Dinámica Cristalina
Ondas acústicas
Vibraciones reticulares en cristales
Cadena linealcon un tipo de átomo
Cadena Lineal con dos tipos de átomos
Vibraciones reticulares en cristales 3D
Fonones
Calor específico en sólidos
Efectos anarmónicos
Conductividad térmica por fonones
La dinámica cristalina
Estudia las características de la
vibraciones en un sólido cristalino
www.ph.utexas.edu/~s
hvetsgr/lens.html
Esta relacionado con:
Condiciones de propagación de
ondas en una red periódica
La energía térmica
El calor específico
La cuantización de la vibraciones en un
sólido ( Fonones)
El efecto e del acople armónico entre los
átomos
Efectos de anarmonicidad entre el acople
atómico
Propagación del calor en un sólido cristalino.
La dinámica cristalina
Hemos asumido que los átomos en un sólido están en reposo , pero
realmente los átomos vibran alrededor de su posición de equilibrio, aun
a 0 K ( energía de punto cero).
La amplitud del movimiento aumenta a medida que los átomos ganan
energía térmica a mas altas temperaturas.
La dinámica cristalina se usa frecuentemente la aproximación armónica,
que implica que la amplitud de la vibración es pequeña con respecto a la
distancia interatómica.
En esta aproximación la fuerza se requiere para determinar la funciones
de onda y la energías de los electrones en el cristal. Muchas propiedades
pueden ser deducidas sin necesidad de un cálculo mecanocuántico
A altas temperaturas aparecen efectos anarmónicos
Ley de Hooke
Una de las propiedades de la elasticidad es que se requiere el
doble de fuerza para estirar un resorte el doble.
Esta dependencia linear del desplazamiento con la fuerza
deformadora se conoce como la ley de Hooke.
F spring   k . x
F 
Spring constant k
..
x

k
..
x  0
M
x  x0 e
i o t
x
 0 x  0
2
It takes twice
as much force
to stretch a
spring twice
as far.
2F 
Ondas Acústicas
Las ondas acústicas corresponden a vibraciones atómicas con λ
Largas. La naturaleza atómica no importa en este límite, λ>>a, el
medio es no dispersivo.
La ondas mecánicas son perturbaciones que se propagan a través
del material ( Sólido ,líquido o gas) a una velocidad que depende
de las propiedades elásticas e inerciales del medio.
Ondas longitudinales
Ondas trasversales
Ondas Elásticas
A pesar de que un sólido esta compuesto de átomos discretos
para ondas con longitudes de onda larga la naturaleza
atómica puede no ser considerada y tratar el sólido como si
fuese un medio continuo en tal caso las perturbaciones se
consideran como ondas elásticas
Propagación de ondas elásticas longitudinales en una barra
U(x) es el desplazamiento elástico en
el punto x la deformación ‘e’ es
definida como el cambio de longitud
por unidad de longitud.
A
x
x+dx
e
dU
dx
Ondas Elásticas
De acuerdo con la ley de Hooke, la tensión S ( Fuerza por unidad
de área) es proporcional al desplazamiento ‘e’
S  Y .e
A
Y = Módulo de Young
Para un segmento arbitrario
puede ser escrita como:
 u
2
(  Adx )
t
2
x
x+dx
la ley de movimiento de Newton
  S ( x  dx )  S ( x )  A
Masa x Aceleración
Fuerza neta resultante de la tensión
Ondas Elásticas
 u
2
(  Adx )
t
2
 u
2
(  Adx )
 u
t
2
t
2
 u
2
Y
2

e 
  S ( x  dx )  S ( x )  A
 S ( x  dx )  S ( x )  
x
2
 u
2
Y
u  Ae
x
Adx
S  Y .e
du
dx
S
x
S  Y.
dx
S
x
u
x
 u
2
 Y.
x
2
Ecuación de onda cuya solución
conduce a ondas sonoras de velocidad vs
2
– q = Número de Onda (2π/λ)   v s q
i ( qx   t ) – ω = Frecuencia
vs 
Y /
– A = Amplitud

Relación de dispersión (q)
Para ondas elásticas
vs 
Y
ρ
Velocidad depende de la
dirección, ondas trasversals
viajan a velocidades menores
Y / 
= Modulo elástico de Bulk
= Densidad de masa
ω
  vs q
Continuo
discreto
q
q→ 0 a longitudes de onda λ
grandes sistema NO
DISPERSIVO (no scattering)
q → ∞ a pequeños λ medio
dispersivo (aparece scattering )
Cuando k aumenta la velocidad
decrece, si q continua
aumentando la dispersión se
hace importante y el sistema es
altamente dispersivo
Velocidad del sonido para sólidos típicos
Densidad
ρ
(kg/m3)
Modulo
elástico de
bulk
Y
(1010 N/m2)
Velocidad
de la onda
calculada
(m/s)
Velocidad
del
sonido
medido
(m/s)
3.71
970
0.52
2320
2250
F.C.C
2.55
8966
13.4
3880
3830
Aluminio
F.C.C
2.86
2700
7.35
5200
5110
Plomo
F.C.C
3.49
11340
4.34
1960
1320
Silicio
Diamante
2.35
2330
10.1
6600
9150
Germanio
Diamante
2.44
5360
7.9
3830
5400
NaCl
Rocksalt
2.82
2170
2.5
3400
4730
Tipo de
estructura
Distancia
a primeros
vecinos
(A°)
Sodio
B.C.C
Cobre
Sólido
•VL los valores son comparables con las observaciones directas de la
velocidad del sonido. La velocidad del sonido es del orden de 5000 m/s en
sólidos metálicos, covalentes y ionicos.
Vibraciones Reticulares
Una onda vibracional en una red
cristalina es una secuencia repetitiva
de
desplazamientos
atómicos,
longitudinales, trasversales o una
combinación de ambos.
La ecuación de movimiento para
cualquier desplazamiento.
puede deducirse de las fuerzas
restauradoras
sobre los átomos
producidas por los potenciales
moleculares .
[ F=-V(r) ]
Se puede obtener una relación de
dispersión (q) que describe el
comportamiento
mecánico del
sistema .
.
Vibraciones reticulares de una red 1D con átomos
idénticos
Los átomos interactúan vía un potencial V(r) que puede ser
desarrollado en un serie de Taylor.
 r  a   d 2V 
 dV 
V (r )  V (a )  (r  a ) 

 ...........


2 
2
 dr  r  a
 dr  r  a
0
Esta ecuación es similar a la energía potencial
V(R)
de un resorte de constante :
2
Repulsivo
0
 d 2V
K  
2
 dr



 ra
Se puede relacionar K con el
módulo elástico de Young Y
r0=4
Atractivo
min
r
R
F uerza  Y 
r  a
a
F uerza  K ( r  a ) Y  K a
Cadena Lineal Monoatómica
El modelo más simple de cristal es una cadena uni-dimensional de
átomos idénticos.
La cadena consiste de un número muy grande de átomos idénticos con
idénticas masas.
Los átomos están separados por una distancia “a”.
Los átomos se mueven solo en la dirección paralela a la cadena 1D
Solo se considera interacción con los próximos vecinos (short-range
forces).
a
a
Un-2
a
Un-1
a
Un
a
Un+1
a
Un+2
Cadena Lineal Monoatómica
El caso más simple de la
cadena lineal es considerar
solamente interacciones a
próximos vecinos
Expandiendo la energía cerca
al punto de equilibrio del
enésimo átomo y usando la
aproximación elástica ( ley de
Hooke) la ecuación de Newton
K ( u n 1  u n )
Fuerza a la derecha
a
Un-1
a
Un
K ( u n  u n 1 )
Fuerza a la izquierda
Fuerza total = Fuerza a la derecha – Fuerza a la izquierda
..
Un+1
m u n  K ( u n  1  2 u n  u n 1 )
Cadena Lineal Monoatómica
Todos los átomos oscilan con la misma amplitud A y frecuencia
ω. Asi una solución posible sería:
0
u n  A exp  i  qx n   t  


.
x n  na
0
Posición de equilibrio
du n
0

un 
  i A exp i  qx n   t  


dt
..
un 
2
d un
dt
2
2
0
  i   A exp  i  qx n   t  


2
..
u n   u n
2
x n  na  u n
Posición instantánea
Ecuación de movimiento para el enesimo átomo
..
m u n  K ( u n  1  2 u n  u n 1 )
 m
2

i qx n   t
Ae
0


K

Ae
 m
 m
2
Ae
Ae
i  qna   t 
i  qna   t 
0

 2A e
 K
 K


Ae
Ae
i  qna  ka   t 
i  qna   t 

i qx n   t
0
 m
 Ae
ika
e
 2A e
 2A e
 K e
iqa
i  qna   t 
i  qna   t 
2e
 iqa

i qx n 1   t
0
q ( n  1) a
Cancelando términos comunes
2

qna
q ( n  1) a
qna
2

i qx n 1   t

 Ae
 Ae
i  qna  qa   t 
i  qna   t 
 iqa
e




Relación de dispersión (q)
 m
2
 K e
 m
2
 K  2 cos qa  2 
iqa
2e
 iqa
  2 K (1  cos qa )
2
2  qa 
m   4 K sin 

 2 

2
 

e
iqa
e
 iqa
 2 cos qa
1  co s x  
2  x 
2 sin  
2
 qa 

sin 

m
2


4K
2
 qa 
sin 

m
 2 
4K
 m ax 
4K
m
Valor máximo 1 cuando q=π/a
  m in  2 a
Análisis de la relación de dispersión (q)
ω  ω m ax
S en (q a/2 )
ω m ax 
4K
ω (q)
ω  vs q
m
• Obsérvese la periodicidad:
ω(q)  ω(q 
2
a
ω (q)
) y ω(-q)  ω(q)
4K
m
Adicionando un múltiplo de of 2π/a a q no
produce cambio en la frecuencia o en su
velocidad de grupo, así para puntos fuera
de la 1ZB no tienen significado físico
Las soluciones planteadas corresponden
a osciladores desacoplados cada uno
llamado un modo normal. Cada q define
un  oscilando independientemente uno
del otro.
Hay N modos de vibración en la primera
zona de Brillouin
L=Na ( Numero de átomos en la cadena)
q

π
π
2π
a
Na
1ZB
a
Análisis de la relación de dispersión (q)
Para longitudes de onda grande, es
decir, q próximo a cero, la relación de
dispersión
ω 
4K
S en(qa/2)
m

Se reduce a : ω  


ω  vs q
Modelo
continuo

aq
m 
Modelo
atómico
K
K
vs 
a
m
Aproximación continua
Vs  c
Vs  Y 
d V
K  
2
dr

2



 ra
La medida de la velocidad del sonido nos
permite determinar las fuerzas
interatómicas y las constantes elásticas
Análisis de la relación de dispersión (q)
 
 qa 
sin 

m
2


4K
vq 

q
Para longitudes de onda grandes

Ka
m
2
 qa 
cos 

 2 
vf  vg  vs
Para valores de q en la frontera de zona de Brillouin:
q= 

a
vg  0
q=±π/a θ=90o tiene un significado
especial: Reflexiones de Bragg se
obtienen a q= ±nπ/a
Las ondas elásticas en la frontera de zona de Brillouin
experimentan difracción de Bragg
Modos de vibración en una cadena monoatómica
L
No todos los modos son posibles debido a
el átomo N debe ser el mismo que el (N+n)
cuando la cadena se cierra sobre si misma
Se requiere que haya un número entero de
longitudes de onda en el en el anillo
L  N a  p  p entero
Así en la 1ZB en el rango 2π/a de q,
hay N valores permitidos de q .
L  N a  p   
Na

p
L 1
g( ω ) 
π dω
2
 Nk 
k
g( ω )  2 g(q)
2
p
a
dq
dω
dq
g(ω ) 
2L
π a  m ax
qa 

 C os ( 2 ) 


1
Cadena lineal 1D con dos tipos de átomos
 Dos tipos diferentes de átomos estan conectados por resortes
identicos de constante K
(n-2)
(n-1)
(n)
K
K
M
(n+2)
K
K
m
M
m
(n+1)
M
a)
a
b)
Un-2
Un-1
Un
Un+1
Un+2
Este es el modelo más simple para un cristal iónico: la distancia entre
próximos vecinos es a/2 y la constante de red a.

R elación de dispersión  ( q )
Dos ecuaciones de movimiento: una para el
átomo de masa M y otra para el átomo de
masa m
Cadena diatómica
M
Un-2
m
M
m
Un-1
Un
Un+1
Equación de movimiento para la masa M (n):
..
M u n  K ( u n  1  u n )  K ( u n  u n 1 )
..
M u n  K ( u n 1  2 u n
u
n 1
)
Equación de movimiento para la masa m (n-1):
..
m u n -1 K ( u n  u n 1 )  K ( u n 1  u n  2 )
..
m u n -1 K ( u n  2 u n 1  u n  2 )
M
Un+2
Cadena diatómica
M
Un-2
m
Un-1
m
M
Un
Un+1
M
Un+2
Solución para la masa M
0
u n  A exp  i  qx n   t  


x n  na / 2
0
Para la masa m
0
u n -1  A exp  i  qx n   t  


α : número complejo que determina la amplitud relativa y la
fase de la onda de vibración.
..
2
0
u n    A ex p  i  q x n   t  


Cadena diatómica
Para el átomo M (n):
..
M u n  K ( u n  1  2 u n  u n 1 )
 M A e
2
 M A e
2
 qna

i
 t 
 2

 qna

i
 t 
 2

 q  n 1  a

 q  n 1  a

 qna


i
 t 
i
 t 
i
 t 
2
2



 K  Ae 
 2 Ae  2
  Ae 


 qna

 qna

 qna

qa
qa

i
 t  i
i
 t 
i
 t   i



 K  Ae  2
e 2  2 Ae  2
  Ae  2
e 2


Cancelando términos
qa
qa
i
i


2
2
2
 M  K   e  2   e




 M  2 K  1   cos
2





qa 

2 
e e
ix
 ix
 2 cos x




Cadena diatómica
Para el átomo m (n-1)
..
m u n 1  K ( u n  2 u n 1  u n  2 )
  A m e
2
  m A e
2
 q  n 1  a

i
 t 
2


 qna

i
 t 
 2

i
e
qa
2
 q  n 1  a

 q  n  2 a

 qna


i
 t 
i
 t  
i
 t 
2
2




 K  Ae  2
 2 A e 
 Ae 




 qna

 qna

 qna

qa
2 qa

i
 t 
i
 t   i
i
 t   i



 K  Ae  2
 2 A e  2
e 2  Ae  2
e 2


Cancelando términos comunes
qa
i


2
 iqa
2
2
  m e
 K  1  2 e
e



qa
qa
i
i


2
2
2
   m  K  e  2  e



i
qa
e e
ix
 ix
 2 cos x
qa


   m  2 K  cos
 
2


2




Cadena diatómica
qa 

 M  2 K  1   cos

2


2

  m  K    cos
2

Ecuación Para M
qa 

2 
Ecuación para m
Un par de ecuaciones para α y ω como función de q.
dada por
 
2 K cos( qa / 2)
2K   m
2
Una ecuación cuadrática para
siguiente manera.
α esta
2K   M
2

2 K cos( qa / 2)
ω2 an se puede obtener de la
 
2
2 K cos( qa / 2)
2K   m
2
2
4 K cos (
qa
2K   M
2

2 K cos( qa / 2)
)  4 K  2 K  (M  m)   Mm
2
2
4
2
4 K (1  cos (
2
2
qa
))  2 K  ( m  M )   M m  0
2
4
2
  2K (
4
mM
2
)  4 K
2
2
sin ( qa / 2)
mM

2

K (m  M )
mM
0
mM
K [(
mM
mM
2
) 
2
4 sin ( qa / 2)
mM
1/ 2
]
Análisis de la relación de dispersión (q)
En la región de longitudes de onda larga (qa«1); sin(qa/2)≈ qa/2
 1,2 
2
K (m  M )
mM
K m  M
 
2

K m  M

K m  M
mM
2
4 sin ( qa / 2)


mM
1   1 


m  M



1  x 
1 2
1/ 2
]
mM
 m  M 
4 q a
 K 


m
M
mM
4

 
Usando la expansión de Taylor
 
) 
2
mM
2
2
mM
mM

K [(
mM

2
2
2

2 2
q a 


1 2



1 2




 1  x 2 para x pequeños

mM
2 2
1

1

k
a


2
2( m  M )





Análisis de la relación de dispersión (q)
Con sinqa«1
Valor máximo para la rama optica
 m ax opt 
2
2K m  M

mM
Valor Mínimo para la rama acústica
 m in acus . 
2
K m  M
mM

2 2

Kq a


2 
 2( m  M )  2( m  M )
2
mMq a
2
Sustitutyendo los valores de ω en α (amplitud relativa)
y usando la aprox. cos(qa/2) ≈1 for qa«1 se encuentra para α
2K   M
2
 
2 K cos( qa / 2)
  1 vibracion en fase o   
M
m
vibracion fuera de fase
Ramas acústica y Optica en (q)
 Hay dos valores de ω para cada valor de q la relación de
dispersión tiene dos ramas ;

Rama Optica
Corresponde al signo +
en 2(q)
–л/a
0
л/a
2л/a
q
Rama Acústica
Corresponde al signo en 2(q)
La relación de dispersión es periódica en q con periodo
2 π /a = 2 π /(Longitud celda unidad).
Los resultados son válidos para una cadena que contiene un
número arbitrario de átomos por celda unitaria.
Análisis de la relación de dispersión (q)
Substitute  m in
2
2

2
m in
ac

into relative amplitude α
ac
2
K (q a )
2(m  M )
2K   M
2
 
 1
2 K cos( qa / 2)
Esta solicion representa ondas sonoras de longitud de onda
larga en el cento de la 1ZB (q=0) los dos tipos de átomos
oscilan con al misma amplitud y fase con una velocidad del
sonodo dada por. T

Rama Optica
  vs q


K
vs 
 a

q
 2( m  M ) 
w
Rama Acústica
q
–π/a
0
π/a
2π/a
1Zona de Brillouin
Representación esquemática de (q)
1/ 2
Análisis de la relación de dispersión (q)
Substitute  m2 ax
 m ax
2
op
op
into relative amplitude we obtain,
2
2K (m  M )

 
2 K cos( qa / 2)
M
 
m
mM
  ck

Rama Optica
  vs q
 
M
m
Esta solución corresponde al máximo
en la rama óptica, el valor α de
muestra que los dos átomos oscilan in
antifase con el centro de masa en
reposo
Rama Acústica
q
–π/a
0
π/a
1Zona de Brillouin
2K   M
2π/a
Análisis de la relación de dispersión (q)
El otro limite para la solución de ω(q) es para kq/a = π en el límite
de la 1ZB donde sen(qa/2)=1.

2
m ax a c

K (m  M )

2
m ax ac
Mm

2K
 M  m 
4
K 
 
Mm
  M m 
2
Rama Acústica M oscila
y m esta en reposo



1/ 2

K (m  M )
K (M  m )
Mm
ω
 m in
op

 E   Brecha de Energía
M
 m ax ac 

2
m in op

2K
m
Rama Optica m oscila M
esta en reposo.
q

π
a
2/a
π
a
2K
m
2K
M
Ramas acústica y Optica en (q)
Para q = 0 en el centro de la 1ZB
rama Acústica
ω q  0  0 y  =1 Los dos átom os oscilan en fase
 m ax
op

2K (m  M )
mM
ω
Modo trasversal acústico en una cadena diatómica
Rama Optica
rama óptica
 m ax
op

2K (m  M )
mM
 =-
M
m
Los dos átomos oscilan en antifase fase
Rama Acústica

π
a
2/a
π
a
q
Modo transversal óptico en una cadena diatómica
Si los iones tienen carga opuestas, se puede excitar una
vibración de este tipo con campos eléctricos (por ejemplo
una onda electromagnética).
Amplitud de la vibracion exagerada
Ramas acústica y Optica en (q)
Si hay p átomos en la celda
primitiva, habrán 3p ramas
ω
p=2
+: rama óptica
p-1 longitudinales
2(p-1) transversales
longitudinales
1 p-1 óptica
2 1 acústica
LO
TO2
TO1
LA
TA2
-: rama acústica
1 longitudinales
2 transversales
transversal
1 2(p-1) ópticas
2 2 acústicas
TA1
q
3 ramas acústicas y 3 ramas ópticas
Dispersión de Neutrones
El método típico para medir las curvas
de dispersión (q)
GaN
http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/GaN/figs/siegle971.gif
Dispersiones de fonones en molibdeno a altas presiones
www.esrf.eu/news/spotlight/spotlight36phonon/
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Crystal Dynamics - Universidad Nacional de Colombia