Distribución muestral de la Media
RECUERDA
Un elemento muestral o punto de muestreo
es cada uno de los posibles resultados de
un evento.
El conjunto de elementos muestrales o
puntos de muestreo constituye el espacio
muestral o universo de resultados posibles
de un evento.
Distribución muestral de la Media
«Teorema central del límite»
Si de una población normal con media μx
2

y una varianza x , se extraen reiteradas
muestras al azar, de tamaño N, la
distribución de las medias de las muestras
será normal con media μx y varianza  .
2
x
N
Distribución muestral de la Media
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
μ
X
X
X
X
X
XX
Distribución muestral de la Media
«Ley de los grandes números»:
Si se extraen diversas muestras del tamaño
N al azar de una población cualquiera con
media μx y una varianza  , entonces, a
medida que N crece, la distribución de
muestreo de las medias de las muestras se
aproxima a la normalidad con media μx y

la varianza N .
2
x
2
x
Distribución muestral de la Media
A: N=80
B: N=40
C: N=20
Distribución muestral de la Media
X
X
X
¿Cuántas mediasX hay
en
el
espacio
X
muestral de la media?
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X
X
X
X
X
XX
Distribución muestral de la Media
La DISTRIBUCIÓN MUESTRAL de
un estadístico es la distribución de
frecuencias de los valores que ese
estadístico toma en un número
infinito de muestras del mismo tipo y
tamaño, y la probabilidad de obtener
cada valor, suponiendo que éste es
producto del azar.
Distribución muestral de la Media
La distribución muestral de la media
proporciona todos los valores que
puede asumir la media, junto con la
probabilidad de obtener cada valor si
el muestreo es aleatorio a partir de la
población de la H0.
Distribución muestral de la Media
Error Típico
de la Media
X 
X
X
X
X
X
X
X 
N
X
X
X
X
X
Estimación del Error
Típico de la Media
X
X
X X
X
SX
N
X
μ
X
X
X
X
X
XX
Distribución muestral de la Media
Error Típico
de la Media
X 
X
N
Estimación del Error
Típico de la Media
X 
SX
N
Distribución muestral de la Media
Error Típico
de la Media
X 
X 
1, 42

Estimación del Error
Típico de la Media
X 
X
N
1, 42
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
10,72 X
115
X
X
X
 0,13
μ
SX
N
X
X
X
X
X
X
XX
Distribución muestral de la Media
X
  5 , 23
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
 X  0 ,13
X
X
μ
X
X
X
X
X
XX
Distribución muestral de la Media
  5 , 23
X
X
 X  0 ,13
X
X
X
X
Pr ob . de X  4 ,88
Zi 
Xi  X
μ
SX
X
X
X
ZX 
X
X
X
X 
X
Zi 
Xi  X
SX
Distribución muestral de la Media
 X  0 ,13
  5 , 23
ZX 
Pr ob . de X  4 ,88
p=0,0036
X  4 ,88
ZX 
4 ,88  5 , 23
0 ,13
X 
X
  2 , 69
Zi 
Xi  X
SX
ZX 
Distribución muestral de la Media
  5 , 23
 X  0 ,13
Pr ob . de X  4 ,88
p=0,0036
Pr ob . de X  5 ,50
Pr ob . de X entre 5 ,10 y 5 , 40
Pr ob . de X entre 4 ,975 y 5 , 485
X
X
X
X
X
X
X 
X
INTERVALO CONFIDENCIAL
X
X
X
X
X
μ desconocido
X
X
X
X
μ estimado
a través de la
Media Muestral
X
X
X
X
X X
X
X
X
X
X
X
X
INTERVALO CONFIDENCIAL
Estimación puntual
Estimación por intervalo
Intervalo Confidencial
Límites Confidenciales
En general, el Intervalo Confidencial viene
dado por las puntuaciones directas
(medias muestrales) entre las cuales
afirmamos, a un nivel de confianza dado
(nc), que se encuentra el parámetro (μ)
que consideramos.
Nivel de Confianza  p=0,95
Margen de error  p==0,05
INTERVALO CONFIDENCIAL
IC  X  
LCS  X   X Z 
X
Z
2
LCI  X   X Z 
Error Muestral Máximo
IC  X  
LCS  X   X t
2
2
y gl

2
t
X 
y gl
LCI  X   X t
2
y gl

2

X

SX
N 1
Modelos de distribución
INTERVALO CONFIDENCIAL
SEMEJANZAS CONCEPTUALES
MUESTRA
POBLACIÓN
xi  S X Z i
EMM   X Z 
2
Distribución muestral de la Media
α=0,05
LCI
zi=-1,96
LCS
Región de aceptación de μ
EMM
EMM
zi=1,96
INTERVALO CONFIDENCIAL
LCS
IC  X  

X
Z
2
X
Z
2
 X 
LCI  X  
X
X
Z
Z
2

2
 0 ,13  1,96  0 , 255 para   0 , 05
IC  5 , 23  0 , 255
LCS  5 , 23  0 , 255  5 , 485
LCI  5 , 23  0 , 255  4 ,975
α=0,05
5 , 485
4 , 975
Región de aceptación de μ
zi=-1,96
EMM
EMM
zi=1,96
INTERVALO CONFIDENCIAL
LCS  X  
IC  X  
X 
t
X 
SX
2
t
X 
2
y gl  n 1
y gl
LCI  X  
N 1
t
X 
y gl  n 1
2
Siendo N  28 ; X  3,060 ; S x  0 ,993 ;   0 ,02

X

0 , 993
28  1

0 , 993
 0 ,191
5 ,196
LCS  3 , 060  0 , 472  3 , 532
IC  3 , 060  ( 0 ,191  2 , 473 )
LCI  3 , 060  0 , 472  2 , 588
HIPÓTESIS
• Se considera como HIPÓTESIS NULA
(H0) el POSTULADO DE NO
DIFERENCIA entre los resultados
obtenidos en la práctica y los teóricos.
• Se considera como HIPÓTESIS
ALTERNA(TIVA) (H1) el POSTULADO
DE DIFERENCIA entre los resultados
obtenidos en la práctica y los teóricos.
HIPÓTESIS
• HIPÓTESIS ALTERNA(TIVA) (H1):
1) Bilateral, bidireccional, de dos colas
2) Unilateral, (uni)direccional, de una cola
(1) HIPÓTESIS ALTERNA(TIVA) BILATERAL
O BIDIRECCIONAL (H1): El investigador
afirma que las diferencias se pueden
encontrar en cualquiera de los dos lados de la
distribución muestral, a un nivel de confianza
dado.
HIPÓTESIS
X
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
XX
Zona de rechazo
Zona de rechazo
α
Zona de
rechazo
Zona de
rechazo
Zona de
aceptación
de H0
α =0,32
zi=±1
Zona de
rechazo
Zona de
rechazo
Zona de
aceptación de
H0
α=0,05
zi=±1,96
Zona de
rechazo
Zona de
rechazo
Zona de aceptación de H0
α=0,01
zi=±2,58
Zona de
rechazo
Zona de
rechazo
Zona de aceptación de H0
HIPÓTESIS
(2)
HIPÓTESIS
ALTERNA(TIVA)
UNILATERAL O DIRECCIONAL (H1) :
• El investigador afirma que las diferencias se
encuentran en un determinado lado de la
distribución muestral, a un nivel de confianza
dado.
α=0,05
zi=1,64
Zona de
rechazo
Zona de aceptación de H0
HIPÓTESIS
Hipótesis sustantiva: El nivel
de
X  5 , 23 percibida de la  población
0 ,13
competencia
s  1, 42de 1º Grado es de unos 5,50
de alumnos
 115
puntosN en
una escala de 0 a 10.
X
X
Se pretende probar la HIPÓTESIS de
que la media poblacional (μ) en
Competencia percibida hacia la
estadística es igual a 5,50 puntos, siendo
el nivel de confianza del 95% (α=0,05)
HIPÓTESIS – Modelo Z
ETAPAS DEL CONTRASTE DE HIPÓTESIS
1) Formulación de la(s) H0 y de su(s)
correspondiente(s) H1
2) Elección (justificada) de la Prueba
Estadística
3) Especificación del Nivel de Error (α)
4) Definición de la Distribución Muestral
5) Zona de Rechazo/Aceptación de la(s) H0
6) Cálculo del (los) estadístico(s): Prueba
Estadística
7) Interpretación ESTADÍSTICA y PEDAGÓGICA
HIPÓTESIS – Modelo Z
ETAPAS DEL CONTRASTE DE HIPÓTESIS
1. Formulación de la H0 y de su
correspondiente H1
Hipótesis nula  H0: μ = 5,50
La media poblacional de Competencia
percibida es estadísticamente igual a 5,50
Hipótesis alternativa  H1: μ ≠ 5,50
La media poblacional de Competencia percibida no es estadísticamente igual a 5,50
HIPÓTESIS – Modelo Z
ETAPAS DEL CONTRASTE DE HIPÓTESIS
2. Elección de la Prueba Estadística
Datos medidos a nivel de intervalo y N≥30,
por tanto prueba estadística: Modelo zi o
R.C. (Razón Crítica) para una muestra
grande.
zi 
X 

X
HIPÓTESIS – Modelo Z
ETAPAS DEL CONTRASTE DE HIPÓTESIS
3. Especificación del Nivel de Error (α)
Nivel de error (o de significación): En el
problema se indica: α=0,05.
HIPÓTESIS – Modelo Z
ETAPAS DEL CONTRASTE DE HIPÓTESIS
4. Definición de la Distribución Muestral
La distribución muestral es una
distribución de probabilidad, que se
forma
con
infinitas
medias
aritméticas obtenidas en infinitas
muestras aleatorias de la misma
población, todas del mismo tamaño
que la del problema de investigación.
HIPÓTESIS – Modelo Z
ETAPAS DEL CONTRASTE DE HIPÓTESIS
5. Zona de Rechazo/aceptación de H0
La zona de rechazo de H0 es una parte de
la distribución muestral que está formada
por todos los valores cuya probabilidad, si
H0 es verdadera, sea ≤ 0,05.
Puesto que H1 no indica la dirección de las
diferencias, la zona de rechazo está situada en
ambos extremos de la distribución que incluye
todos los valores cuya probabilidad sea ≤ 0,05.
HIPÓTESIS – Modelo Z
ETAPAS DEL CONTRASTE DE HIPÓTESIS
6. Cálculo del (los) estadístico(s): Prueba
Estadística
zi 
zi 
X 

X
5 , 23  5 ,50
0 ,13

0 , 27
0 ,13
  2 , 08
α=0,05
zi=1,96
Zona de
rechazo
Zona de
rechazo
Zona de aceptación de H0
Z i   2 , 08
Zona de aceptación de H0
HIPÓTESIS – Modelo Z
ETAPAS DEL CONTRASTE DE HIPÓTESIS
7. Interpretación ESTADÍSTICA y
PEDAGÓGICA
Interpretación ESTADÍSTICA
La probabilidad de obtener POR AZAR una
zi = -2,08 es menor que la de una zi =-1,96
(α=0,05); por tanto se rechaza H0.
Al tomar esta decisión se corre el riesgo
de cometer Error del Tipo I.
HIPÓTESIS – Modelo Z
ETAPAS DEL CONTRASTE DE HIPÓTESIS
7. Interpretación ESTADÍSTICA y
PEDAGÓGICA
Interpretación ESTADÍSTICA
Estadísticas de una muestra (PSPP)
Desviación
N
Media
Err.Est.Media
Estándar
Competencia
percibida en
115
5.23
1.42
.13
estadística (0-10)
HIPÓTESIS – Modelo Z
ETAPAS DEL CONTRASTE DE HIPÓTESIS
7. Interpretación ESTADÍSTICA y
PEDAGÓGICA
Interpretación ESTADÍSTICA
Prueba de una muestra (PSPP)
Valor de prueba = 5.500000
Diferencia
t
df Sign. (2-colas)
Media
Competencia
percibida en
-2.06 114
estadística (0-10)
.042
-.27
HIPÓTESIS – Modelo Z
ETAPAS DEL CONTRASTE DE HIPÓTESIS
7. Interpretación ESTADÍSTICA y
PEDAGÓGICA
Interpretación ESTADÍSTICA
La probabilidad de obtener POR AZAR una
tempírica=-2,06 es de 0,042, que es menor que
(α) 0,05; por tanto se rechaza H0.
Al tomar esta decisión se corre el riesgo
de cometer el Error del Tipo I.
HIPÓTESIS – Modelo Z
ETAPAS DEL CONTRASTE DE HIPÓTESIS
7. Interpretación ESTADÍSTICA y
PEDAGÓGICA
Interpretación PEDAGÓGICA
Esto significa que la media poblacional
(μ) de Competencia percibida hacia la
estadística no es igual a 5,50 puntos.
La muestra no pertenece a esta población.
¿Podríamos estar equivocados con esta interpretación?
Errores del Tipo I y del Tipo II
ESTADO REAL
D E C IS IÓ N
H 0 es verdadera
A ceptar H 0
R ech azar H 0
Z i   2 , 06
H 0 es falsa
Errores del Tipo I y del Tipo II
ESTADO REAL
D E C IS IÓ N
H 0 es verdadera
A ceptar H 0
D ecisión correcta
H 0 es falsa
1
R ech azar H 0
D ecisión correcta
4
Z i   2 , 06
Errores del Tipo I y del Tipo II
DECISIÓN
Aceptar H0
Rechazar H0
ESTADO REAL
H0 es verdadera
H0 es falsa
Decisión correcta
Error del Tipo II
1
2 [β]
Error del Tipo I
Decisión correcta
3 [α]
4
Z i   2 , 06
Errores del Tipo I y del Tipo II
α
p DECISIÓN
0,01 0,02 Aceptar H0
0,05 0,02 Rechazar H0
ESTADO REAL
H0 es verdadera
H0 es falsa
Decisión correcta
Error del Tipo II
1
2 [β]
Error del Tipo I
Decisión correcta
3 [α]
4
α
N
POTENCIA
Potencia de una prueba: probabilidad de rechazar H0,
siendo H0 falsa, es decir, 1 - β.
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