Universidad Nacional Agraria La Molina
Facultad de Ingeniería Agrícola
Programa Maestría en Ingeniería de Recursos Hídricos
Una Introducción al Método de
Diferencias Finitas en la Modelación
de Aguas Subterráneas
Eusebio Ingol Blanco, Ph.D
From Daene McKinney, Ph.D, UT Texas
Procesos de Modelación
•
•
•
•
Identificación del problema y
descripción
Identificación del Problema
– Sistema y elementos a ser modelados
– Relación e interacción entre ellos
– Grado de precisión
Datos de
entrada
Conceptualización y Desarollo
–
–
–
–
–
–
Representación matemática
Modelo tipo
Método numérico
Código de computo
Condiciones iniciales
Condiciones de frontera
Calibración
–
–
–
–
Estimación de Parámetros
Comparación de modelados con simulados
Ajuste de parámetros
Análisis de incertidumbre
conceptualización
desarrollo
Calibración
Validación y
análisis de Sensibilidad
Aplicación
Validación
– Usar un grupo de datos independiente al de calibración
– Comparar resultados del modelo con observados
Presentación resultados
Modelo Conceptual y Matemático
• Modelo Conceptual
– Idealización y implicación de las
condiciones hidrológicas
– Representación descriptiva del
sistema de agua subterránea que
incorpora la interpretación de las
condiciones geológicas y
hidrológicas
– Que procesos son importantes
para el modelo
– Cuales son las fronteras
– Que datos necesitan ser
colectados y cuales están
disponibles.
Modelo Conceptual y Matematico
• Modelo Matemático
– Representación matemática de la hidrología
subterránea y del transporte de contaminantes
– Utiliza las ecuaciones fundamentales del flujo y
conservación de masa
– Se basa en observaciones reales o extrapolaciones
Métodos
• Analítico
– Uso de formulas simples
– Solución exacta en el el punto de Calculo
– Modelo homogéneo
– Se basa en observaciones reales o extrapolaciones
• Numérico
– Discretizacion espacial y temporal
– Solución aproximada
– Admite heterogeneidades
– Transforman las Ecuaciones en Derivadas Parciales (PDFs)
que gobiernan el flujo en Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias (ODEs) o ecuaciones algebraicas para su
solución
Diferencias Finitas y Elementos
Finitos
Que realmente queremos resolver?
• Flujo horizontal en un acuífero confinado
W
¶ æ ¶h ö ¶ æ ¶h ö K'
¶h
çTx ÷ + çTy ÷ + (h0 - h) ± å Qwd(x - x w ) = S
¶x è ¶x ø ¶y è ¶y ø b'
¶t
w=1
flujo
filtración fuente/pozo almacenamiento
superficie
• Ecuaciones que gobiernan
• Condiciones iniciales
• Condiciones de frontera
z
Carga en acuifero confinado
Capa confinada
Qx
y
x
basamento
confinado
K
h
b
Método de Diferencias Finitas
• Finite-difference method
– Replace derivatives in governing equations with
Taylor series approximations
– Generates set of algebraic equations to solve
Taylor Series
• Expresion en series de Taylor de h(x) en un
punto t x+Dx cerca a x
• Si se trunca la serie despues del nth termino, el
error sera
Primera Derivada- Hacia Adelante
• Considerar una expansión en series de Taylor hacia adelante
de una función h(x) cerca al punto x
• Resolver para
1st
h(x)
derivada
h(x)
Dx
Dx
x
x  Dx
x
x  Dx
Primera Derivada- Hacia Atras
• Considerar una expansión en series de Taylor hacia atras de
una función h(x) cerca al punto x
• Resolver para 1st derivada
h(x)
h(x)
Dx
Dx
x
x  Dx
x
x  Dx
Segunda Derivada- Central
Adicionar y resolver para h¢¢(x)
Aproximación en Diferencias Finitas
h(x)
hi-1
hi+1
hi
Dx
i -1
Hacia atras 1st
derivada
Dx
x
i
Hacia adelante 1st
derivada
i +1
Central 2nd
derivada
Grids y Discretización
• Proceso de discretizacion
• Grid definido para cubrir el
dominio
• Objetivo es predecir los valores
de carga en los puntos de nodo
de la malla
– Determinar efectos de bombeo
– Flujo de un rio, etc
y, j
Mesh
Domain
i,j+1
Dy
i-1,j
i,j
i+1,j
i,j-1
Node point
• Método D.F
– Popular y fácil de implementar
– Atractivo para simple geometría
Notation
h(x, y, z,t) = hi,l j,k
Dx
Grid cell
x, i
Grids en Tres Dimensiones
• Un sistema acuífero esta dividido en bloque rectangulares por
un grid.
• El grid es organizado por filas (i), columnas (j), y capas (k), y
cada bloque es llamado celda.
• Tipos de capas
– Confinada
– No confinada
– Convertible
Capas pueden ser de
Diferente material
Flujo en Acuífero Confinado 1-D
• Medio Homogéneo,
isotrópico, 1-D, flujo
confinado
• Ecuación principal
¶ æ ¶h ö
¶h
çT ÷ = S
¶x è ¶x ø
¶t
• Condición inicial
h(x,0) = 6.1 m
• Condiciones de frontera
h(0,t) = 6.1 m
h(L,t) = 1.5 m
Superficie del suelo
Confinada capa
hA
Dx
Acuifero
Nodo
hB
b
z
y
x
i= 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Celda grid
Dx = 1 m, L = 10 m, b = 1.5 m
hA = 6.1 m, hB = 1.5 m,
K = 0.5 m/d, S = 0.02
9
10
Aproximación de Derivadas
• Ecuación que rige
¶2 h
S ¶h
=
¶x 2 T ¶t
t, l
i, l  1
Dt
i  1, l
• 2nd derivada x
i  1, l
i, l
x, i
Dx
i, l  1
• 1st derivada t
Hacia adelante
Hacia atras
Método Explicito
• Use toda la información del
paso de tiempo anterior
para calcular el valor en
este paso de tiempo
• Procede punto por punto a
través del dominio
• Podría ser inestable para
largos periodos de tiempo
¶2 h
S ¶h
=
¶x 2 T ¶t
Aprox. DF
t, l
i, l  1
Dt
i  1, l
i  1, l
i, l
x, i
Dx
i, l  1
Método Explicito
(
)
l+1 nivel tiempo
desconocido
l nivel tiempo
conocido
l
l
hil+1 = hil + r hi-1
- 2hil + hi+1
Método Explicito
Superficie del terreno
l
l
hil+1 = hil + r(hi-1
- 2hil + hi+1
)
Confinada layer
hA
Dx
Acuifero
Nodo
hB
b
i= 0
Considerar:
r = 0.48
r = 0.52
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Celda grid
Dx = 1m, L = 10m, b = 1.5m
hA = 6.1m, hB = 1.5m,
K = 0.5m/d, S = 0.02
10
Resultados (Dt = 18.5 min; r = 0.48 < 0.5)
Resultados (Dt = 20 min; r = 0.52 > 0.5)
Que pasa aqui?
• En el time t = 0  no flujo
• En el time t > 0  flujo
• El agua proveniente del
almacenamiento en una
celda grid sobre el tiempo
Dt
Superficie del suelo
Confinada capa
hA
Dx
Acuifero
hB
b
Dx
• El agua fluyendo fuera de la
celda en el intervalo Dt
i= 0
1
2
…
i-1
i
i+1
…
8
9
10
Celda Grid i
r > 0.5
El intervalo de tiempo es demasiado largo
Las celdas no contienen la suficiente agua
Causa inestabilidad
Método Implícito
• Usa información de un
punto en el paso de tiempo
anterior para calcular el
valor en todos los puntos de
este paso de tiempo
• Resuelve para todos los
punto en el dominio
simultáneamente
• Es mas estable
¶2 h
S ¶h
=
¶x 2 T ¶t
Aprox. DF
t, l
i  1, l  1
i  1, l  1
i, l  1
Dt
i  1, l
i  1, l
i, l
x, i
Dx
i  1, l  1
i, l  1
i  1, l  1
Método Implícito
l+1
l+1
-rhi-1
+ (1+ 2r)hil+1 - rhi+1
= hil
l+1 nivel tiempo l nivel tiempo
desconocido
conocido
Flujo en Estado Estable 2-D
y, j
• Ecuación que rige
(1, 5 )
Dy
• Homogéneos, acuífero isotrópico, no pozos
¶ h
¶x
2
+
¶ h
2
¶y
2
=0
(1,5 ) Cargas desconocidas
( 5 , 4 ) Cargas conocidas
¶ æ ¶h ö ¶ æ ¶h ö W
¶h
çTx ÷ + çTy ÷ ± å Qw = S
¶x è ¶x ø ¶y è ¶y ø w=1
¶t
2
Nodo No.
( 2 ,5 ) ( 3,5 ) ( 4 ,5 )
( 0 , 4 ) (1, 4 ) ( 2 , 4 ) ( 3 , 4 ) ( 4 , 4 )
( 5,4 )
( 0 , 3 ) (1, 3 )
( 2 , 3 ) ( 3, 3 ) ( 4 , 3 )
( 5,3 )
( 0 , 2 ) (1, 2 ) ( 2 , 2 ) ( 3 , 2 ) ( 4 , 2 )
( 5,2 )
( 0 ,1 )
( 5 ,1 )
(1,1 )
( 2 ,1 )
( 3 ,1 )
( 4 ,1 )
(1, 0 ) ( 2 , 0 ) ( 3 , 0 ) ( 4 , 0 )
Dx
• Igual espaciamiento (promedio de celdas)
hi,j =
hi-1,j + hi+1,j + hi,j-1 + hi,j+1
4
x, i
Flujo Anisotropico Heterogéneo 2-D
y
¶ æ x ¶h ö ¶ æ y ¶h ö
çT
÷ + çT
÷= 0
¶x è ¶x ø ¶y è ¶y ø
node (i,j)
i+ 1/2
i-1/2
Dx
cell (i,j
j+ 1
Q y,j+1/2
j+ 1/2
Tx and Ty son transmisividades en x
and y
Q x,i-1/2
Dy
Q x,i+1/2
j
j-1/2
Q y,j-1/2
j-1
i-1
i
i+ 1
Flujo Anisotropico Heterogéneo 2-D
• Promedio armonico para T o K
x
Ti+1,j
Ti,jx
x
Ti+1/2,j
=2 x
Ti+1,j+Ti,jx
Ai,j hi+1,j + Bi,j hi-1,j + Ci,j hi,j+1 + Di,j hi,j-1 + Ei,j hi,j = 0
Problema Transitorio
¶ æ x ¶h ö ¶ æ y ¶h ö
¶h
=
S
çT
÷ + çT
÷
¶x è ¶x ø ¶y è ¶y ø
¶t
l+1
l+1
l+1
l+1
l+1
l
¢ hi,j
Ai,j hi+1,j
+ Bi,j hi-1,j
+ Ci,j hi,j+1
+ Di,j hi,j-1
+ Ei,j
= Fi,j hi,j
MODFLOW
• Modelo Matematico de la USGS
http://water.usgs.gov/nrp/gwsoftware/modflow.html
• USGS desarrollo el modelo matematico
• Usa el elemento de Diferencias Finitas
• Varias versiones
– MODFLOW 88, 96, 2000, 2005
• Interfaces graficas para MODFLOW
– USGS interface, MPI
– GWV (www.groundwater-vistas.com)
– GMS (www.ems-i.com)
– PMWIN (www.ifu.ethz.ch/publications/software/pmwin/index_EN)
Que Simula MODFLOW?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Unconfined and confined aquifers
Faults and other barriers
Fine-grained confining units and
interbeds
Confining unit - Ground-water
flow and storage changes
River – aquifer water exchange
Discharge of water from drains
and springs
Ephemeral stream - aquifer water
exchange
Reservoir - aquifer water exchange
Recharge from precipitation and
irrigation
Evapotranspiration
Withdrawal or recharge wells
Seawater intrusion
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Finite-Difference Method