MANTIK BİLİMİNE GİRİŞ
VE
ÖNERMELER MANTIĞI
Yılmaz KILIÇASLAN
Mantık Nedir?
What is logic? Philosophers disagree on the answer to this question.
They agree that it is about inferences and truth's logical liaisons, but
they disagree whether, when we study this, we are studying about the
human mind, or about the world itself, or about how languages
work. Aristotle was never clear about this. Some logicians have said
logic is a body of knowledge, like astronomy and biology, but others
have said it's more of a tool for thinking. Aristotle wasn't clear on this
either, but ancient philosophers who believed it is a tool renamed
Aristotle's writings Organon, which is the Greek world for tool. Kant in
about 1800 said logic describes reasoning; it is about how people do
think. But the American philosopher C. S. Peirce (1839-1914) disagreed
and said logic is only prescriptive of mental processes; it prescribes
how we ought to think. In 1879, the German philosopher Frege
disagreed and said logic is not about thinking; it is about the
axiomatization of a body of statements taken to be true. Wittgenstein in
1921 said logic expresses what is common to thought, language, and
reality. In 1956, the American philosopher Chomsky said humans have
an innate understanding of some of the rules of their grammar, namely
those abstract rules that are common to all natural languages. Is our
understanding of some of the rules of logic also innate in the same
sense? Well, whatever logic is, that's what we will be studying.
Mantık Bilimi Neyle Uğraşır?



Mantık, akıl yürütmenin bilimi olarak
tanımlanabilir.
Çıkarımlar, (argümanlar) akıl yürütmenin
önemli araçlarıdır.
Mantık biliminin görevi, doğru akıl yürütmenin
ya da eş deyişle geçerli çıkarım oluşturmanın
yasalarını tespit etmektir.
Çıkarımlar


Çıkarım, içlerinden bir tanesinin sonuç ve
diğerlerinin öncül (aksiyom) olduğu, bir dizi
yargı cümlesinden (ya da, daha kesin bir
ifadeyle, bir dizi önermeden) oluşur.
Eğer öncüllerinin doğru olması halinde
sonucu doğru olmak zorundaysa, bu çıkarıma
geçerli bir çıkarım denir.
Çıkarım Örnekleri (1)
1.
2.
3.
Ali partiye gelecek veya Ayşe partiye gelecek.
Ali partiye gelmeyecek.
-------------------------------Ayşe partiye gelecek.
Ali partiye gelecek veya Ayşe partiye gelecek.
Ali bir çocuk bakıcısı bulamazsa partiye gelmeyecek.
Ali çocuk bakıcısı bulamadı.
-------------------------------Ayşe partiye gelecek.
Bütün uçaklar düşebilir.
Bütün F-16’lar uçaktır.
-------------------------------Bütün F-16’lar düşebilir.
Çıkarım Örnekleri (2)
4.
5.
Ali bir öğretmendir.
Ali akıllıdır.
-------------------------------Bütün öğretmenler aptal değildir.
Bütün balıklar memelidir.
Moby Dick bir balıktır.
-------------------------------Moby Dick memelidir.
Geçerlilik ve Öncüllerin/Sonucun Doğruluğu

Bir çıkarımın, geçerli olup olmadığını anlamak için
öncüllerinin veya sonucun doğruluk değerini bilmek
gerekmez (örn. Çıkarım 1).

Geçerli bir çıkarımın, öncülleri veya sonucu açıkça
yanlış olabilir (örn. Çıkarım 5).

Geçersiz bir çıkarımın, bütün öncülleri doğru olabilir.
Örnek:
6.
Bütün atlar memelidir.
Bütün atlar otoburdur.
-----------------------------Bütün memeliler otoburdur.
Çıkarım Şemaları (1)

7.
8.
Aşağıdaki bütün çıkarımlar geçerlidir:
Can partiye gelecek veya Ayşe partiye gelecek.
Can partiye gelmeyecek.
-------------------------------Ayşe partiye gelecek.
Can derse gelecek veya Ayşe derse gelecek.
Can derse gelmeyecek.
-------------------------------Ayşe derse gelecek.
Çıkarım Şemaları (2)

9.
10.
Eğer bütün alternatifleri denersek 1. çıkarım tipindeki
çıkarımlarda yalnızca veya ve olumsuzluk takısının
geçerliliği etkileyen öğeler olduğunu görürüz:
Ali partiye gelecek veya Ayşe partiye gelecek.
Ali partiye gelecek.
-------------------------------Ayşe partiye gelecek.
Ayşe partiye gelirse Ali partiye gelecek.
Ali partiye gelmeyecek.
-------------------------------Ayşe partiye gelecek.
Çıkarım Şemaları (3)

1., 7. ve 8. çıkarımlar aşağıdaki çıkarım şemasının
örnekleri olarak düşünülmelidir:
A veya B
B değil
-----------A

Geçersiz ve geçerli birer çıkarım şeması:
B ise A
A değil
-----------B
Bütün P’ler Q’dur.
a P’dir.
-----------a Q’dur.
Mantık Sabitleri ve Mantık Sistemleri


Mantık sistemlerinin düzeyini belirleyen sahip oldukları mantık
sabitleridir.
MANTIK SABİTLERİ
MANTIK SİSTEMLERİ
ve, veya, ise, ancak ve ancak, değil
Önermeler Mantığı
her, bazı
Yüklem Mantığı
olasılıkla, kesinlikle
Kip Mantığı
-DI, -ECEK
Zaman Mantığı
inanmak, bilmek
Epistemik Mantık
Mantık sabitlerinin yorumunu değiştirmek suretiyle de yeni mantık
sistemleri oluşturmak mümkündür; örneğin Sezgisel Önermeler
Mantığı gibi.
Önermeler Mantığı - Bağlaçlar

Yalnızca doğruluk değerleri üzerinden fonksiyonel
olarak tanımlanabilen bağlaçlar ve olumsuzluk
operatörü, Önermeler Mantığı için Mantık Sabiti
olabilirler. Örnekler:
(1) Ali kafasını duvara çarptı ve ağlıyor.
(2) Ali ağlıyor çünkü kafasını duvara çarptı.
(3) Ali ağlıyor.
(4) Ali kafasını duvara çarptı.
(5) Ali ağlıyor çünkü yağmur yağıyor.
(6) Yağmur yağıyor.
Önermeler Mantığı – Doğruluk Tabloları (1)

OLUMSUZLUK:
φ ¬φ
----------------0
1
1
0

VE:
φ ψ
(φ  ψ)
----------------------0 0
0
0 1
0
1 0
0
1 1
1
Önermeler Mantığı – Doğruluk Tabloları (2)

VEYA:
φ ψ
(φ  ψ)
--------------------------0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1

İSE
φ ψ
(φ  ψ)
----------------------0 0
1
0 1
1
1 0
0
1 1
1
Önermeler Mantığı – Doğruluk Tabloları (3)

ANCAK VE ANCAK:
φ ψ
(φ  ψ)
--------------------------0 0
1
0 1
0
1
1
0
1
0
1
Önermeler Mantığı ve Küme Kuramı
Önermeler Mantığı – Bir Formel Dil-L0 (1)

SÖZDİZİM:
A. Temel İfadeler
1. Mantık Sabitleri: ¬, , , , 
2. Önerme Değişkenleri: p, q, r, p1, q1, r1, …
B. Oluşum Kuralları
1. Her önerme değişkeni L0’a ait bir formüldür.
2. Eğer φ L0’a ait bir formül ise ¬φ da öyledir.
3. Eğer φ ve ψ L0’a ait formül iseler
(φ  ψ), (φ  ψ), (φ  ψ), (φ  ψ) de öyledir.
4. Başka bir şey formül olamaz.
Önermeler Mantığı – Bir Formel Dil-L0 (2)

L0 için bir BNF (Backus-Naur Form) Gramer:
Formül  p
|q
|r
| p1
| q1
| r1
|…
Formül  ¬ Formül
| ( Formül  Formül )
| ( Formül  Formül )
| ( Formül  Formül )
| ( Formül  Formül )
Önermeler Mantığı – Bir Formel Dil-L0 (2)

SEMANTİK:
L0 için modelimiz bütün önerme değişkenlerine 1 yada 0 değerini
atayan bir F fonksiyonudur.
1.
[]F = F(), bütün  önerme sabitleri için.
2.
Eğer [φ]F = 0 ise [¬φ]F = 1’dir (ve diğer durumlarda [¬φ]F = 0’dır).
3.
Eğer [φ]F = 1 veya [ψ]F = 1 ise [φ  ψ]F = 1’dir.
4.
Eğer [φ]F = 1 ve [ψ]F = 1 ise [φ  ψ]F = 1’dir.
5.
Eğer [φ]F = 0 veya [ψ]F = 1 ise [φ  ψ]F = 1’dir.
6.
Eğer [φ]F = 1 ve [ψ]F = 1 veya
[φ]F = 0 ve [ψ]F = 0 ise [φ  ψ]F = 1’dir.
Semantik Geçerlilik

Eğer φ1 … φn önermelerinin her birinin doğru olduğu
bütün modellerde ψ önermesi de doğruysa,
φ 1 … φn / ψ
argümanına (semantik olarak) geçerli bir argüman
denir.
Bu durumda ψ, φ1 … φn önermelerinin semantik
sonucudur deriz:
φ 1 … φn ╞ ψ

p  (q  r), q  ¬r / ¬p argümanının geçerliliğni
semantik olarak gösteriniz.
Hep-Doğrular ve Hep-Yanlışlar
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 1

 Bağlacı İçin Ekleme Kuralı:
1.
.
.
.
m 1.
φ
.
.
.
m2.
ψ
.
.
.
n.
φψ
E , m1, m2
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 2

 Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı (i):
1.
.
.
.
m.
φψ
.
.
.
n.
φ
Ç , m
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 3

 Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı (ii):
1.
.
.
.
m.
φψ
.
.
.
n.
ψ
Ç , m
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 4

 Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı:
1.
.
.
.
m 1.
φψ
.
.
.
m 2.
φ
.
.
.
n.
ψ
Ç , m1, m2
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 5

 Bağlacı İçin Ekleme Kuralı:
1.
.
.
.
m.
φ
Varsayım
.
.
.
n-1.
n.
ψ
φψ
E
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 6

 Bağlacı İçin Ekleme Kuralı (i):
1.
.
.
.
m.
φ
.
.
.
n.
φψ
E,m
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 7

 Bağlacı İçin Ekleme Kuralı (ii):
1.
.
.
.
m.
ψ
.
.
.
n.
φψ
E,m
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 8

 Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı:
1.
.
.
.
m1.
φψ
.
.
.
m2 .
φX
.
.
.
m3 .
ψX
.
.
.
n.
X
Ç , m1, m2 , m3
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 9

 Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı:
1.
m.
n.
.
.
.
φψ
.
.
.
(Φ  ψ)  (Φ  ψ) Ç  , m
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 10

 Bağlacı İçin Ekleme Kuralı (i):
1.
m1.
m2.
n.
.
.
.
φψ
.
.
.
ψφ
.
.
.
(Φ  ψ)
E  , m1, m2
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 11

 Bağlacı İçin Ekleme Kuralı (ii):
1.
m1.
m2.
n.
.
.
.
φψ
.
.
.
ψφ
.
.
.
(ψ  φ)
E  , m1, m2
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 12

¬ Operatörü İçin Çıkarma Kuralı:
1.
.
.
.
m 1.
¬φ
.
.
.
m2.
φ
.
.
.
n.
┴
Ç ¬, m1, m2
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 13

¬ Operatörü İçin Ekleme Kuralı:
1.
.
.
.
m 1.
φ
Varsayım
.
.
.
n-1.
n.
┴
¬φ
E¬
Örnek 1
Örnek 2
If the maid did it, then it was
done with a revolver only if it
was done in the parlor. But if
the butler is innocent, then
the maid did it unless it was
done in the parlor. The maid
did it only if it was done with
a revolver, while the butler is
guilty if it did happen in the
parlor. So, the butler is
guilty.
Anahtar:
p: the maid did it.
q: it was done with a revolver.
r: it was done in the parlor.
p1: the butler did it.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
p  (q  r)
öncül
(¬p1  ¬r)  p
öncül
(p  q)  (r  p1)
öncül
¬p1
varsayım
¬r
varsayım
¬p1  ¬r
E, 4, 5
p
Ç, 2, 6
qr
Ç, 1, 7
pq
Ç, 3
q
Ç, 7, 9
r
Ç, 8, 10
┴
Ǭ, 5, 11
r
E¬
r  p1
Ç, 3
p1
Ç, 3, 14
┴
Ǭ, 4, 15
P1
E¬
Alıştırmalar - 1

Aşağıdaki ifadelerin L0’a ait birer formül
olup olmadığını gösteriniz.
1. ¬(¬p  q)
2. (p  ((p  q)))
3. (p  (q  r))
4. (¬p  ¬¬p)
5. (p  (p  q)  q)
Alıştırmalar - 2
Aşağıdaki cümleleri L0’ın ifadeleri olarak
formüle ediniz.

1.
2.
3.
4.
5.
Kimse gülmedi veya alkışlamadı.
Güneş parlarken yağmur yağarsa, gökkuşağı görünür.
Ahmet işe arabayla veya bisiklet ve trenle gider.
Annem ve babam birlikte giderlerse ben gitmeyeceğim,
ama sadece babam giderse ben de gideceğim.
Yardımına ihtiyacım olduğunda bana yardım etmezsen,
bana ihtiyacın olduğunda da ben sana yardım etmem.
Alıştırmalar - 3

Aşağıdaki teoremleri dizimsel çıkarım ile
ispatlayınız:
1.
2.
3.
(p  q) |-- (q  p)
(p  q)  r |-- (q  p)  r
|-- ((p  q)  r)  (p  (q  r))
Descargar

Slide 1