CAMPO GRAVITATORIO
1
LA CONCEPCIÓN PITAGÓRICA DEL UNIVERSO Y EL MODELO ARISTOTÉLICO
 La escuela pitagórica explicó la estructura del universo en términos matemáticos
 El gran fuego central, origen de todo, se relacionaba con el
Uno, origen de los números
 A su alrededor girarían la Tierra, la Luna, el Sol y los
planetas
 El periodo de revolución de la Tierra en torno al fuego central
era de 24 horas, a quien le ofrecía siempre su cara oculta
 Los periodos de la Luna y el Sol eran un mes y un año
respectivamente
 El universo concluiría en una esfera celeste de estrellas fijas,
y más allá se encontraba el Olimpo
 El número de cuerpos que formaban el universo era de 10
(obsesión por los números)
Pitágoras nació en Samos hacia el año
 Como solo observaban nueve, suponían que el décimo
estaba situado entre la Tierra y el gran fuego, al que
llamaron Antitierra
569 a.C.
2
EL MODELO DE ARISTÓTELES
 El universo estaba constituido por dos regiones esféricas, separadas y concéntricas
 La Tierra que ocupaba el centro del universo, era
la región de los elementos, fuego, aire, agua y
tierra
 Más allá de la esfera lunar se encontraba la
región etérea de los cielos, cuyo único
elemento era la incorruptible quinta esencia
 Los movimientos de todos los astros situados
en esferas concéntricas con la Tierra eran
perfectos
 El universo concluía con la esfera de las
estrellas fijas
3
EL GEOCENTRISMO DE PTOLOMEO
 Vivió en Alejandría en el siglo II y fue el más célebre astrónomo de la antigüedad
Estrella
lejana
 Las causas más importantes de los modelos
geocéntricos frente a los heliocéntricos
fueron:
- La falta de cálculos y predicciones
cuantitativas sobre las trayectorias de
los planetas
- Si la Tierra no fuese el centro del
universo, a lo largo de su recorrido
habría estrellas que tendrían que verse
bajo distintos ángulos. Este fenómeno se
denomina paralaje de las estrellas fijas
 Ptolomeo justificó su modelo calculando los
movimientos planetarios y prediciendo
eclipses de Sol y de Luna

’
Sol
Tierra
Paralaje anual de las estrellas fijas
4
 Las estrellas se describen como puntos en la esfera celeste que giran en torno a la
Tierra y mantienen las distancias fijas entre ellos, lo que justifica que pertenezca a una
única esfera hueca
 El Sol y la Luna presentan un movimiento diferente
 Ptolomeo introdujo la excentricidad de las
trayectorias, es decir, un desplazamiento
del centro de la órbita (Ex) respecto al
centro de la Tierra
Luna
t
 La velocidad angular de las trayectorias
debía ser constante respecto de un punto
fuera del centro de la trayectoria, punto
que denominó ecuante (Ec)
Ec E x
Tierra
 Estos ajustes explican las diferencias de
brillo y tamaño que se observan en el Sol
y la Luna, y los cambios de velocidad del
Sol a lo largo de su trayectoria
5
 Ptolomeo observó que los planetas realizaban movimientos retrógrados, volviendo
sobre su trayectoria formando lazos en la esfera celeste
 Para justificarlo utilizó un movimiento
compuesto por dos rotaciones
 El planeta giraba alrededor de un
punto que era el que en realidad
rotaba con respecto a la Tierra
 La órbita alrededor de la Tierra se
denomina eclíptica y la del planeta
epiciclo
 Un modelo sencillo de epiciclos no daba
respuesta a las caprichosas órbitas de
algunos planetas, por lo que hubo que
introducir varios epiciclos, e incluso
epiciclos dentro de otros epiciclos
6
COPÉRNICO.
 Desde la Tierra se apreciaba que planetas como Mercurio y Venus, que están más
cercanos al Sol, tenían un brillo variable a lo largo del año, lo que parecía indicar que
las distancias con respecto a la Tierra variaban y por tanto no podían girar alrededor de
esta; se llegó a la conclusión que todos los planetas tenían que girar alrededor del Sol
I
I
H
H
G
I
G
F
F
E
E
D
C
H
E
B
D
D
G
C
C
A
F
B
B
A
A
 Este planteamiento le permitió justificar el movimiento retrógrado de los planetas
para el que Ptolomeo había introducido los epiciclos
7
GALILEO
 Galileo consiguió observar las fases de
Venus con la ayuda de un telescopio,
convirtiéndose así en el primer defensor
a ultranza del sistema copernicano
 Encontró infinidad de estrellas nunca
vistas hasta entonces y llegó a
descubrir la deformidad de la Luna y su
superficie rugosa
 En 1610 Galileo descubrió los satélites
de Júpiter, confirmando así que la Tierra
no era el centro del universo
 En 1632 publicó en Florencia su obra
Diálogo sobre los dos grandes sistemas
del mundo
Galileo nació en Pisa en 1564
 Un año después fue procesado por la
Inquisición
8
LAS LEYES DE KEPLER.
 Tras cuatro años de observaciones sobre
Marte, llegó a la conclusión de que los
datos colocaban las órbitas ocho
minutos de arco fuera del esquema
circular de Copérnico
Perihelio
 Comprobó que este hecho se repetía para
todos los planetas
 Descubrió que la elipse era la curva que
podía definir el movimiento planetario
 La posición del extremo del semieje
mayor más alejada del Sol se llama
afelio
Afelio
Foco
  Eje menor

Sol
b
a
Eje mayor
 La posición más cercana, es el perihelio
Primera ley: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor
del Sol, estando situado este, en uno de sus focos
9
 Kepler observó que la velocidad de los planetas dependía de su posición en la órbita
Segunda ley: El radiovector dirigido
desde el Sol a los planetas, barre
áreas iguales en tiempos iguales
1 de enero
30 de
julio

r 1 enero
A
A

Sol
r 1 julio
1 de
julio
30 de
enero
 El módulo del producto vectorial de 2 vectores es el área del paralelogramo que forman.
Para un triángulo:
dA 


r x v dt
1
2


 Como en el sistema solo actuan fuerzas centrales, entonces M  0 y por tanto L  cte.
 A partir de aquí se deduce que la velocidad areolar también es constante ya que es:

L

dA
dt

1
2


r x v

1
2 m
 cte
siendo dA/dt la velocidad areolar
10
 Sirvió como base de la ley de Newton de la gravitación universal, y permitió calcular la
masa de los planetas
 Cada planeta, parecía tener su órbita propia y su velocidad independiente del resto.
Buscó la regla y encontró la solución en las medidas de Tycho Brahe
 Esta ley muestra la relación entre los tamaños de las órbitas y el tiempo empleado por
los planetas en recorrerlas
Tercera ley: El cuadrado de los periodos de revolución de los planetas
alrededor del Sol (T) es proporcional a los cubos de los semiejes mayores,
o radios medios, de sus órbitas (r), T 2 = Kr 3 siendo K una constante igual
para todos los planetas

 Como el sistema solares un sistema de fuerzas centrales, M = 0, por tanto se conserva
el momento angular L = cte
 La conservación de la dirección y el sentido obliga a que los planetas siempre giren en el
mismo sentido y en órbitas planas
 La conservación del módulo justifica la ley de las áreas
11
CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR EN EL CAMPO GRAVITATORIO

v
m’

F

 Un campo de fuerzas es central cuando, en cualquier
punto de él, la fuerza ejercida sobre un cuerpo está en
la misma recta que une el cuerpo con el origen del
campo y su valor solo depende de la distancia entre
ambos:

 La fuerza es de la forma:

 Si el campo es gravitatorio:
r

F  f (r ) u r
F
-
r


k
ur
2

 Si el campo es central, los vectores r y F tienen la
misma dirección y su momento de fuerzas es nulo:

M
m



r
x
F
 0


M 
dL
dt
 0


L
 cte 

L


r
La conservación del momento angular implica
que se conserven módulo, dirección y sentido

x m v  cte
12

 Si



L r x mv
cte
el vector L se conserva en dirección, sentido y módulo
 Por conservar la dirección:


El momento angular será perpendicular al plano que forman los vectores r y v , por
tanto la trayectoria de la partícula debe estar en un plano
 Por conservar el sentido

Si L conserva el sentido, la partícula siempre recorrerá la órbita en el mismo sentido,
y por tanto las trayectorias de los cuerpos en el seno de campos de fuerzas centrales
serán curvas planas
 Por conservar el módulo:
Representa el área del paralelogramo formado por los dos vectores que constituyen el
producto vectorial

r


x r  2 S

S
 S
r  
L
2m
r x m
t
t


Como L  cte , la velocidad areolar también

r
Sol
2º LEY DE KEPLER

 r
Tierra
13
NEWTON Y LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
 La atracción de la esfera actúa como si toda su masa estuviese concentrada en el centro
 Si M es la masa de la Tierra y R su radio, la fuerza
ejercida sobre un cuerpo de masa m situado a una
altura h sobre su superficie responde a la ley de Newton:
F G
Mm
r
2
 G
m
Mm
(R  h )
2
La fuerza gravitatoria con que se atraen dos
cuerpos es directamente proporcional al producto
de sus masas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que les separa
h
r
R
 A partir de esta ley, Newton pudo explicar
fenómenos tales como:
- Las protuberancias de la Tierra y de
Júpiter a causa de su rotación
- El origen de las mareas
- Las trayectorias de los planetas
- La variación de la gravedad con la altura
- El cambio en el eje de rotación de la Tierra, etc
14
 H. Cavendish verificó experimentalmente el valor de la constante G, y a partir de su
valor, se puede deducir la tercera ley de Kepler de la gravitación universal de Newton
 En el sistema formado por un planeta en su giro en torno al Sol, la única fuerza que
mantiene a los planetas en su órbita es la fuerza centrípeta
FN  F c  G
v2
 m
r
Mm
r
2
 Despejando v resulta:
v 
G
M
r
(1)
Que es la velocidad de un planeta o satélite girando en una órbita de radio r alrededor de
un cuerpo de masa M
 Como v es aproximadamente constante:
 Igualando (1) y (2):
G
M
r

2 r
T
 G
v 
M
r

s
t
2
4 r
T
2

2 r
T
(2)
2

T
2

4
2
GM
r
3
( 3 ª ley de Kepler )
 Este resultado permite calcular la masa de cualquier planeta conocido el período y el
radio de uno se sus satélites
 Si M es la masa del Sol, el valor de la constante coincidirá con el valor que calculó Kepler
15
Deducción de la ley de Newton a partir de las leyes de Kepler
 Se supone que las órbitas descritas por los planetas en torno al Sol son circulares, sin
que ello suponga cometer un gran error puesto que en realidad son prácticamente así
 Velocidad angular del planeta:  
2
T
 a 
4 2
 Su aceleración centrípeta: a = 2 R
 Por la 3ª ley de Kepler (T2 = kR3): a 
T
4 2
kR
3
R 
2
Tierra
R
R
F
cte
R

2
Sol
 La fuerza F ejercida sobre un planeta de masa m es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
F  m a  cte
m
R
2
 Dicha constante incluye la masa del Sol es decir: cte = GM 
F  G
Mm
R
2
La ley de gravitación universal indica que la fuerza de interacción entre
dos partículas materiales es directamente proporcional al producto de las
masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia
Ley de la
gravitación
universal
16
EL CAMPO GRAVITATORIO
 La ecuación de Newton proporciona la expresión de la fuerza entre dos masas:

F
 -G
m 1 m2
r
2

( u ) siendo
r

u r

z
r
r
m’
 Para explicar la acción que una masa ejerce sobre otra
situada a cierta distancia, se introduce el concepto de
campo de fuerzas

r
m

g
y
 La masa m hace que las propiedades del espacio que
la rodea cambien, independientemente que en su
proximidad se sitúe otra masa m’
x

 La intensidad del campo gravitatorio g en un punto es la
fuerza por unidad de masa situada en dicho punto


g F
m

1
 -G
m2
r
2

ur
cuyo módulo es:
g  -G
m ( fuente )
r
2
y se expresa en N/kg o también
m/s2 en el S.I.


 La fuerza gravitatoria sobre otra masa inmersa en el campo es: F  m g
17
 Cuando se trata de cuerpos extensos, se supone la masa concentrada en el centro
de masas, y además se considera para las distancias que r = RT + h
P
 El módulo del campo gravitatorio creado es:
g  G
(R T  h )2
 En las proximidades de la superficie, donde h es
despreciable frente al RT puede considerarse:
g0  G
h
MT
MT
2
RT
A
r = RT+h
RT
 9 ,8 m / s 2
 La fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m colocado a una altura h sobre la
superficie terrestre será:
F  G
MT m
(R T  h )2
 mg
18
 Los campos de fuerzas se representan
mediante líneas de campo
 En el campo gravitatorio, las líneas de
campo como es un campo atractivo se
dirigen hacia las fuentes del campo
m
M
Características de las líneas de campo
 Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo. Si se dibujan más líneas
de campo se trata de un campo más intenso
 Dirección del campo en un punto es la tangente a la línea en dicho punto
 El sentido viene indicado por la flecha, y es el que seguiría la unidad de masa
colocada en dicha línea por efecto de las fuerzas del campo
19
Principio de superposición
 La intensidad del campo en un punto P, creado por un conjunto de masas puntuales, se
obtiene calculando la intensidad de campo creada por cada una de las partículas y
sumando los resultados parciales




n
g T  g 1  g 2  ...  g n  
i1
-G

mi

ri
2
. ui

g


r3
ri
 También se puede aplicar al cálculo de la
fuerza ejercida sobre cierta masa por la
acción de un conjunto discreto de ellas

FT  m gT
g1

3

r1
g 2 g
1

ri
siendo u i  


P

g
T
m1

g
3

r2
m2
m3
n 
  Fi
i1
Si un cuerpo está sometido a la acción
de varias fuerzas gravitatorias, el efecto
total resultante es la suma de los
efectos individuales de cada fuerza
20
CAMPOS DE FUERZAS CONSERVATIVOS
 Sea una partícula de masa m situada en el seno de un
campo de fuerzas
B

 Por cada desplazamiento  r que realice la partícula,
la fuerza del campo realiza un trabajo:


 r

W  F  r


 Para desplazamientos infinitesimales: dW  F d r

 r
 El camino total desde un punto A a otro B es

la suma de todos los d r

F

 r

 Si en cada d r se realiza un trabajo dW, el
trabajo total será la suma de todos los
realizados en cada intervalo infinitesimal:

A

m

dr

W   F d r
A
B
Campos de fuerzas conservativos son aquellos en los que el trabajo
depende solo de los puntos inicial y final, y no del camino seguido
21
 En un campo de fuerzas conservativo, el resultado de la integral del trabajo realizado
para ir desde A hasta B puede expresarse como una nueva función, Ep que depende
solo de los puntos inicial y final

B


W A  B   A F d r  E p ( A ) - E p (B )
B
C1
 Si el campo de fuerzas es conservativo,
WAC
1 B
 WAC
2
 B
A
 Si se invierte el segundo camino,
W
A
C  B
2
 - WBC
2
W
 A

A  C1  B
W
A
 C1  B
 WBC
2
 A
 -WB
C
2
C2
 A
 0
Cuando un cuerpo se desplaza por una trayectoria cerrada en un campo de
fuerzas conservativo, el trabajo total realizado por las fuerzas del campo es
nulo


C F d r
 0
22
EL CAMPO GRAVITATORIO ES UN CAMPO CONSERVATIVO
 Las fuerzas gravitatorias creadas por una partícula m que actúan sobre la partícula m’,
son radiales y con sentido hacia m
 Cualquier camino de A hasta B se descompone en suma de
arcos circulares centrados en m y de desplazamientos
radiales
B

 El trabajo por el arco circular es nulo, por ser la fuerza
perpendicular al desplazamiento
 El trabajo por el camino radial, es igual para todos los
caminos que se elijan entre A y B
A

 Se define circulación de una magnitud vectorial
a lo largo
v
de una línea L a la integral definida entre los límites de dicha
línea
B 

m’
m
C   v dL
A
 Si el campo es conservativo, la circulación a lo largo de una línea cerrada es nula


C  0  C F d r  0
 Para el campo de fuerzas gravitatorio:


C g d r 
1
m


C F d r  0
23
ENERGÍA POTENCIAL
 Una característica de los campos conservativos es que puede definirse una magnitud
denominada energía potencial
 Los cambios producidos en la energía potencial, indican el trabajo realizado por las
fuerzas del campo
 Este trabajo no depende del camino recorrido sino de las posiciones inicial (A) y final (B)
en las que se encuentra el cuerpo
W A  B  E p ( A ) - E p (B ) 
W  -  Ep
Teorema de la energía potencial: En un campo conservativo el trabajo
realizado por las fuerzas del campo es igual a la variación de la
energía potencial cambiada de signo


 Conocido el valor de la fuerza:  E p  - F  r
 Considerando incrementos diferenciales:



d Ep  - F d r

 Integrando: E p  -  F d r
 Si se integra la fuerza del campo entre dos puntos A y B del campo gravitatorio, se
obtiene la diferencia de potencial
24
 Para calcular su valor, basta con resolver:


d Ep  - F d r


d
E
p
G
m1 m 2
r
2


r r
d
EP
r
El trabajo realizado es máximo cuando los

desplazamientos ( d r ) están en la misma dirección



que r , y así el producto escalar r d r se reduce al
producto de los módulos:
Ep   G
m m'
r2
dr

Ep  - G
m m'
 C
r
Ep  - G
m m'
r
 La Energía potencial gravitatoria es cero cuando r tiende a infinito, y por tanto C = 0
 La energía potencial de una masa a una cierta altura sobre la superficie de la Tierra es:
Ep  -G
M T m.
RT  h
Cuando se trata de energías potenciales en realidad siempre se está calculando su diferencia
entre dos puntos, tomando como referencia (valor cero) uno de ellos
En el caso del campo gravitatorio terrestre y para distancias cercanas a su
superficie se puede tomar como referencia la propia superficie de la Tierra. De ahí
sale la expresión Ep=m.g.h
25
E p ( A) - E p ( B )  - G
E p ( A ) - E p ( B )  - GmM
T
RT  h
- (- G
mM
T
)
RT
2
h
T
mM
E p ( A) - E p ( B )  - g 0m
RT ( RT  h )
Si estamos cerca de de la superficie de la Tierra o sobre
ella h es mucho menor que RT y por tanto despreciable
frente a ella:
RT h
RT ( RT  h )
E p ( A) - E p ( B )  m g 0 h
No se puede resolver un problema usando dos sistemas de referencia diferentes,
así que mgh solo se emplea si todos los puntos del problema están muy cerca de la
superficie de la Tierra y no hay ninguno en el espacio exterior.
POTENCIAL GRAVITATORIO
 Por ser el campo gravitatorio conservativo, se puede definir una magnitud que depende
únicamente del cuerpo m1 que crea el campo y no del m2 que se coloca como testigo
 Dicha magnitud se denomina potencial U y se obtiene así:


dU  - g d r

U  - G
m
r
26
 La diferencia de potencial entre dos puntos A y B cuyas distancias al origen son rA y rB
respectivamente es:
U ( A ) - U (B )  - G
m
rA
 G
m
rB
Ep
RT
r
 Se obtiene de la misma forma que en
el caso de la energía potencial
 Para un punto P situado a una altura
h de la superficie:
U (P )  - G

MT
(R T  h )
En la superficie, el
gravitatorio U0 será:
U (P )  - G
U0  - G
MT
RT
potencial
MT
RT
 Teniendo en cuenta los valores de G, MT y RT resulta:
U0 = - g0 R = - 6,2 . 107 J/kg
Potencial es energía
potencial por unidad de
masa introducida en el
campo
27
Forma de las trayectorias
 Dado que dentro de de un campo de
fuerzas gravitatorio la energía potencial
de un cuerpo siempre es negativa, y su
energía cinética siempre positiva, la ET
de ambas podrá ser negativa, nula o
positiva
Sol
 Atendiendo al signo de dicha energía, la
trayectoria descrita por el cuerpo, será
una circunferencia, una elipse, una
parábola o una hipérbola
 Si es la mitad de la Ep
ET  -
1
2
G
Mm
r
 Si es mayor que la - 1 G M m  E T  0
r
2
anterior pero menor
 Si ET = 0  Ec = Ep
que cero
 Si ET > 0  Ec > Ep
CIRCUNFERENCIA
ELIPSE
PARÁBOLA
HIPÉRBOLA
28
SATÉLITES ARTIFICIALES: ENERGÍA TOTAL Y ENERGÍA DE SATELIZACIÓN
Cálculo de la velocidad del satélite en la órbita
 F  Fc  G
MT m
r2
 m
v
2
r

v
2
 G
MT
r


FG  FC
Cálculo de las energías cinética y potencial

Ec 
1
2
m v2 
1
G
MT m
2
r
Ep  - G
 Ec  G
FG
MT m
2r
MT m
r
Cálculo de la energía total del satélite en órbita
E  G
MT m
2r
- G
MT m
r
 - G
MT m
2r
 E  - G
MT m
2r
Cálculo de la energía de satelización por el Principio de conservación de la energía
E0 = Ef  Ec,0 + Ep,0 = Ec,f + Ep,f
E c ,0
M m
M m
- G T
 - G T
2r
RT

 1
E c ,0  G M T m 
 RT
-
1 
2 r 
29
Velocidad de lanzamiento de un satélite
 A partir del valor de la Ec de satelización, la v0 de lanzamiento necesaria para
ponerlo en órbita circular desde la superficie terrestre, es:
E c ,0 
1
2
2
m v0  G MT
 1
1 
m 
 
2
r
R

 T
v0 
 1
1 
2 G MT 
2 r 
 RT
Velocidad de escape de un satélite
 Para que el satélite escape de la atracción terrestre,
supondremos que se marcha al infinito, (r es infinito), y
la energía de escape será:
Ee  G
 La velocidad de escape será:
v0 
g0 
2G
2
RT
RT
MT
RT
G M
MT m
T

v0 
2 g0 R T
30
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