Proceso de muestreo
Proceso de muestreo
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•
Análisis de señales muestreadas
Teorema de Shanon
Transformada Z
Funciones de transferencia en z
Relación entre los dominios s y z
Señales en control por computador
u(kT)
u(t)
t
t
w
y(t)
computador
Proceso
D/A
u(t)
y(kT)
A/D
y(kT)
y(t)
t
T
t
Proceso de muestreo
y*(t)
y(t)
t
t
T
• ¿Cuál debe ser el valor de T para no perder información
esencial de y(t)?
• ¿Puede reconstruirse y(t) a partir de y(kT)?
• Para contestar se debe investigar cuál es la relación entre
los componentes de frecuencia de y(t) y de y*(t)
• ¿Puede utilizarse la transformada s para el análisis?
• ¿Hay otra formulación equivalente?
Componentes de frecuencia de una
señal
f(t)
+
=
t
f (t) 
1
2

 F()e
j t
d
t
+
+…
e
j t
 cos(  t )  jsen (  t )


F() 
amplitud
de la componente
de frecuencia


 f ( t )e
 j t
dt

F()
Transformada de Fourier

Espectro de frecuencias
de la señal
Señales muesteadas / Tren de pulsos
y(t)
 y ( kT )
y (t)  
0
*
y*(t)
T
t
t
T
T(t)
y(t)
*
y*(t)
(t)
1
T
=
T
t

 T (t) 
  ( t  nT )   ( t )   ( t  T )   ( t  2 T )  ...
n  

y ( t )  y ( t )  T ( t )  y ( t )  ( t )  y ( t  T )  ( t  T )  .. 
*
 y ( nT )  ( t  nT )
n  
t  kT
t  kT
Transformada de Fourier discreta
y*(t)
T

F () 
*

 f (t) e
*
 j t
dt 


n  
f ( nT ) e
   ( t  nT )f ( t ) e
  n  



 j  nT
 j t

dt 

   ( t  nT ) f ( t ) e
n    
 j t
dt 
Señales periódicas
f(t)
T
Una señal periódica
de periodo T
siempre admite una
descomposición en
serie de Fourier
t
Ejemplo: Tren de pulsos de periodo T
(t)

 T (t) 
1
T
t

F() 
 f ( t )e


 j t
dt 
  ( t  nT )   ( t )   ( t  T )   ( t  2 T )  ...
n  


  n  
 ( t  nT ) e
 j t

dt 


  ( t  nT ) e
n    
 j t

dt 

n  
e
 j  nT
Espectro de frecuencia de T(t)

F() 

 f ( t )e
 j t
Si  ≠ is

e
 j  nT

 ( t  nT ) e
 j t

dt 
  n  


dt 



  ( t  nT ) e
 j t

dt 
n    

e
 j  nT
n  
s = 2/T
 2 series geométrica s de razones e
n  
- j T
,e
j T
 1 
1
1 e
 j T

1
1 e
j T
1  0
Si  = is
F()
F (i s )  c i
ci

F ( ) 
c
i  
i
 (  i s )
s

Espectro discontinuo
Espectro de frecuencia de T(t)
f (t) 
(t)
1
T
 T (t) 
1
2
t


2
 T (t) 

 c n  (  n s )e
n    
j t

1
d 
 F()e
j t
d

1
2
1
2


 c
n
 (  n s ) e
j t
d
  n  


n  
cne
jn  s t
En un periodo:
Espectro de una señal muestreada y*(t)

Y () 
*


*
y ( t )e
 j t
dt 


1
T


y ( t ) T ( t )e
 j t


 j(   n  s ) t
dt 
Y () 
1
T
n    
*



  y ( t )e
dt 
1
T
y(t)
1
T

e
jn  s t
e
 j t
dt 
n  


Y (  n s )
n  


Y (  n s )
n  
El espectro de frecuencias de la señal muestreada se
obtiene sumando infinitas veces el espectro de la señal
continua desplazado ns
Espectro de una señal muestreada y*(t)
Espectro
continuo
Y () 
*
1
T


Y (  n s )
n  
0
Espectro
discreto
…
-2s
|Y()|
1/T
-s

Máxima
frecuencia de
la señal
continua
…
|Y*()|
s/2
0
s
2s 
Si 0 < s/2 los espectros laterales no se superponen y el
contenido de frecuencias de Y y de Y* son identicos en [- 0 0 ]
Espectro de una señal muestreada y*(t)
Espectro
continuo
Y () 
*
1
T
…
|Y()|


Y (  n s )
n  
0
Espectro
discreto
-2s

Máxima
frecuencia de
la señal
continua
|Y*()|
1/T
-s
…
0 
s
s/2
2s
Si 0 > s/2 los espectros laterales se superponen y el contenido
de frecuencias de Y* se distorsiona en [- 0 0 ]

Teorema de Shanon
0  N 

|Y()|
T
N Frecuencia de
Nyquist
Espectro
discreto
…
-2s
0
1/T
-s

Máxima
frecuencia de
la señal
continua
…
|Y*()|
s/2
0
s
Para que no haya pérdida significativa de la información el
periodo de muestreo ha de cumplir 0 < s/2 = N = /T
2s 
“Aliasing”
Señal
continua
Señal
muesteada
Ejemplo: Se muestrea a frecuencia menor que 20 En el
ordenador se ve la señal como una de frecuencia menor
Cuando se muestrea incorrectamente una señal pueden
aparecer frecuencias en la señal muestreada que no están en
la original
Toma de datos, filtrado “antialiasing”
y(t)
y*(t)
y(t)
t
t
Filtro
T
t
T
Antes de muestrear una señal conviene pasarla por un
filtro continuo pasa bajo (filtro “antialiasing”) para
eliminar las frecuencias superiores a /T que
distorsionarian la señal muestreada con el ordenador
P.e. Filtro de Bessel de segundo orden:
1 . 6129
( s /  B )  2 . 2098 ( s /  B )  1 . 6129
2
B ancho de
banda
Espectro de frecuencias
|Y*()|
0
/T
No se suele representar un
rango de frecuencias superior
a /T porque es repetitivo y
esas frecuencias no aparecen
en la señal original
Si las frecuencias del espectro no tienden a cero
antes de /T ello es síntoma de un T inadecuado
Periodo de muestreo T
|Y*()|
0
T
/T
El teorema de Shanon nos
da un criterio para elegir un
T adecuado para muestrear
una señal, pero a veces es
difícil de aplicar
Criterio práctico:
Escoger T de modo que
corresponda a tomar
entre 10 – 30 muestras
del tiempo de
asentamiento
Periodo de muestreo
y
t
y
En lazo cerrado
normalmente los
procesos son mas rápidos
que en lazo abierto
T
t
Si se escoge T para un
sistema de control, debe
aplicarse la regla al
tiempo de asentamiento
esperado en lazo cerrado
¿Se puede recuperar y(t)?
Espectro
discreto
…
-2s
1/T
-s
En teoría, si 0 < /T,
filtrando la señal
muestreada con un
filtro ideal se puede
obtener la señal
original
…
|Y*()|
s/2
0
s

|Y()|
0

2s 
Un filtro ideal
no es realizable
pero pueden
hacerse
aproximaciones
Reconstrucción de y(t)
y*(t)
y(t)
T
y(t) 
y(t) 
1
2
T
2
t

 Y () e

 Y () e
*
n  
j t
*
dt 
 -  /2
y ( nT )


si Y(  )  TY (  ) en [-  s /2,  s /2]
 /2
n  
y(t) 
dt ,



j t
y ( nT )
T
2
 /2
T
2

  y ( nT ) e
 j  nT
e
j t
dt 
 -  /2 n  
 /2
e
j  ( t  nT )
dt
 -  /2
sen (  N ( t  nT ))
 N ( t  nT )
Introduce un retardo en el
cálculo
Necesita infinitos datos
Reconstrucción
1

y(t) 

y ( nT )
n  
sen (  N ( t  nT ))
Sen(x) /x
 N ( t  nT )
Los coeficientes sinusoilades
van decreciendo cuando nT
de aparta del valor de t
considerado
0.1283 0.0709
7.7
Para t próximo a mT:
y ( t )  y ( mT )
sen (  N ( t  mT ))
 y (( m  2 ) T )
 N ( t  mT )
 y (( m  1) T )
sen (  N ( t  mT  2 T ))
 N ( t  mT  2 T )
sen (  N ( t  mT  T ))
 N ( t  mT  T )
 y (( m  2 ) T )
 y (( m  1) T )
sen (  N ( t  mT  2 T ))
 N ( t  mT  2 T )
 ...
14.1
sen (  N ( t  mT  T ))
 N ( t  mT  T )

Reconstrucción
1
(m-2)T
mT (m+1)T
(m-1)T
(m+2)T
t

( t  mT ) 
T
....



2
T
( t  mT  T ) 
( t  mT  3 T ) 
T
3
0.1283 0.0709
2
7
 11
2
Con m=3
y ( t )  y ( mT )
Sen(x) /x
sen (  N ( t  mT ))
 y (( m  2 ) T )
7.7
|coeficientes| < 0.1
 N ( t  mT )
 y (( m  1) T )
sen (  N ( t  mT  2 T ))
 N ( t  mT  2 T )
sen (  N ( t  mT  T ))
 N ( t  mT  T )
 y (( m  2 ) T )
 y (( m  1) T )
sen (  N ( t  mT  2 T ))
 N ( t  mT  2 T )
 ...
14.1
sen (  N ( t  mT  T ))
 N ( t  mT  T )

Mantenedores
u(kT)
u(t)
Orden 0
t
t
ZOH
u(t)
u(kT)
Orden 1
t
……
Tren de pulsos
 y ( kT )
y (t)  
0
*
y*(t)
y(t)
T
t
t
T
*
t  kT
Condiciones
iniciales
nulas
y*(t)
(t)
y(t)
t  kT
1
T
=
T
t

 T (t) 
  ( t  nT )   ( t )   ( t  T )   ( t  2 T )  ...
n  
y ( t )  y ( t )  T ( t )  y ( t )  ( t )  y ( t  T )  ( t  T )  .. 
*

 y ( nT )  ( t  nT )
n 0
Transformada de



*
*
Y (s)  L y ( t )  L   y ( nT )  ( t  nT )  
 n 0





Y (s) 

y ( nT ) L  ( t  nT )  
n 0

*
*
y (t)
y ( nT ) e


y ( nT ) e
 nT s
n 0
 nTs
No adecuadas para el
análisis
n 0
Ejemplos:

Salto
unit.
1
Y ( s )   y ( nT ) e
*
 nT s
1 e
Ts
e
2 Ts
e
3Ts
 ... 
n 0
Exp.
Decr.
1

Y (s)   e
*
n0
 anT
e
 nTs
1 e
 aT
e
 Ts
e
 2 aT
e
 2 Ts
 ... 
1
1 e
Ts
1
1 e
Expresiones no racionales en s
(a s)T
Transformada Z
Dada la secuencia discreta f(0), f(1), f(2), ….f(k),… se
define su transformada Z mediante:
Z f ( k )   F ( z ) 
f(k)


f (k )z
k
k0
T
Donde z es una variable compleja
Juega en los sistemas discretos un papel equivalente
al que la transformada s de Laplace juega en los
continuos
Se suponen condiciones iniciales nulas
t
Ejemplos
(t)
Impulso
unitario
1
u(kT)
Z u ( k )  
Z u ( k )  
Funciones racionales de z
e-akT


z
0
 z
1
k
geometrica
T
1
k
k0
 serie
1
T
Exponencial
decreciente

(k )z
k0
T
Escalón
unitario
Z  ( k )  

Z e
 akT
1
1 z

  e
1
 akT

z
de razón z
z
z 1
k
k0
T
Z e
 akT

1 e


 (e
k0
1
- aT
z
1
-1

z
ze
- aT
 aT
z
1
)
k
Tabla de transformadas Z
Propiedades de F(z)
(1)
Z af 1 ( k )  bf 2 ( k )   aF1 ( z )  bF 2 ( z )
Linealidad
Z af 1 ( k )  bf 2 ( k )  


( af 1 ( k )  bf 2 ( k )) z
k
k0

 a  f1 (k )z
k
k0

 b f 2 (k )z
k

k0
 aF1 ( z )  bF 2 ( z )
Z f ( k  d )   z
Retardos
d
F(z)

Z f ( k  d )   z  F ( z ) 

d
Z f ( k  d )  

 f (k  d )z
k
 f (  d )  f (1  d ) z
d 1

f (k )z
k0
1
k



 ...  f ( 0 ) z
d
 f (1) z
 d 1
 ... 
k0
 f (0)z
d
 f (1) z
 d 1
 f (2)z
d2
...  z
d
( f ( 0 )  f (1) z
1
 ...)  z
d
F(z)
Propiedades de F(z) (2)
Z f ( k  d )  


f ( k  d )z
k
 haciendo
k  d  i
k0
 
i
 z  f (i)z 
 id
d

 z F(z ) 

d
d 1

i0
Valor
inicial
d 1

f (i)z
i
d 1


i0

i0


d
i
f (i)z   z  f (i)z 

 i0
i
i 
f (i)z 

lim f ( k )  lim F ( z )
k0
z 

d
f (i)z z
i

id
lim F ( z )  lim f ( 0 )  f (1) z
z 

1
z 
 f (2)z
2
 ...  f ( 0 )
d 1

i0
i 
f (i)z  

Propiedades de F(z) (3)
1
lim f ( k )  lim (1  z ) F ( z )
Valor final
(1  z
1

)F(z) 
 f (k )z
k0
k
k
z 1


 f ( k  1) z
k0
k


Supuesta
estable
 f ( k )  f ( k  1) z
k

k0
 f ( 0 )  f (  1)  f (1)  f ( 0 )  f ( 2 )  f (1)  f ( 3 )  f ( 2 )  ..... z
  f (  1)  f (  ) z
Transformada
Z inversa
k
f (k ) 
si z  1
1
2 j
 F(z)z
k

 f(  )
k 1
dz
Donde el
camino cerrado
encierra las
singularidades
de F(z)
Propiedades de F(z)
(4)



Z   f (i) g ( k  i )   F ( z ) G ( z )
 i0

Convolución



Z   f (i ) g ( k  i )  
 i0



  f ( i ) g ( n )z
n
z
i


  f ( i ) g ( k  i )z
k
 haciendo k - i  n  
k 0 i0
 al ser g(-k)  0  
n i i0




n 0 i0
f ( i ) g ( n )z
n
z
i



n0
f (i) z
i


i0
g ( n )z
n
 F(z )G (z )
Función de transferencia pulsada en z
u(k)
y(kT)
t
T
T
ZOH+Proceso
T
u(k)
T
y(k)

y(k ) 
 h ( k  i) u (i)
i0
Transformada
de la
convolución



Y(z)  Z  y ( k )   Z   h ( k  i ) u ( i )   H ( z ) U ( z )
 i0

Y (z)  H (z)U (z)
H(z) transformada
Z de h(kT)
Transformada s de un ZOH
(t)
y(t)
1
1
ZOH
T
T
Respuesta impulso del ZOH
u(t)
1
T
u(t-T)
1
La función de transferencia es la
transformada de la respuesta
impulsional
y(t)  u (t)  u (t  T )
T
1
y(t)
Y (s )  U (s )  e
 Ts
U (s ) 
s
G ZOH ( s ) 
T
1
1 e
s
 Ts
(1  e
 Ts
)
Como calcular H(z)
u(k)
y(kT)
t
T
T
G(s)
ZOH
T
u(k)
 Ts
 1-e
Y (z)  Z 
 s
 Z
T

e
 G (s ) 
G (s )  U ( z )  Z
U (z)  Z 
 s 


 Ts
y(k)
G (s ) 
 U (z) 
s

 G (s ) 
 G (s ) 
 G (s ) 
1
1
U (z)  z Z
U ( z )  (1  z ) Z
U (z)
 s 
 s 
 s 
1
H ( z )  (1  z ) Z
 G (s ) 
 s 
Tabla de transformadas Z
G(s)/s
Z[G(s)/s]
Tabla de transformadas Z
G(s)/s
Z[G(s)/s]
G(s)/s
Tabla de transformadas Z
Z[G(s)/s]
Ejemplo: depósito
q
dh
   h    u  G (s ) 
dt
H ( z )  (1  z
h
F



 G (s ) 
1
)Z
 (1  z ) Z 


 s 
 s (s   ) 
T
1
1  0 . 535 q
s  1 . 252
1
T
z 1   
(1  e ) z
    (1  e )







T
T
z    ( z  e )( z  1)    ( z  e )
T = 0.5
y(k ) 
s

 0 . 167
z 1       



Z 

z     s (s   ) 
u
 0 . 062 q
1

u (k )

 0 . 062
z  0 . 535

 0 . 062 z
1
1  0 . 535 z
1
Polo = Autovalor = 0.535
Ejemplo: Motor
R
    0
   
  0

   1
I



0 

 (s)  C ( sI  A )
 (1
V
1     0 
      V
      
s
0 )
0
1
L
T
B  (1
1
 s
0 )  
0
1  0
    (1
s    
0 0

s  0
1

s
0 )

0

1
1  0
    
   

 0

500
s (s   )  

 
1
    s ( s   ) s ( s  5 . 108 )

s 
1
Ejemplo: Motor
( k ) 
2 . 123 q
1
1  1 .6 q
 1 . 792 q
1
 0 .6 q
2
2
V (k)
1
H ( z )  (1  z ) Z
V(k)
 G (s) 

 s 



1
 (1  z ) Z  2


 s (s   ) 
T=0.1
1 
    1 
 (1  z )  2  Z  



s
s  
   s
2
1
ZOH
V
R
L
Ampl

I

Encoder
(k)


z  1     z
 Tz
z





 2 
2
 T
z     z  1 ( z  1)
ze

 (T  1  e

2
 T
) z  (1  ( 1   T ) e
( z  1 )( z  e
 T
2 . 123 z  1 . 792
z  1 .6 z  0 .6
2
Polos: 1 , 0.6
)
 T
)

Relación entre los planos s y z
Z  y ( kT )   Y ( z ) 


y ( kT ) z
k
k0

Proporciona un enlace
entre resultados
obtenidos en el plano s
y en el z
Y (s) 
*

n0
z e
Plano s
s=+j
y ( nT ) e
sT
 nTs
 Y ( z ) z  e sT
Plano z
z e
sT
Relación entre los planos s y z
z e
Plano s
s=+j
sT
e
 T  j T
/T
z e
e
T
e
j T
Plano z
T
arg( z )   T
-/T
Puntos del semiplano izquierdo de s van al interior del círculo
unidad
Puntos del eje j en [-/T, /T] van a la circunferencia unidad
Puntos del semiplano derecho de s van al exterior del circulo
unidad
1
Relación entre los planos s y z
z e
s=+j
sT
e
 T  j T
/T
z e
Plano s
e
T
e
j T
Plano z
T
arg( z )   T
-/T
Las frecuencias continuas de interés están limitadas al rango
[-/T, /T]. Frecuencias mayores se superponen en el plano z
1
Relación entre los planos s y z
z e
sT
e
 T  j T
e
T
e
j T
Plano z
/T
Plano s
s=
s=j
z e
T
1
arg( z )   T
-/T
Polos en el eje real negativo de s (respuestas sobreamortiguadas
estables) se corresponden con polos en el segmento real (0,1) de z
Polos en z mas cerca de 1 dan respuestas mas lentas
Polos en el eje imaginario de s (oscilaciones mantenidas) se
corresponden con polos sobre la circunferencia unidad de z
Relación entre los planos s y z
z e
Plano s
s=+j
sT
e
 T  j T
/T
z e
e
T
e
j T
Plano z
T
arg( z )   T
-/T
Polos complejos en el semiplano izquierdo de s (respuestas
estables subamortiguadas) se corresponden con puntos en el
interior del círculo unidad en z
Polos en la parte derecha del plano s (respuestas inestables) se
corresponden con polos en el exterior del circulo unidad en z
1
Relación entre los planos s y z
z e
sT
e
 T  j T
e
T
e
j T
Plano z
/T
z e
Plano s
T
arg( z )   T
-/T
Polos estables con la misma parte real en s (respuestas con el
mismo tiempo de asentamiento) se corresponden con polos en z
situados en una circunferencia interior al circulo unidad
1
Relación entre los planos s y z
z e
sT
e
 T  j T
e
T
e
j T
Plano z
/T
z e
Plano s
T
arg( z )   T
-/T
Polos estables con la misma parte imaginaria en s (respuestas
con la misma frecuencia de oscilación) se corresponden con
polos en z situados en un radio del circulo unidad
1
Relación entre los planos s y z
z e
sT
e
 T  j T
e
T
e
j T
Plano z
/T
z e
Plano s
T
arg( z )   T
-/T
Polos estables sobre la misma pendiente en s (respuestas con el
mismo sobrepico) se corresponden con polos en z situados en
una espiral logaritmica
1
Abaco en z
Respuesta temporal
u(k)
y(kT)
t
T
T
ZOH+Proceso
T
u(k)
T
y(k)
Y (z)  H (z)U (z)
Puede utilizarse la descomposición en fracciones simples
de Y(z) y la transformada inversa de Z
Consejo: desarrollar Y(z)/z y despejar Y(z)
Para entradas conocidas puede deducirse la respuesta de
los polos y ceros de H(z)
Ejemplo deposito
q
T = 0.5
y(k ) 
 0 . 062 q
1  0 . 535 q
u
s 0 .5
Polo =
0.535
1
Respuesta a un salto en u
sobreamortiguada, de primer orden y
de tiempo de asentamiento:
z  0 . 535  e
1
u (k )
Plano z
h
F
1
s  2 ln( 0 . 535 )
3
2 ln( 0 . 535 )
Ejemplo: Motor
Respuesta del motor en posición a un pulso de 1 voltio
V(z)=1
1
2
(z ) 

V
R
L
z(z ) 
Ampl
I
HOZ
T=0.1
V(k)
1
T

 1 . 792 z
2 . 123 z
1  1 .6 z
9 . 787
z 1
z 1
Z
 0 .6 z
2
2 . 123 z  1 . 792
( z  1)( z  0 . 6 )
z  0 .6

1
7 . 664 z
z  0 .6
z  ( z )  
Z
1
 9 . 787 z 
 1  7 . 664 z 
Z
 z  1 
 z  0 . 6 
 ( kT  T )  9 . 787  7 . 664  0 . 6 
Encoder
(k)

7 . 664

9 . 787 z
1
V (z ) 
(k)
1
T
kT
Selección del periodo de muestreo
z e
sT
e
 T  j T
e
T
j T
e
Plano z
/T
Plano s
s=
1
-/T
Correspondencia
de polos y ceros
s2
( s  1)( s  4 )
Si T es muy pequeño todos
los polos y ceros se agrupan
en torno al valor 1

ze
(z  e
T
2T
)( z  e
4T
z  0 . 999 ..
( z  0 . 99 ..)( z  0 . 999 ...)
)
Problemas
numéricos
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