Por fin llegamos al primer átomo !!!
La energía potencial de un sistema protón-electrón es electrostática:
Usamos la ecuación de Schrödinger tridimensional, independiente
en el tiempo (que ya bastante dificil quedará).
Para átomos “hidrogenoides” (He+ or Li++)
Se reemplaza e2 por Ze2 (Z es el numero atomico).
Coordenadas
esféricas para
poder hacer
algo:
Transformando a
coordenadas esféricas
la ecuación queda:
Separar variables
La funcion de onda y depende del radio r y de los ángulos q y f.
Para simplificar la matemática, suponemos que la funcion es
“separable”, o sea que:
Esto funciona, una vez terminado uno verifica que no de algo mal
Esto da soluciones para la parte radial y para la parte angular por
separado, las soluciones están en la siguiente diapo:
La parte radial de la funcion de onda
La energía solamente depende de la
función de onda radial (numero
cuántico principal n)
Hay muchas funciones de onda válidas estacionarias, cada una tiene
un determinado numero cuentico n.
El valor para cada energía es negativo (atraccion) y esta dado por:
e2 1
En = –
2a 0 n 2
Los orbitales 4s, 4p, 4d y 4f del H tienen la misma energía. N=4
La parte
angular.
La y de energía mas baja, nuestro
amigo el orbital 1s
3/2
1  1  -r/a0
Y100 =
e


p  a0 
Máxima probabilidad de
encontrar el electrón es
pegadito al núcleo !!
En realidad, es mejor ver la probabilidad RADIAL,
o sea, mirando por capas como una cebolla.
Despues de todo, las capas de afuera son mas grandes,
asi que la probabilidad es mayor ahi.
Maximo radial
Orbitales s
Adentro de esta bola
está el 90% de la
probabilidad
nodos
Orbitales p
Nodo en el núcleo
Bolas para orbitales 2p, con el 90% de probabilidad adentro
Comparacion de la parte radial de los orbitales 2s y 2p. El 2p esta
calculado en la dirección en que hay algo, recordar que hay dos
direcciones vacías, sin probabilidad.
Una “cross section” de un
orbital 3p
Superficies al 90% de los orbitales 3d
Superficies al 90% de los orbitales 4f
El siguiente : Helio
Al aparecer mas de un electrón, tenemos que tener en cuenta las
interacciones entre electrones:
Parece simple.
I
V = –

i=1
2
Ze
+
4 p  0r i
I, J

i, j = 1
electron – nuclear
e2
4 p  0 r ij
electron – electron
Comparemos el sistema del Hidrógeno con el Helio.
Hamiltoniano del Hidrógeno
Tiene una energía cinética para el electrón, y una energía potencial debida a la
atraccion electrostática (coulombica) entre el electrón y el núcleo
2
Ze
– r
1
+
La soluciones que vimos daban para las energías:
e2 1
En = –
2a 0 n 2
2
–
-
2
h

2m
Hamiltoniano del Helio
Lo mismo que en el Hidrogeno, pero ademas hay un termino de repulsión
entre los dos electrones.
e2
r 12
2
–
2
h
1
2m
2
2
h
–
2
2m
-
-
Ze2
– r
1
++
Ze2
– r
2
Pero no sabemos la distancia entre los electrones !!!
El problema es analíticamante irresolublem, solo se pueden encontrar
resultados numéricos. Una de las formas de hacerlo es a traves de un método
llamado “metodo variacional”.
El teorema variacional
El método variacional permite obtener una energía del sistema basal,
sin tener que resolver la ecuación de Schroedinger.
Por supuesto, esa energía da mal.
El método esta basado en el siguiente teorema:
Para cualquier sistema al cual se le aplica el operador hamiltoniano
si  es una funcion cualquiera, que se porte bien y que satisfaga las
condiciones de contorno, entonces se cumple que:
 *H  d   E 0
Donde E0 es el valor verdadero (desconocido en general) de la
energía del estado estacionario válido mas bajo (el basal).
Este teorema permite encontrar una cota superior de la energía.
Utilidad práctica del método variacional
Uno puede obtener una energía enorme, y eso es una cota
superior, pero muy poco útil. Lo bueno es conseguir una cota
superior que no sea MUY SUPERIOR al valor verdadero (el
que podría calcular si pudiera resolver la ecuación de
Schrodinger en forma exacta).
La forma es agarrar funciones conocidas (por ejemplo, las y
del hidrógeno), y aplicarles un parámetro o mas de uno. Luego
se van moviendo esos parámetros hasta que la energía es
mínima. Para eso se hace que la derivada siguiente sea igual a
cero.


 *H  d  = 0
Probemos el metodo variacional con el He
Usamos de funciones las mas simples del hidrogeno, las 1s.
Son dos, porque el He tiene 2 electrones:
3/2
f1 = 1 aZ
p
0
e – Z r 1 /a 0, f2 = 1 aZ
p
0
3/2
e – Z r 2/a 0
Hacemos nuestra funcion total el producto de las dos funciones:
 = f1 f2
Como las funciones 1s ya estan normalizadas:
f1 f1d  =
*
f2 f2d  = 1
*
Lo que usamos entonces es una funcion trucha construida con 2 funciones
1s multiplicadas. Ahora le ponemos un parámetro que multiplique. La forma
mas facil es cambiar la carga nuclear Z=2 por un parámetro variable que
llamamos z.
3
z
1
 = p a
0
e – z r 1 /a 0 e – z r 2 /a 0
Podríamos haber puesto .Z, pero z tiene la ventaja de tener una
interpretación física. Como cada electrón apantalla la carga del núcleo, el
otro electron ve una carga nuclear “efectiva” menor que 2.
El hamiltoniano queda:
2
2
ze 2
ze 2
2
2
h
h
H = –
 – r –
 – r
2m 1
2m 2
1
2
e2
e2
e2
+ z– Z r + z– Z r + r
1
2
12
Hacemos las integrales
Una vez hechas las integrales tenemos que:
e2
* H d  = – z a
0
2
 * d  = 1 ,
*d 
2
+
z
–
Z
e
r1
*d  + z – Z e 2
 * d 
=
r1
 * d 
z
2
=
,
e
r2
a0
 * d 
5z e 2
=
r 12
8a 0
O sea que:
e2
5
 *H  d  = z – 2Z z + z a
8
0
2
*d 
2
+
e
r2
*d 
r 12
Ahora minimizamos la energía usando z
Teníamos:
e2
5
 *H  d  = z – 2Z z + z a
8
0
2
Variamos z para minimizar el valor de la integral variacional:

z
e2
2

5
 *H  d  =
z – 2Z z + z a = 0
z
8
0
2z – 2 Z + 5 = 
8
z =  – 5
Esto esta bien, dio menor que 2
16
La energía variacional es:
 *H  d  = – Z + 5 Z – 25
8
256
2
e2
5
=
–
Z
–
a0
16
2
e2
a0
¿ Que habrá dado ?
Comparemos con el experimento.
La forma ultra-trucha habría sido calcular la energía de ionización (o sea la energía
del nivel basal) poniendo Z=2 en una ecuacion de energías hidrogenoides para el n=1.
E = -Ze2/a0
esto nos da: - 2(13.6) eV = -27.2 eV.
Con el método variacional obtuvimos,
E = -(27/16)e2/a0 = -(27/16)(13.6) eV = -22.95 eV.
La energía de ionización experimental del He is –24.5 eV.
The value obtenido por el método variacional es mas cercano al valor real.
Y ademas, podemos estar seguros que la energía real es menor.
El valor “ultratrucho” es peor, y no nos da seguridad de nada
Resumen
El atomo de H es el unico que se puede
calcular exactamente.
Usamos orbitales tipo H para calcular
atomos multielectrónicos,
pero eso da muy mal.
Podemos zafar usando el metodo
variacional, que nos permite tener
valores mas cercanos al real, que son
siempre mayores que la Energía real.
Hamiltoniano para una molécula
ˆ =
H
electrons

i

2
2me
nuclei
i 
2

A

2
2m A
electrons nuclei
A 
2
 
i
A
e ZA
2
riA
electrons


i j
e
2
rij
nuclei


A B
2
e Z AZ B
rAB
Ahora tenemos: (en orden de dificultad de cálculo)
energía cinética de los electrones
energía cinética de los núcleos
interacción electrostática entre todos los núcleos
interacción electrostática entre los electrones y los núcleos
interacción electrostática de los electrones entre si
Es un bardo, que se resuelve aplicando el metodo variacional o métodos
mejores.
Las únicas “moleculas” que se pueden resolver en forma analítica son las que
tengan un electrón solo, como H2+
Aproximación de Born-Oppenheimer
Los núcleos son mucho mas pesados que los electrones, se mueven poco y
lentamente. En la escala de movimiento de los electrones, estan como
“congelados”.
Entonces, ponemos una determinada configuración nuclear “congelada”, Rnuc,
y calculamos la funcion de onda Yel(rel;Rnuc) y la energía.
Despues, cambiamos los núcleos de lugar un poco y volvemos a calcular, si la
energía da menor, vamos en el camino correcto (aunque no siempre).
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CHAPTER 7: The Hydrogen Atom