Tema 5 : PROBABILIDAD
PROBABILIDAD
Yolanda y Alberto están jugando
con un dado cuyas caras están
numeradasdel 1 al 6. Pero Alberto
es muy tramposo y ha cambiado el
dado por otro que tiene en todas
las caras el 6.
Cuando lance Yolanda su dado,
¿podremos predecir qué número
saldrá?.
Cuando lance Alberto su dado,
¿podremos predecir qué número
saldrá?.
El experimento de Yolanda es de azar,
puesto que no podemos predecir su
resultado.
El experimento de Alberto no es de
azar, puesto que podemos predecir su
resultado.
Un experimento es de AZAR si no se
puede predecir su resultado.
Se llaman EXPERIMENTOS
ALEATORIOS los que dan lugar a
experimentos de azar.
Ejemplos de Experimentos Aleatorios
E1 : Se lanza un dado dos veces y se anota el
número que sale en la cara superior en ambos
lanzamientos.
E2: Se analizan muestras de tumores , en un
laboratorio, para ver si son benignos o
malignos.
E3: Se cuenta el número de lápices
defectuosos fabricados diariamente.
E4: Se mide la resistencia eléctrica de un
alambre de cobre.
Al conjunto de todos los resultados que
pueden obtenerse al realizar un
experimento aleatorio se le llama
ESPACIO MUESTRAL y se denota por
S ó Ω.
* Al lanzar una moneda ¿qué es más
probable obtener?
* Al lanzar un dado ¿ es más
probable obtener un 2 ó 6?
*Si en una caja hay cuatro
fichas rojas y cuatro azules ¿es
más probable sacar una ficha
roja o una ficha azul?
Si dos resultados de un
experimento aleatorio tienen
la misma probabilidad de ocurrir
se dice que son equiprobables.
Cada subconjunto del espacio
muestral
se llama SUCESO O EVENTO y se
denota por A, B, C,....
A  
SUCESO ELEMENTAL
Es un suceso que tiene un solo elemento
Ejemplo: al lanzar un dado sale un seis
A={6}
SUCESO IMPOSIBLE
Es un suceso que no puede ocurrir
EJEMPLO: al sacar una carta de un naipe
español sale un 10 de diamante.
SUCESO SEGURO
Es aquel suceso que puede ocurrir con toda
seguridad.
EJEMPLO : De una caja que tiene sólo fichas verdes
se extrae una ficha verde.
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Los sucesos A y B son mutuamente excluyentes
si:
A  B
De un naipe español
A :”se sacan copas”
B:”se sacan oros”
A y B son SUCESOS MUTUAMENTE
EXCLUYENTES
Esto significa que :
si ocurre A, no puede ocurrir B y
si ocurre B no puede ocurrir A
Definición Clásica de Probabilidad
La probabilidad de que ocurra un suceso A,
asociado a un espacio muestral Ω, esta dado por:
N
º
de
casos
favora
al
suce
A
P
(
A
)

N
º
total
de
casos
posib
O bien:
#A
P(A) 
#
Observaciones sobre esta definición:
1º Es válida solo para espacios muestrales finitos.
2º Es válida solo para el supuesto de equiprobabilidad.
3º Esta definición se cumple cuando el experimento se
realiza un gran número de veces.
El naturalista francés Buffon lanzó una
moneda 4.040 veces. Resultando 2.048 caras,
una razón de 2.048/4.040 = 0,5069
El matemático inglés John Kerrich, mientras fue
prisionero de los alemanes durante la Segunda
Guerra Mundial, lanzó una moneda 10.000 veces.
Resultando 5.067 caras, una razón de 0,5067
Alrededor de 1900, el estadístico inglés Karl
Pearson en un acto sin precedentes lanzó una
moneda 24.000 veces. Resultando 12.012 caras,
una razón de 0,05005
Propiedades de las probabilidades
1.-
0P
(A
)
1
#
A
P
(A
)
#

A
Si
A



P
(
A
)
0
#

Si
A



P
(
A
) 
1
#

LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO
SEGURO ES UNO
LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO
IMPOSIBLE ES CERO
2.- P (A) + P(AC) =1
Ejemplo: La probabilidad de tener a un
alumno de sexo femenino en la sala de
clases es 0,55, por lo tanto la probabilidad
de que no sea de sexo femenino es 0,45.
P(M) + P(MC)= 1
3.- Si A y B son sucesos cualesquiera
asociados a un espacio muestral S.
La probabilidad de que ocurra el suceso A o
el suceso B está dado por:
P
(
A

B
)

P
(
A
)

P
(
B
)

P
(
A

B
)
Ejemplo:
En una agencia bancaria hay dos sistemas de alarma A y
B. El sistema A funciona en 7 de cada 10 atracos, B
funciona en 8 de cada 10 y los dos a la vez lo hacen 6 de
cada 10 atracos.
¿Cuál es la probabilidad de que en caso de atraco
funcione al menos una de estas alarmas?
Solución:
Se definen los sucesos
A:”El sistema A funciona”
B:”El sistema B funciona”
P
(
A
)

0
,
7P
(
B
)

0
,
8
P
(
A

B
)

0
,
6
P
(
A
U
B
)

0
,
7

0
,
8

0
,
6

0
,
9
Consideremos el siguiente ejemplo:
80 buenos
100 artículos
20 defectuosos
Se definen los sucesos:
A: El primer artículo esta defectuoso
B: El segundo artículo esta bueno
Calculemos la probabilidad de que ocurran los sucesos
Ay B. Primero considerando que el muestreo se realiza
con reposición y luego que se hace sin reposición.
Definición de Probabilidad Condicional
Sean A y B dos sucesos asociados a un
espacio muestral,
la probabilidad de que ocurra el suceso
A si ocurrió el suceso B, esta dado por:
P
(
A

B
)
P
(
A
/
B
)
,P
(
B
)

0
P
(
B
)
y la probabilidad de que ocurra el suceso B
si ocurre el suceso A, esta dado por:
P
(
A

B
)
P
(
B
/
A
)
,P
(
A
)

0
P
(
A
)
EJEMPLO:
En una ciudad el 31% de los habitantes tiene
un perro como mascota, el 54% tiene un gato
y el 12% tiene gato y perro.
Se toma al azar a un habitante de esta ciudad ,
el cual tiene un gato. ¿Cuál es la probabilidad
de que tenga un perro?.
La consecuencia más importante de la
definición de probabilidad condicional es:
P
(
A

B
)

P
(
A
)

P
(
B
/
A
)
Conocido como TEOREMA DE MULTIPLICACION
de probabilidades
Si se tienen k sucesos asociados a un
espacio muestral (A1, A2, A3,.....Ak).
La probabilidad de que ocurran los K
sucesos a la vez, esta dado por:
P
(A
A
A
...
A
1
2
3
K)
P
(A
P
(A
P
(A
A
1)
2/A
1)
3/A
1
2)
.......
P
(A
A
A
....

A
K/A
1
2
3
K

1)
EJEMPLO:
Se tienen 14 fichas rojas, 6 blancas, 3 azules.
Se definen los siguientes sucesos:
A: La primera ficha es roja.
B: La segunda ficha es azul.
C: La tercera ficha es roja.
D: La cuarta ficha es blanca.
E: La quinta ficha es roja.
Se efectúa muestreo sin reposición . Calcular
la probabilidad de que ocurran los sucesos A,
B, C, D y E, a la vez.
SUCESOS INDEPENDIENTES
Si A y B son dos sucesos asociados a
un espacio muestral , estos sucesos
son independientes si:
i) P (A/B) = P(A)
ii)P(B/A)= P(B)
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
Si se tienen k sucesos independientes asociados a
un espacio muestral (A1, A2, A3,.....Ak).
La probabilidad de que ocurran los K sucesos a la
vez, esta dado por:
P
(
A

A

A
...
A
)

P
(
A
)

P
(
A
)

P
(
A
)

.......
P
(
A
)
1
2
3
K
1
2
3
K
En el ejemplo de las fichas, calcular la
probabilidad de que ocurran los sucesos A, B, C,
D Y E , si el muestreo se realiza con reposición.
PARTICION DE UN ESPACIO MUESTRAL
Los sucesos B1, B2, B3, .....Bk , son una partición del
espacio muestral si:
i) P (Bi ∩ Bj) = 0
i  j
k

ii) i1 Bi 
iii) P(Bi) = 0
i 1,2,3...
k
Ejemplo:
Las ampolletas son fabricadas por A, B y C.
A fabrica el 35% de las ampolletas, B el 20% y C el
45%. Se sabe que el 5%, 3% y 2% de las ampolletas
son defectuosas en las fabricas A, B y C,
respectivamente.
a) Se colocan todas las ampolletas juntas y se escoge
una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la
ampolleta esté defectuosa?.
b) Se almacenan todas las ampolletas juntas , de tal
manera que no es posible distinguir la fábrica de la
cual provienen. Se toma una ampolleta al azar, que
esta defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que
provenga de la fabrica B?.
Probabilidad Total
Teorema de Bayes
• El teorema de Bayes parte de una situación
en la que es posible conocer las
probabilidades de que ocurran una serie de
sucesos Ai.
.
• A esta se añade un suceso B cuya
ocurrencia proporciona cierta información,
porque las probabilidades de ocurrencia de
B son distintas según el suceso Ai que haya
ocurrido.
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La probabilidad de que ocurran los K sucesos a la vez, esta dado por