Resolución de sistemas mediante
determinantes
 Fórmula de Cramer para sistemas de n
ecuaciones con n incógnitas
 Teorema de Rouché-Frobenius
Fórmula de Cramer de sistemas de n ecuaciones con n incógnitas
 Sea el sistema de ecuaciones lineales (de n ecuaciones con n incógnitas)
a11 . x1  a12 . x 2  a13 . x 3 
 a1 n 1  . x  n 1   a1 n . x n  b1
a 21 . x1  a 22 . x 2  a 23 . x 3 
 a 2  n 1 . x  n 1  a 2 n . x n  b 2
...............................................................................
a n 1 . x1  a n 2 . x 2  a n 3 . x 3 
 a n  n 1  . x  n 1   a nn . x n  b n
 Que podemos poner en forma matricial, como
 a11

a
 21


 a n1
a12
a 22
an2
a1 n   x1
 
a2n
x
  2
 
 
a nn   x n
  b1 
  
b
 2
  
  
  bn 

A X  B
Fórmula de Cramer de sistemas de n ecuaciones con n incógnitas
 Denominando
 a11

a 21

 A; B  


 a n1
a12
a1 n
a 22
a2n
an2
a nn
b1 

b2
  "M atriz am pliada"


bn 
 Para que este sistema tenga solución, se debe de cumplir
A 
a11
a12
a1 n
a 21
a 22
a2n
a n1
an2
a nn
 0 y R ango   A ; B   R ango  A   n
Fórmula de Cramer de sistemas de n ecuaciones con n incógnitas
 Cuya solución matricial, vendrá dada por


1
1
X  A B 

A 


A11
A12
...
A21
A22
...
...
...
...
An 1
An 2
...


A1 n   b1  

  
A2 n
b

  2  

...   

  
Ann   b n  



1
A
1
A
1
A

  A1 j b j 
j 1

n

  A2 j b j 
j 1



n

  Anj b j 

j 1

n
Fórmula de Cramer de sistemas de n ecuaciones con n incógnitas
 Que desarrollando cada uno de sus elementos será
x1 
b1
a1 2
...
a1 n
a1 1
b1
...
a1 n
b2
a 22
...
a2n
a 21
b2
...
a2n
...
...
...
...
...
...
...
...
bn
an2
...
a nn
a n1
bn
...
a nn
A
; x2 
A
..........................................................................
; xn 
a1 1
a1 2
...
b1
a 21
a 22
...
b2
...
...
...
...
a n1
an2
...
bn
A
;
Fórmula de Cramer de sistemas de n ecuaciones con n incógnitas
 Ejemplo.- Resolver el sistema de ecuaciones
x yz 3
x y z 1
x  y  z  1
 Como se cumple
1
1
1
A  1
1
 1   4;
1
1
1
1

R ango 1

1

1
1
1
1 
1


 1  R ango 1


1
 1 

1
1
1
1
1
1
3 

1 3

 1 
Fórmula de Cramer de sistemas de n ecuaciones con n incógnitas
 El sistema tendrá solución y vendrá dado por
x
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
 1;
y
 1;
z
1
Método de Cramer de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas
 Sea el sistema de ecuaciones lineales (de m ecuaciones con n incógnitas)
a11 . x1  a12 . x 2  a13 . x 3 
 a1 n 1 . x  n 1  a1 n . x n  b1
a 21 . x1  a 22 . x 2  a 23 . x 3 
 a 2  n 1 . x  n 1   a 2 n . x n  b 2
...............................................................................
a  m 1 1 . x1  a  m 1  2 . x 2  a  m 1  3 . x 3 
a m 1 . x1  a m 2 . x 2  a m 3 . x 3 
 a  m 1   n  1  . x  n 1   a  m 1  n . x n  b m 1 
 a m  n 1 . x  n 1  a m n . x n  b m
Método de Cramer de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas
 Si este sistema es compatible, existirá un número natural r  min(m,n), tal
que Rango(A) = r. Por tanto existirá una submatriz cuadrada Ar de orden r,
que podemos suponer, sin perdida de generalidad (basta con reordenar
coeficientes y variables) que dicha submatriz es:
 a11

a 21

Ar 


 a r1
a12
a 22
ar 2
a1 n 

a2n



a rr 
Eliminando las últimas m-r ecuaciones y denominando
(x1, x2, … , xr) variables principales
(xr+1, xr+2, … , xn) variables secundarias
Podemos resolver el sistema, tomando las variables secundarias como
parámetros
Método de Cramer de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas
 Es decir resolvemos el sistema
a11 . x1 
 a1 r . x r  b1  a1 r  1  . x  r  1  
a 21 . x1 
 a 2 r . x r  b2  a 2  r 1 . x  r 1 
 a1 n . x n
 a 2 n .xn
...............................................................................
a r 1 . x1 
 a 3 r . x r  bm  a m  r 1 . x  r 1 
 a mn .xn
 O en forma matricial
 a11

a
 21


 a r1
a12
a 22
ar 2
a 1 r   x1 
  
a2r
x
  2  
  
  
a rr   x r 
 b1 
 
b
 2
 
 
 br 
 a1 r  1 

 a 2  r 1


a
 r  r 1
a 1 r  2 
a 2 r  2 
arr 2
a1 n  x
 r 1 
 
a2 n  xr  2 



 

 


a rn   x n 

Método de Cramer de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas
 Aplicando el método de Cramer, y desarrollando sus elementos será
b1  a1 r  1  . x  r  1  
 a1 n . x n
a1 2
...
a1 n
b2  a 2  r 1 . x  r 1 
 a 2 n .x n
a 22
...
a2n
...
...
...
an2
...
a nn
...
x1 
bm  a m  r 1 . x  r 1 
 a mn .xn
;
A
..........................................................................
xn 
a1 1
a1 2
...
b1  a1 r  1  . x  r  1  
 a1 n . x n
a 21
a 22
...
b 2  a 2  r 1 . x  r 1 
 a 2 n .x n
...
...
...
a n1
an2
...
...
bm  a m  r 1 . x  r 1 
A
 a mn .xn
Método de Cramer de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas
 Ejemplo.- Resolver el sistema de ecuaciones
x yz 3
x y z 1
2x  2 y  2z  6
 Como se cumple
A  0;
1

R ango 1

2

1
1
2
1 
1


 1  R ango 1


2
2 

1
1
1
1
2
2
3

1 2

6 
 Es un sistema linealmente independiente y su solución dependerá de un
parámetro, y dado que
a11
a13
a 21
a 23

1 1
1 1
0
Método de Cramer de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas
 Es equivalente a resolver el sistema
x z  3 y
x  z  1 y
 Que aplicando la regla de Cramer, obtendremos
x
3 y
1
1
3 y
1 y
1
1
1 y
1
1
1
1
 2  y;
z
1
1
1
1
 1;
y
Teorema de Rouché-Frobenius
 Sea el sistema de ecuaciones lineales (de n ecuaciones con n incógnitas)
a11 . x1  a12 . x 2  a13 . x 3 
 a1 n 1  . x  n 1   a1 n . x n  b1
a 21 . x1  a 22 . x 2  a 23 . x 3 
 a 2  n 1 . x  n 1  a 2 n . x n  b 2
...............................................................................
a n 1 . x1  a n 2 . x 2  a n 3 . x 3 
 a n  n 1  . x  n 1   a nn . x n  b n
 Que podemos poner en forma matricial, como
 a11

a
 21


 a n1
a12
a 22
an2
a1 n   x1
 
a2n
x
  2
 
 
a nn   x n
  b1 
  
b
 2
  
  
  bn 

A X  B
Teorema de Rouché-Frobenius
 Es compatible  rango A = rango (A,B) .
El rango (A,B) coincide con el número máximo de vectores linealmente
independientes de (A,B) . Además, en el caso de que sea un sistema
compatible, será
Compatible determinado si Rango A = n
Compatible indeterminado si Rango A < n
Teorema de Rouché-Frobenius
 Ejemplo.- Analizar los valores del parámetro a para que tenga solución real
el sistema
x — 2 y  —1
2x  y  3
3x — 2 y  a
 Como Rango A = 2 y Determinante (A,B) = 5 a – 5
1) Si a = 1,
Rango A = Rango (A,B) = 2
Y el sistema es compatible determinado de solución (x,y) = (1,1)
2) Si a  1,
Rango A = 2 < Rango (A,B) = 3
Y el sistema es incompatible y el sistema no tiene solución
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
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lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/matema
ticas.htm)
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