Geodesia Física y
Geofísica
I semestre, 2014
Ing. José Francisco Valverde Calderón
Email: [email protected]
Sitio web: www.jfvc.wordpress.com
Prof: José Fco Valverde Calderón
Geodesia Física y Geofísica
I semestre de 2014
Capítulo 2
El campo gravitacional y sus anomalías
•
•
•
•
Nomenclatura:
W = potencial de gravedad real
U = potencial de gravedad normal
V = potencial gravitacional
 = potencial centrifugo
g  a cele ra ción de la gra veda d
  a celera ción de la gra veda d n orm a l
b  a ce lera ción gra vita cion a l
z  a celera ción cen trifu ga
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U  
•Se cumplen la relaciones:
W  g
V  b
U  
  z
b
•V es el potencial gravitacionalyV
es armónico
fuera de las masas
terrestres.
•Debido a la rotación terrestre,
una aceleración
   existe
z
centrifuga.
•Se asume una rotación con una velocidad angular ()
constante.
•La aceleración centrifuga está dirigida hacia el exterior, de
forma perpendicular al eje de rotación.
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Aceleración centrifuga
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•Se define el potencial centrifugo  como el potencial cuyo gradiente
es la aceleración centrifuga.
2
 
1
•Además, se define la velocidad angular
•() de la siguiente manera:
 
dia ( segundos )
2
861 64.1 0 s
  7.291 15  10
5
rad
s
•Se define la aceleración centrifuga de la
siguiente manera:
p 
•El parámetro p se como:
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z  p
2
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x  y
2
2
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•Por lo tanto, el potencial centrifugo
es equivalente a:
 
1
 p
2
2
2
•Se define el potencial de gravedad
de la siguiente manera:
•Expresado de otra forma:
W V 
W k

V olum en
dm
l

1
 (x  y )
2
2
2
2
•La aceleración de la gravedad o gravedad g es el resultado de la
gravitación b y la aceleración centrifuga z.
g bz
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El campo de gravedad normal
•Primera aproximación: la Tierra representada por una esfera.
•Segunda aproximación: la Tierra representada por un elipsoide
de revolución.
•Ningún elipsoide es igual a la forma real de la Tierra.
•Pero el campo de gravedad que se puede asociar es muy
importante  es fácil de manejar de forma matemática.
•Las diferencias entre el C.G del elipsoide y el C.G real de la
Tierra son tan pequeñas, que se pueden considerar lineales.
•Como consecuencia, es mas sencillo estudiar la forma de la
Tierra y su campo de gravedad, refiriéndose a un modelo de
gravedad.
•Este modelo nos dará las diferencias del mismo en relación con
el Geoide
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El campo de gravedad normal
•Se asume entonces que la Tierra es un elipsoide de nivel, esto
es, un elipsoide de revolución, cuya superficie es una superficie
equipotencial del campo de gravedad asociado al elipsoide.
•A este campo, asociado al elipsoide, lo llamaremos “Campo de
Gravedad Normal” y al elipsoide al que se le asocia este campo
“Elipsoide Normal”
•Una ventaja de este elipsoide normal es que le puedo asociar
un sistema de coordenadas elipsoídicas.
•Al definir el elipsoide normal, lo que se logró fue encontrar una
buena aproximación al geoide, que es matemáticamente simple
y cuyas diferencias con el geoide son muy pequeñas.
•Al campo de gravedad normal, le asociamos un “potencial de
gravedad normal”, que denotamos como U.
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El campo de gravedad normal
•Además, al elipsoide normal se le asocia una masa M y una
rotación, con una velocidad angular .
El elipsoide
normal posee
masa y rotación
Geoide
Elipsoide
normal
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El campo de gravedad normal
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El campo de gravedad normal
•Aclaración: se sabe que el potencial depende de la
distribución de masas en el interior de las masas atrayentes;
en el caso del elipsoide normal, nos basta con suponer que la
masa total es M, sin importar si no se conoce con detalle como
se comporta la densidad dentro del elipsoide.
•Por tanto, este elipsoide cumple las siguientes condiciones:
•Su masa coincide con la de la Tierra, por lo que el valor GM se
mantiene.
•La masa del elipsoide tiene una distribución homogénea (una
densidad constante, no importa cual) y gira en el espacio con
una velocidad angular igual a la de la Tierra.
•El centro del elipsoide coincide con el centro de la Tierra.
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El campo de gravedad normal
•Definimos el potencial de gravedad normal de la siguiente forma:
U  V elipsoide  
•El potencial gravitacional normal Velipsoide es generado por la masa
del elipsoide.
•El vector de gravedad normal es el gradiente del potencial de
gravedad normal:
  U
•Una característica del elipsoide normal es que las superficies
equipotenciales son de forma elipsoidal, concéntricas y paralelas
entre si.
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El campo de gravedad normal
•Recordar que las superficies equipotenciales del campo de gravedad
real NO son paralelas.
•El valor de U en cada punto depende de las dimensiones del elipsoide
que se tome como referencia.
•Entonces, se impone como condición que el potencial normal en la
superficie del elipsoide sea igual a Wo, esto es el potencial de
gravedad real sobre la superficie del geoide.
Campo de gravedad real
Campo de gravedad normal
W = V Tierra + 
U = VElipsoide + 
Superficie
Geoide
Elipsoide Normal
Potencial
W = Wo en el geoide
U = Wo en el elipsoide
normal
W  g
W  g
U  
 U Geodesia
  Física y Geofísica
V  b
Gradiente
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Superficies de nivel en el
campo de gravedad real
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Campo de gravedad real y normal
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•El elipsoide normal se puede definir con cuatro parámetros:
•La forma y el tamaño del elipsoide (a,b) , (a,f);
•Una velocidad angular ;
•La masa M.
•Se puede definir una fórmula para calcular el potencial de
gravedad normal de la siguiente manera:
U 
KM


1 
1   
2 q 
2
2
2
2
tan   
a
sin



(
u


)
cos



2
qo 
3
2
u
2
2
(1)
•Las únicas constantes en la anterior fórmula son kM (en
algunos libros GM), a, b y .
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•Con q y qo
(2)
2
1 
u 
u
1   
q    1  3 2  tan    3 
2 
 

u
2
1 
b 
b
1   
q o    1  3 2  tan    3 
2 
 

b
 
a b
2
2
(3)
Elipsoide normal
 = latitud reducida
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I semestre de 2014
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Teorema de Stokes-Poincare
•“Si un cuerpo de masa total M rota con una velocidad angular ()
constante alrededor de un eje fijo y si S es una superficie de nivel
de su campo de gravedad, encerrando toda la masa M, entonces el
potencial de gravedad en el espacio exterior de S es determinado
de forma única por medio de los parámetros masa, velocidad
angular y S.
U  U (M , , S )
•Donde S queda definida por los parámetros geométricos del
elipsoide. Haciendo que u=b, q=qo se tiene:
U Uo 
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KM

  
2
a
 
3
u
2
tan
1
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(4)
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Fórmula de Somigliana
•La fórmula de Somigliana permite calcular el valor de la
gravedad normal en la superficie del elipsoide normal, para una
latitud reducida :
a  b sin   b a cos 
2
 
2
a sin   b cos 
2
2
2
2
•En términos de la
latitud reducida :
(5)
•En términos de la   a  a cos   b b sin 
2
2
2
2
latitud geodésica :
a cos   b sin 
2
2
(6)
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•Considerando que:
tan  
b
tan 
(7)
a
•a= gravedad normal en el ecuador
•b=gravedad normal en el polo
•a = semieje mayor del elipsoide
•b =semieje menor del elipsoide
•=latitud reducida
• = latitud geodésica
•La gravedad normal para una latitud dada, es una función de los
valores de la gravedad normal en el ecuador, el polo y la geometría
del elipsoide de referencia.
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Teorema de Clairaut
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Teorema de Clairaut
a
GM 
m e´ q ´ 0 

1  m 

ab 
6 q0 
b 
(8)
GM 
m e´ q ´ 0 
1


2 
a 
3 q0 
qo  qu b
(9)
2
1 
b 
 b 
1   
   1  3 2  tan    3   
2 
 
b
  
2

b 
b
1    
q ´o  q ´u  b  3  1  2   1  tan     1
 

 b 

ab
a

b a
a
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 b
2

a
e ' q '0 
1 

2 q0 

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(10)
(11)
Forma rigurosa de
una aproximación
del teorema de
Clairaut (12)
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Teorema de Clairaut
•Considerando la siguiente expresión: r  a 1  f sin 2  
   a 1  f * sin  
2
•Donde f es el achatamiento geométrico del elipsoide
•Si se hace  = 90º, r = b,  = b b  a (1  f )
 b   a (1  f *)
•Despejando f y f*:
f
*
f
* b b a   a
(13)
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
a a
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
a  ab 
f  f 
a a
(14)
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Teorema de Clairaut
•Luego se tiene:
f  f*
5
m
(15)
2
•Cuya fórmula equivale al teorema de Clairaut en su forma
original.
•El teorema de Clairaut es uno de los teoremas mas notables
de la geodesia física:
•El achatamiento geométrico f, puede calcularse por medio
de la determinación de f* y m, las cuales son cantidades
netamente dinámicas obtenidas por medio de mediciones
gravimétricas, es decir, el achatamiento de la Tierra se puede
determinar a partir de mediciones gravimétricas.
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Teorema de Clairaut
•Donde f es el achatamiento del elipsoide geométrico y
f* es el achatamiento gravimétrico o achatamiento por
gravedad.
2
•Considerando m es igual a:
m
•Donde:
•2a = fuerza centrifuga en el Ecuador
•a = gravedad normal en el Ecuador
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 a
(16)
a
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Otras expresiones:
•Potencial normal:
GM 
1 '2 1 '4
U0 
1  e  e
b 
3
5
 1 2 2
  a
 3
(17)
•Gravedad normal en el ecuador y el polo:
GM 
3
3 '2 

e m
1  m 
ab 
2
14

(18)
GM 
3 '2 
 b  2 1  m  e m 
a 
7

(19)
a
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•Teorema de Clairaut:
5 b
9 2
f  f*
e' 
1 
2 a 
35

2
(20)
•La razón 2b/a se puede expresar como:
(21)
•Para mas información, ver de la página 69 a la 81 del libro
“Geodesia Física” de Hoffman-Wellenhof y H. Moritz
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Gravedad normal a una altura h
•Se puede calcular la gravedad normal para un punto con
latitud , que se encuentra a una altura h de la siguiente
manera:
2
3 2

2
 h   o 1  (1  f  m  2 f sin  ) h  2 h 
a
a


(22)
•Donde o se calcula con base a valores, que varían cada
cierto periodo. Se puede calcular la o con base a la
formula:
 o   a (1   sin    1 sin 2 )
2
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2
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Gravedad normal a una altura h
• Para el GRS-67, se tiene:
2
 o  9.780318 * (1  0.0053 024 sin   0.0000 059 sin 2  ) (m /s )
(23)
2
2
• Para el GRS-80, se tiene:
2
 o  9.780327 * (1  0.0 053024 sin   0.0000058 sin 2  ) (m /s )
2
• También es valido para el GRS80:
2
(24)
(25)
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Sistema de referencia geodésico GRS80
•A través de los años, se han adoptado diferentes sistemas
geodésicos, los cuales han sido definidos a partir de los
cuatro parámetros que definen el elipsoide normal.
•El mas actual* es el GRS 80, definido por a, J2, KM y 
•El coeficiente J2 se llama “factor de forma dinámica”
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Sistema de referencia geodésico WGS84
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