíces de
P x
3
 6x
2
Factoreo
 11 x  6

x3 = 2
Son
x1 = 1;
x2 = 2;
x3 = 3
Comprobamos que las raíces obtenidas son racionales (enteros) y están incluidas
entre las posibles raíces de la forma p/q
P  ( x  1 )( x  2 )( x  3 )
P 
1
2
( x  1 )( x  2 )( x  3 )
Pero recordemos que este es un polinomio equivalente
del que realmente nos interesa, y que hemos
comenzado multiplicando por 2 para trabajar “con
mas comodidad”; de manera que lo recomponemos
dividiendo todo el polinomio factoreado por 2
8 c
8 d
8 e
8 c) Al polinomio
P x
4
x
3
 4x
Podemos comenzar sacando factor común
Encontramos que la primera raíz x1 = 0
2
Le falta el término
independiente
 4x
x
P  x( x
y
p =  1;  2;  4
1
1
1
a0 = -4
p
y
q
q=1
1
-4
-4
1
2
-2
2
-2
1
No es raíz
-6 0
2
x
 4x  4 )
(si x = 0 al ser x un factor,
se anula toda la expresión)
Buscamos entonces las restantes raíces en
an = 1
3
  1;
x
 2;
3
x
2
p son divisores de a0
q son divisores de an
1
-4
-4
-1
0
4
0
-4
0
1
1
-1 ES es raíz; x2 = -1
8 d
8 e
Gauss
Factoreo
donde
 4x  4
 4
-1
Ruffini
entonces
3
P  x( x
x
2
 x ( x  1 )( x
 4x  4 )
Buscamos ahora las raíces de
despejamos
x
2
 4  0
x3 = 2
Con
x1 = 0
x
x
2
 4)
4
x 
 4
y
y
2
2
Factoreo
4
x4 = -2
x2 = -1
hallados
el polinomio P se puede factorear (transformarlo en un
producto de factores binomiales)
P  x( x
3
x
P 
2
 4x  4 ) 
x ( x  1 )( x  2 )( x  2 )
x ( x  1 )( x
2
 4)
8 d
8 e
8 d)
Si
P x
4
 3x
2

7
Polinomio de grado cuatro con los
términos de grado 3 y 1 nulos
4
Es posible aplicar la fórmula para la ecuación
bicuadrática, que no es otra cosa que: a la
fórmula de la ecuación de segundo grado
Aplicarle nuevamente raíz
cuadrada, y así
P x
xi  
3
4
 3x
2

x12 
x123 4  
a = 1;
b 
b 
Factoreo
2
b  4 ac
2a
b = 3;
c= -7/4
4
4
2 1
 
3
97
2
 
3 4
2
Puede factorearse como

 4 ac
x1 
2
3  4 1   7

2
2a
7
P   x 
b
1 
 x 
2  
1 
 x 
2  
7 
i  x 
2  
7 
i
2 
1
2
1
x2  
x3 

2
7
2
x4   
8 e

7
2
7
2
 
i
7
2
i
8 e) Si
P x
4
 5x
3
 7x
2
 5x  6
Sabiendo por la consigna que
i es raíz del polinomio
Entonces –i también es raíz del polinomio; aplicaremos Ruffini
para esas dos raíces conocidas y el polinomio de grado 4
quedará reducido a un polinomio de grado 2
1
-5
7
-5
i
-1 - 5i
5 + 6i
-6
-5 + i
6 - 5i
6i
0
5i
-6i
i
1
-i
-i
1
x23 
-5
5
6
( 5 )
2
 4 1 6
2 1
Ruffini
6
3
Factoreo
2
P  ( x  i )[ x  (  5  i ) x  ( 6  5 i ) x  6 i ]
P  ( x  i )( x  i )( x
2
 5x  6 )
0
x23 
5
25  24
2
Finalmente
P  ( x  i )( x  i )( x  3 )( x  2 )

51
2
x3  3
x4  2
Raíces múltiples
Factorear un polinomio es transformar la expresión
P  an x
n
 an  1 x
n 1
 an  2 x
n 2
 .......... .....  a 2 x
2
 a1 x  a 0
En otra de tipo
9
P  an ( x   1 )( x   2 )......... .....( x   n  1 )( x   n )
Donde los i son las raíces del polinomio
con 1  i  n
Puede suceder que 1 = 2 = 3 entonces diremos que ese valor de 1 es tres
veces raíz del polinomio ó lo que es lo mismo 1 es raíz triple de P
En un polinomio de grado 8 (que tiene n raíces) pueden haber, por ejemplo
2 raíces dobles, una triple y una simple, en ese caso será
2
2
3
P  an ( x   1 ) ( x   2 ) ( x   3 ) ( x   4 )
1 es raíz doble
2 es raíz doble
3 es raíz triple
4 es raíz simple
10
9) Para factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que
x=2
es una raíz doble.
Buscamos las restantes raíces aplicando Ruffini
1
2
1
2
1
-4
6
-8
8
2
-4
4
-8
-2
2
-4
2
0
4
0
2
0
P  ( x  2 )( x
0
 2x
2
 2x  4 )
P  ( x  2 )( x  2 )( x
2
x 
2  0
2i )( x 
P  ( x  2) ( x
2
2
 2)
Ahora despejamos x de la
expresión resultante
x3 
Conocidas todas las raíces, factoreamos el polinomio
2
3
Por ser x = 2 raíz doble, volvemos a
aplicar Ruffini para x = 2
x
P  ( x  2 )( x  2 )( x 
Factoreo
Ruffini
 2)
2i )
2
2i
x 4   2i
Que también se puede
escribir
10 a) determinar la multiplicidad de  = 1 en
P = (x - 1)2  (x2 - 1)  (x3 - 1)
P es un polinomio de grado 7 porque (x - 1)2 y (x2 - 1) son de grado 2 ;
y (x3 - 1) es de grado 3; entonces P es de grado 7
Ruffini
Factoreo
Significa que P tiene 7 raíces, que pueden repetirse varias veces; o ser todas
iguales ó ser todas diferentes, etc.
Acá x = 1 es dos veces
raíz del polinomio
acá x = 1 es una vez más raíz del polinomio
Analizamos por separado cada factor
(x2 - 1) = (x – 1 ) (x + 1)
En x3 – 1
(x - 1)2 = (x - 1) (x - 1)
también x = -1 es raíz del polinomio
1 es nuevamente una vez
mas raíz del polinomio
Resolviendo x2 + x + 1 = 0 se
obtienen las restantes raíces
1
1
1
0
0
-1
1
1
1
1
0
1
10 b
Resolviendo P = x2 + x + 1 = 0 con la fórmula de la
ecuación de segundo grado
Resolvemos con
a = 1; b= 1; c=1
Para a x2 + b x + c = 0
x 12 

1
b 
2
b  4 a c

2a
x1  
3i
2
x2  
2
1
2
1
2


3
2
3
2
1
2
1  4 1 1
2 1

1
3
2
Factoreo

Diferencia de cuadrados
i
P = (x - 1)2  (x2 - 1)  (x3 - 1)
i


1
3  

1
es
3 
P  ( x  1 )  ( x  1 )  ( x  1 )  ( x  1 )   x    
i     x    
i  
2
2
2
2

 




 1
3
P  ( x  1 )  ( x  1 )  ( x  1 )  ( x  1 )  ( x  1 )   x    
i
2
2


 = 1 es cuatro veces raíz de P; el
orden de multiplicidad de =1 es 4
10 b

 


 1
3
  x    
i
2
2



 

10 b)
Para determinar la multiplicidad de  = 0
P  x
Factoreamos
P
3
x
5
8
x
3
 6
Podemos afirmar entonces que el orden
de multiplicidad de la raíz  = 0 en
Es k = 3
6
x
P  x (x
y obtenemos
Con seguridad el factor
en
5
 6x
x
3
3
 6)
  0
No tiene raíz
3
P  x (x
5
x
Factoreo
3
 6)
Relaciones entre Raíces y Coeficientes
Dado un polinomio
P  an x
n
 an  1 x
n 1
 an  2 x
n 2
 .......... .....  a 2 x
2
 a1 x  a 0
11a
11b
11c
Es posible establecer
Con raíces 1; 2; 3; . . . . n-1; n
relaciones entre las raíces
a
i y los coeficientes ai de P
1 + 2 + 3 + n-1 + n =  n  1
an
La suma de las raíces es igual al
an  2
segundo coeficiente cambiado de signo,
1  2 + 1  3 + . . . . + n-1  n = an
dividido por el coeficiente principal
1  2  3 + . . . . + n-2  n-1  n = 
an  3
an
.......................... .........
n
1  2  3      n-2  n-1  n = (  1 )
a0
La suma de los productos binarios de las
raíces es igual al tercer coeficiente,
dividido por el coeficiente principal
an
Análogas reglas valen para las sumas de los productos ternarios,
cuaternarios, etc, con signos – ó + alternativamente
El producto de las n raíces es igual al término independiente dividido por
el coeficiente principal, con signo + ó -, según que n sea par o impar,
respectivamente
11) a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces
sabiendo que el producto de dos de ellas es 1.
Por ser P de grado 3, sabemos que P tiene 3 raíces
Por relaciones entre raíces y
n a0















=
(

1
)
1
2
3
n-2
n-1
n
coeficientes
an
3
6
1  2  3 = 3
1  2  3 = (  1 ) 3     (  1 )(  3 )  3

pero
2
3
2
-11
2
1  2 = 1
17
-6
6
-15
6
-5
2
0
Factoreando
entonces
1  3 = 3
3 = 3
Aplicamos Ruffini con la raíz conocida
ahora resolvemos
la ecuación
x12 
5
5
2
 4 2 2
2 2
P  2( x  3 )( x  2 )( x  1 )
2
Te propongo la verificación de los resultados,
que consiste en efectuar el producto de los
factores binomiales y obtener el polinomio P
2x
11 b
2
 5x  2  0
x1 = 2

5
9
4
11 c

53
4
x2 = 1/2
11 b i) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m  0, determinar m
para que las raíces de P sean opuestas
Si las raíces de P deben ser opuestas
 1 = - 2
Aplicando relaciones entre raíces y coeficientes
en nuestro
caso
1 + 2 = 
Entonces podemos
escribir
y
7( m  1 )
pero por otro lado,
sabemos que
8m
1 + 2 = 
 7( m  1 )  0
1 + 2 = 
7( m  1 )
8m
P  8x
2
an
1 + 2 = - 2 + 2 = 0
entonces m  0
 0
m 1
7m  7
 7m  7  0
Verificamos para m = 1
an  1
 7( 1  1 ) x  1
P  8x
2
1
Igualando el polinomio a 0 y despejando x tengo las raíces
8x
2
1 0
x 

1
x1 
8
x2  
1
8
i
1
8
i
11 c
11 b ii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m  0, determinar m
para que las raíces de P sean recíprocas
1 
Si las raíces de P deben recíprocas
Aplicando relaciones entre raíces y coeficientes
en nuestro
caso
1  2 =
Entonces podemos
escribir
y
1
P 8
8
x
2
49
x 12 
2
1  2 =
m 
1
8
 7(
1
8
2
 1 
1
1  2 =
a0
an
 1) x  1
 49 

  4 1 1
8 

2 1
1  2 =
1
con
8m
P  x
2

49
8
x 1
x 1  5 , 96
1
2
 2 
1
8m
m0
m 
Verificamos para
8
2

2
pero por otro lado,
sabemos que
8m
8m  1
1
1
8
Igualando el
polinomio P a 0 y
aplicando la fórmula
que resuelve la
ecuación de 2º grado
x 2  0 ,17
11 c
11 b iii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m  0, determinar m
para que las raíces de P sean reales e iguales
P tiene dos raíces (grado 2) y si las raíces son iguales
En la fórmula que resuelve la ecuación de 2º grado
b
2
 4a  c  0
a  8m
b
2
49 ( m
2
b 
1 = 2
b
2
 4a  c
2a
Para que al quedar como soluciones solamente
[ 7 ( m  1 )]
 2 m  1 )  32 m  0
2
49 m
Resuelvo ahora la ecuación de 2º grado
2
 4( 8 m )  1  0
130  16 2
98
sean 1 = 2
2a
49 ( m  1 )
49 m
 98 m  49  32 m  0
130 
(  130 )
2
 4  49  49
2  49
m1 
b
c 1
b  7( m  1 )
 4a  c  0
hacemos
m2 

130  16 2
98
11 c
2
2
 32 m  0
 130 m  49  0
130 
7296
98

11 c i)
Para hallar las raíces de P = 2 x3 - x2 - 18 x + 9
sabiendo que
1 + 2 = 0
Planteamos
0  3 
2
1
1  2  3  
1
2
2

entonces
2
-1
1
2
1
0
1
2
3 
-18
9
0
-9
-18
0
Pero si 1 + 2 = 0
Aplicamos Ruffini
1
Podemos escribir
2
P  2x
3
x
2
 18 x  9  ( x 
2x
2
 18  0
Entonces 1 = 3
3
x
2
)( 2 x
2
 18 )
Buscamos las restantes raíces
Factoreando
P  2x
1
2
x
2

y
1

 18 x  9  2( x  3 )( x  3 )  x  
2

Recuerde que se trata de un polinomio no mónico (an  0 )
El polinomio factoreado tiene como factor el coeficiente
principal
18
2
 9
2 = - 3
11 c) ii) Para hallar las raíces de P = x3 + 2 x2 + 3 x + 2
sabiendo que
1 = 2 +  3
Planteamos
1  2  3  
1  1  2
1
entonces
2
3
2
1
Pero si
 2
luego
2 1   2
-1
1
1
-1
2
Aplicamos
Ruffini
1  1
Buscamos las restantes raíces
2
x
-1
1 = 2 + 3
-2
2
x 2  0
2
1
1  4 1 2
0
2 1

1
18
2
2  
1
2

3  

1
2
7
2

La raíz cuadrada de un número negativo es un número imaginario, que lo resolvemos
calculando la raíz cuadrada del valor absoluto y agregamos el imaginario i
Factoreando


1
7
 

1
7

P  ( x  1 )   x    
i     x    
i  
2
2
2
2

 



i
7
2
i
Vamos ! ! !
Que falta menos ! ! !
Lo esencial es
invisible a los
ojos
A. De Saint Exupery
Así como el hierro se oxida por falta de uso, así también la inactividad destruye el intelecto.
Leonardo Da Vinci.