1
W.Ortiz / E.Hernández
2
Objetivos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Definir el concepto de expresión racional.
Simplificar expresiones racionales.
Multiplicar expresiones racionales
Dividir expresiones racionales
Sumar expresiones racionales.
Restar expresiones racionales.
Simplificar fracciones complejas.
3
Definición
Una expresión racional es una expresión de la
forma
p( x)
q( x)
y
q ( x )  0.
, donde p(x) y q(x) son polinomios
4
Ejemplos de expresiones racionales
1)
x3
2x  5
x  5x
2
2)
x  25 x
3
x x6
2
3)
x  2x  3
2
5
Simplificación de expresiones racionales
Procedimiento para simplificar expresiones
racionales
1. Factorice completamente el numerador y el
denominador de la expresión racional.
2. Cancele o divida aquellos factores que sean
comunes (iguales) en el numerador y en el
denominador.
6
Ejemplos
Simplifique cada expresión racional.
1)
2)
4 x  xy
16  y
2
4w  2
1  2w


x 4  y
4  y4  y
2  2 w  1
1  2w


x
4 y
x

2  2 w  1
  2 w  1
y4

2
1
 2
x  10 xy  24 y
2
3)
x  5 xy  4 y
2
8 x  27
3
4)
2x  3

2
2

x  6yx  4y
x  4yx  y

 2 x  3 4 x  6 x  9
2
2x  3

7

x 6y
x y
 4x  6x  9
2
8
Multiplicación de expresiones racionales
Procedimiento para multiplicar expresiones
racionales
1. Factorizar los numeradores y denominadores
de las expresiones racionales.
2. Dividir los factores comunes que hayan entre
los numeradores y denominadores.
3. Multiplicar los numeradores y colocar el
resultado sobre la multiplicación de los
denominadores.
9
Ejemplos
2
x 1

x  4   x  1   x  2 x  2
1.  2

 

 x  3 x  2   2 x  4   x  1  x  2  2  x  2 
 x2  2x  8   x  3 
2. 


2
x 9 x4


 x  2 x  4 x  3
 x  3  x  3  x  4 
x2
x3
;
x  3, x   3, x  4
1
2
10
 x2  2x  8   x  4 
3. 


2
 x  16   x  2 
 x  4 x  2
 x  4 x  4
 x 1 


 x  2 

x2
x  4, x   4, x  2
1,
 x2  2x
4.  2
 x 1
x4
x  x  2
x 1
 x  1  x  1
x2
x
x 1
,
x  1, x   1, x  2
División de expresiones racionales
Procedimiento para dividir expresiones
racionales
1. La división se cambia a la multiplicación por
el reciproco del divisor.
2. Factorizar los numeradores y denominadores
de las expresiones racionales.
3. Dividir los factores comunes que hayan entre
los numeradores y denominadores.
4. Multiplicar los numeradores y colocar el
resultado sobre la multiplicación de los
denominadores.
11
Ejemplos
12
Lleva a cabo la operación indicada.
2
 x  3  x  3
x3
x 9
x3

1.


2
 x  2 x  2 2  x  2
x  4 2x  4

 x  3  x  3 2  x  2 
 x  2  x  2  x  3
x  2x 1
2
2.

x x
3

2  x  3
 x  2
x x2
2

3x  3
2
 x  1  x  1  x  2   x  1
x  x  1
2

3  x  1
2

2x  6
x2
 x  1  x  1

x  x  1
2



 x  2   x  1
3  x  1
2
 x  1  x  1
3  x  1
x  x  1
 x  2   x  1
2
3  x  1
x  x  2

2
3x  3
x  2x
2
13
x  6x  9
2
3.
x  3x
2

x  2x  3
2

3x  3x
2
 x  3   x  3  3 x  x  1
x  x  3
 x  3   x  1
 3
14
15
Suma y resta de expresiones racionales
Procedimiento para sumar y/o restar
expresiones racionales.
1. Para sumar o restar expresiones racionales
con el mismo denominador; sumamos o
restamos los numeradores conservando el
denominador común.
2. Para sumar o restar expresiones racionales
con denominadores distintos,
a. Encuentra un denominador común, el
denominador común recomendado es el
mínimo común múltiplo.
16
b. Encuentra las expresiones equivalentes
usando el denominador común.
c. Suma o resta los numeradores y coloca el
resultado sobre el denominador común.
d. Simplifica si es posible.
17
Efectúe la operación indicada.
1)
2)
5x  3
x7

2x  5

x7
5x  3  2x  5
x7
x  3x  4

 x  3  x  2   x  3  x  2 

2
 x  3  x  2 
x7
2
2x
2x  x  3x  4

7x  2


2x  x  3x  4
2

 x  3  x  2 
x  5x  4
2

 x  3  x  2 
18
x4
3)
x2

2
 x  2   x  1
x  x  4 x  4  3 x  6 x  5 x  10
2

x 1

 x  4   x  1   3 x  5   x  2 
 x  2   x  1
x  x  4 x  4  3 x  6 x  5 x  10
2


3x  5
2
 x  2   x  1


19
x  x  4 x  4  3 x  6 x  5 x  10
2

2
 x  2   x  1
2 x  2 x  6
2

 x  2   x  1
20
4)

y
2y 7y 3
2
y
 2 y  1  y  3 


+
y3
y 1
2
4y  4y 3
2

2y  3y  9
2
y3

y 1
2

 2 y  1  2 y  3   2 y  3   y  3 

y  2 y  3   y  3  y  3  y  1
2
 2 y  1  2 y  3   y  3 
  2 y  1


y  2 y  3   y  3  y  3  y  1

 
2y  3y  y  6y  9  2y  y  2y 1
2
3
2
 2 y  1  2 y  3   y  3 
2y  3y  y  6y  9  2y  y  2y 1
2

  2 y  1
 2 y  1  2 y  3   y  3 
2

2
2
3
2
 2 y  1  2 y  3   y  3 

21
22
2y  3y  y  6y  9  2y  y  2y 1
2

2
2
 2 y  1  2 y  3   y  3 
 2 y  4 y  5 y  10
3

3
2
 2 y  1  2 y  3   y  3 
Definición
Una fracción compleja es una división de dos
expresiones racionales.
Ejemplos
x y
x
x y
1)
y
2)
1
x
a3
3)
5
a
3a
2

1
x
5
x
23
24
Procedimiento para simplificar fracciones
complejas.
1. Simplifica las operaciones en el numerador.
2. Simplifica las operaciones en el denominador.
3. Cambia la división a la multiplicación por el
reciproco del divisor.
4. Multiplica las expresiones racionales.
25
Procedimiento alterno para simplificar
fracciones complejas
1. Encuentra el denominador común de los
denominadores en las expresiones racionales
del numerador y del denominador.
2. Multiplica el numerador y el denominador de
la fracción compleja por el denominador
común.
26
Ejemplos:
Simplifique cada fracción compleja.
1)
3 2
12   

17
4 3
98
4 3 



1 1
1 1
1
32

12   
4 6
4 6
2)
1

cd  c  
2
c
c
cd

1


c
d

c
d


d 



2
1
1  cd  d
d  cd  1 

d 
cd  d  
c
c

3
2
1
17
c
d
27
1
x
3)
xy
1
2
 xy
x
2
2
y
1

x
x
y
1
x 
x y   2
x y 
2
2
x

y
2
1

2
x y
2
1 
2 2  x
x y  2  2 
x y
 y
xy  x
2

x  y
3
3

28
1
x
4)
x
1
2
x
2
 x
1

x
x

2

x
2
x
x
2

x

x
1
2
x

2
2
x
2
x
x

1
1
x 1
1 x
2
1
x


x
1
x
1
2
x

2
1
x
x
2
x
2
29
Simplifica la fracción compleja simplificando el
numerador y el denominador primero.
1
5)
x
x
1
2
x
2
x
1


x
1
x
x
2
x
1

2
2
x
1

1
x
x
x 1

2
x
x 1
x
2

x 1
x
2
x
2
x 1

2


x 1
x 1
1
2
x
x
x
2
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