P   AeT
I  T
4
4
Ley de Wien
I ( , T ) 
f ( T )

5
Formula de Wien
C 1
I ( , T ) 
e
5
C2
T

I (T ) 
 I ( , T )d
0
I (T ) 

4
C1
15 C
I (T )   T
4
4
2
T
4
Ondas estacionarias en la caja
TEORÍA DE RAYLEIGH-JEANS
E ( x , t )  E 0 Sin ( kx   t ) e y
B ( x , t )  B 0 Sin ( kx   t ) e z
E ( x , t )  2 E 0 Sin ( kx ) Cos ( t )
Sin ( kL )  0
n
kn 
L
Caja tridimensional
kx 
n x
ky 
L
n y
kz 
L
k  kx  ky  kz 
2
2L
2


2L
2
f 
2
4

2
c
f 
2L
n n n
2
x
2
y
L
2
2
nx  ny  nz
2
¿Cuántos modos de vibración hay, frecuencias
permitidas?
c
n z
2
z
2
r 
n n n
2
x
f 
2
y
c
2
z
r
2L
¿Cuantos puntos hay en un casquete esférico de
espesor df ?
N ( f ) df  N ( r ) dr   dV
N(r) es el número de puntos en el casquete esferico de
espesor dr en el espacio de los n.
kx 
n x
L
ky 
n y
kz 
L
k x  k y  k z 
V k
 
 
L

n z
L
L
3
Vk es el mínimo volumen en el espacio de los
puntos, y en dicho volumen sólo hay un punto, así
=1
Como se trata de una esfera el volumen de un casquete
es
1
2
dV   4  r dr
8
c
f 
r
2L
2L
dr 
df
c
2
1
 2L  2L
dV   4   
f 
df
8
 c
 c
2
 2L  2L
N ( f ) df  N ( r ) dr  2   4   
f  
df
8
c
 c

1
8 f L
2
N ( f ) df 
c
f 
df  
3
3
df
c

c

2
d
N ( f ) df  N (  ) d 
N ( )d 
8 L

4
3
d
N(f)
8 f
N ( ) 
2
V
3
c
8
V

Densidad de energía de la radiación emitida
U ( f , T ) df 
4
N ( f ) df
E
V
¿Cómo se calcula la energía promedio?
La radiación dentro de la caja se encuentra en
equilibrio térmico a la temperatura T. Si la
temperatura de la caja es baja hay menos modos
activados y si es alta hay mas modos activados. La
probabilidad de que un modo este activado es:
P (E )  Ae
1
 
k BT
La energía promedio
es:
E 
 E

 EP ( E ) dE
0
 k BT
La densidad de energía promedio es:
U ( f ,T ) 
8 f
c
3
2
k BT
U ( , T ) 
8

4
k BT
TEORIA DE PLANCK
Postulados
 La materia (paredes de la cavidad) está constituida por
osciladores armónicos, (átomos radiantes), donde cada
uno de ellos oscila con una frecuencia f. Estos O.A. se
distribuyen de acuerdo a la Ley de Distribución de
BOLTZMANN .
 Cada oscilador armónico, sólo puede tener
determinados valores de la energía y éstos son múltiples
enteros de hf Cuantum de Radiación (Quantum de
radiación).
 El intercambio de energía de los O.A. con el CAMPO DE
RADIACION (dentro de la cavidad) es discreto.
 La energía se propaga de manera continua.
 El Nº de O.A. = Nº de modos en cada unidad de
volumen.
P (E )  Ae
E  nhf
  nhf
U 
1
 
N ( f ) df
V
k BT

E 


E  P(E )
n0


n0

E  P(E )

nhf e
  nhf
n0

e
n0
  nhf
E
nhf e
  nhf

E 

 nhf e



e

  nhf
n0
e
  nhf



n0


E 
n0



e
n0

e

e
  nhf
n0


  nhf

  nhf
n0
e
  nhf


  nhf
     nhf 
 e

  n0


e
n0
  nhf

Z 
e
  nhf
E 
n0


ln Z 
Deberemos calcular la cantidad Z
x
e

  hf
Z 
x
n
n0
N
Z  lim
N 
x
n0
n
 lim
N 
1 x
N 1
1 x

1
1 e
  hf
1


  hf
ln Z  ln 


ln
1

e

  hf
1

e


  hf
hf
e


  hf
ln Z  
ln 1  e

  hf


1 e
hf

E 
ln Z   hf

e 1

 
N(f)


8 f
N ( ) 
U ( f , T ) df 
2
V
3
c
8

4
V
N ( f ) df
V
E
U ( f , T ) df 
8 f
c
U ( f ,T ) 
3
hf
e
3
8 f
c
2
2
  hf
1
df
hf
e
  hf
1
2 c h
2
U ( , T ) 

5
1
e
hc
 KT
1
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