Ricardo Barroso Campos.
Universidad de Sevilla
Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV
Universidad Autónoma de Coahuila
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
Maestría en Matemática Educativa
Ricardo Barroso Campos.
Universidad de Sevilla
Utilización y aplicación de propiedades
geométricas en entornos de problemas
Ricardo Barroso Campos
Departamento de Didáctica de las
Matemáticas
Universidad de Sevilla
España
Ricardo Barroso Campos.
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Una propiedad geométrica se
comprende cuando :
- se
utiliza, es decir, simplemente se implica en
el razonamiento deductivo que se esté realizando, y
- se
aplica de manera correcta, teniendo en cuenta
todos los requisitos necesarios para ello.
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Niveles de van Hiele
• Para van Hiele (1985), en Matemáticas y más
específicamente en Geometría, se pueden
discernir cinco niveles pensamiento:
•
Primero: visual
•
Segundo: descriptivo
•
Tercero: teórico, con relaciones lógicas, y
geométricas generadas de acuerdo con
Euclides.
•
Cuarto: lógico-formal.
•
Quinto: establecido por la naturaleza de las
leyes lógicas.
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Estudiaremos tres “casos”.
Primero: A lados iguales se oponen ángulos iguales
Segundo: Construcción de un triángulo
equilátero equivalente a un cuadrado
Tercero: Todos los triángulos son isósceles
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Sánchez (1983)
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No tiene en cuenta el “entorno” en el
que la propiedad debe aplicarse
Sea una circunferencia de centro O, y sean las
cuerdas AB y CD de igual longitud.
En una circunferencia, si tenemos dos cuerdas de la misma
longitud, los correspondientes ángulos centrales abarcados son
iguales.
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En un triángulo, a lados iguales, se oponen ángulos iguales.
Entorno alejado
propiedad:
de
la
En todo triángulo ABC de altura
BH, al trazar las cevianas AM y
CN concurrentes con BH, se
establece que la altura será
bisectriz del ángulo MHN (Frère
Gabriel-Marie,1912)
Miranda (2003)
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Respecto a los niveles de van Hiele, se encontraría en lo que
algunos investigadores han encontrado que sería nivel pre-visual
(Senk, 1989)
Consideramos que ello es debido a que si simplemente, el
autor hubiera “visto” la siguiente situación geométrica:
Habría “visualizado” que, aunque AB=BC=... IJ,
claramente no son iguales los ángulos APB, ... IPJ.
Veamos en Cabri II esta cuestión
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Construcción de un triángulo equilátero equivalente a un cuadrado
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Cuando se “observa” una construcción geométrica
ya terminada,
a veces es difícil saber cómo se ha ido construyendo
paso a paso
Dos arcos, desde A y desde B , que se intersecan en M
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Unir A con M, prolongándolo. Trazar la paralela a AB por H, punto
medio de AD.
AM corta a tal paralela en S.
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Bajar ST, perpendicular a
AB por S.
Trazar una paralela por T
a AM, que cortará en V a
la recta HS.
Trazar la recta AV
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AV corta a la
circunferencia de
centro A y radio AD
en N.
Trazar NB
Por N trazar la perpendicular a AB, que
cortará a la recta AM en E. Por último,
con centro en A, trazamos la
circunferencia de radio AE que cortará a
AB en F. AEF es la solución.
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La justificación de los autores es que los triángulos AVO
Y ANB son semejantes.
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Cabri inmediatamente nos lleva a ver que no hay
paralelismo
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Los autores, quizá basándose en apreciaciones
visuales, han entendido que un “paralelismo”
aproximado era suficiente.
En este caso, pues, se utiliza una propiedad
correcta, la proporcionalidad de los lados en
triángulos semejantes, en un entorno “alejado” de
la propiedad incorrecto, pues se aplica a triángulos
que no lo son.
En el texto de la comunicación está realizado el problema
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Según la teoría de van Hiele, entendemos que
estos autores están muy cercanos al nivel visual,
puesto que su error es relativamente muy pequeño.
Respecto al nivel descriptivo, la relación de
estructuras
geométricas
hecha
para
establecer la solución del problema propuesto
es errónea, por lo que tampoco se alcanza el
mismo.
En relación al nivel teórico, hemos de
decir, a tenor del análisis geométrico
efectuado, que no se alcanza, puesto que
las relaciones euclideas puestas en juego
son erróneas.
Cabri Palencia
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TODO
TRIÁNGULO
ES
ISÓSCELES
Unidad
17(1971):
Lógica II.
Prueba,
(Curso Básico
de
Matemáticas).
Open
University,
McGraw-Hill.
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En esta ocasión, consideramos que la afirmación
está hecha para que haya un “choque cognitivo”,
ya que se sabe que “es falso”.
Todo lo que dice la Open es cierto, salvo una única cuestión.
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La bisectriz de un ángulo y
la mediatriz del lado opuesto
siempre se cortan en la
circunferencia circunscrita.
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Si trazamos las perpendiculares DM a AC y DN a AB, BN=MC
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Desde la teoría de van Hiele, el papel del nivel 1 tiene una
preponderancia vital en el desarrollo de toda la
demostración efectuada.
Dado que la visualización es incorrecta por tener un
único elemento (el punto de corte analizado) falso, los
restantes niveles descriptivo y teórico a pesar de su
coherencia interna, son erróneos en el desarrollo
completo.
Archivos de Cabri:
Open 0 y Open
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Conclusiones
Una propiedad geométrica debe ser utilizada y
aplicada teniendo en cuenta todos los requisitos
geométricos que intervienen.
La falta o la consideración errónea de
alguno de tales requisitos puede ser motivo de
conclusiones falsas, como se ha puesto de
manifiesto en el documento.
Aunque un razonamiento geométrico adquiera
visos de verosimilitud y coherencia interna en un
determinado entorno de una propiedad, si un solo
elemento no es correcto, puede llevar a
conclusiones falsas.
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