Sistemas continuos
Francisco Carlos Calderón
PUJ 2010
Objetivos


Definir las propiedades básicas de los
sistemas continuos
Analizar la respuesta en el tiempo de un SLIT
continuo
Definición y clasificación

Puede verse un sistema como un proceso
que transforma señales de entrada en otras a
la salida, mediante la interconexión de
componentes, dispositivos o subsistemas.
Sistemas en tiempo continuo
xt 
Sistemas en tiempo discreto
y t 
H
x(t )
x[n]
H
H
y (t )
y[n]
Clasificación de los sistemas en tiempo
continuo

Sistemas lineales y no lineales:
Un sistema lineal es aquel que cumple la
propiedad de superposición.
1. La respuesta a x2(t)+ x1(t) es y1(t)+ y2(t)
(t) esay
(t)
1
1
2. La respuesta a ax
Conocidas como las propiedades de aditividad
y escalamiento u Homogeneidad
Clasificación de los sistemas en tiempo
continuo

Si el sistema es lineal, una entrada que sea
cero todo el tiempo resulta en una salida que
sea cero todo el tiempo.
x
(
t
)

y
(
t
)
0

0
x
(
t
)

0
y
(
t
)

0
Sistemas lineales “deben cumplir”
x1 t 
H
a

x2 t 
H
ay1 t
by 2 t
b
Que sean iguales
x1 t 
a
x3 t 

x2 t 
b
H
y3 t 
Clasificación de los sistemas en tiempo
continuo



Sistemas con y sin memoria
Sistema SIN memoria: Es aquel cuya salida para
cada valor de la variable independiente en un
tiempo dado depende solamente de la entrada en
ese mismo momento.
Ej yt   xt  2  x2  t 
Si entrada es xt0  la salida es: xt 0  2  x2  t 0  . De
donde se aprecia que la salida depende de
entradas a tiempos diferentes de t0. Por lo tanto el
sistema es Con Memoria.
Clasificación de los sistemas en tiempo
continuo


Invertibilidad y sistemas inversos
Sistema Invertible: Si un sistema es invertible
debe existir un sistema inverso, tal que al
interconectarlo en cascada con el sistema
original produce una salida igual a la entrada
del primer sistema.
xt 
y t 
xt 
Clasificación de los sistemas en tiempo
continuo


Causalidad
Sistema Causal: Si su salida en cualquier
instante de tiempo depende sólo de los valores
de la entrada en el momento presente y en el
pasado. (No-anticipativo).

CAUSAL:

NO-CAUSAL:
y t   xt 
y t   x t 
Clasificación de los sistemas en tiempo
continuo




Estabilidad
Sistema Estable: Es aquel que a entradas
acotadas produce salidas que no divergen.
ESTABLE:
sen(t).
NO-ESTABLE:
1/t ,
Clasificación de los sistemas en tiempo
continuo


Invariante en el tiempo
Sistema Invariante en el tiempo: Si el
comportamiento y características del mismo
están fijos en el tiempo.
Sistemas Invariantes “deben cumplir”
x1 t 
y1 t 
H
 t0
y1 t  to 
Que sean iguales
x1 t 
 t0
x2 t 
H
y2 t 
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
“continuos y discretos”



Este tipo de sistemas son conocidos como
SLIT o LTI(ingles).
Muchos fenómenos físicos pueden
modelarse mediante estos sistemas.
El análisis matemático del comportamiento
de estos sistemas puede desarrollarse a
través de procedimientos directos.
SLIT discretos.
Las señales discretas pueden
representarse por medio de una secuencia
de impulsos, aplicando la propiedad:






x
n


n

a

x
a


n

a
Dada una señal discreta x[n]
x[n] puede escribirse como una
suma de impulsos desplazados
  












x
n

...

x

1

n

1

x
0
n

x
1

n

1
...




x
n
x
kn

k

k


Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
discretos



 [n  k ]



H
H







hk [n]



x[k ]



x
n
x
kn

k

k



y[n]



y
n
x
kh
n
k
k

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
discretos
El sistema además de ser lineal
también es invariante en el
tiempo entonces:
 [n  k ]
H
hk [n]
h
n
]h
nk]
k[
0[
x1[n]
 t0
x2 [ n ]
H
y 2 [ n]
 x [ n]
1
H
y1[n]
 t0
y1[n  k ]
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
discretos



y
n
x
kh
n
k
k




n

y
n
x
kh

k

0
k


Este resultado se conoce como la suma de convolución “suma de
superposición”
También representada como:

y
nx
nh
n
Un sistema SLIT discreto puede caracterizarse totalmente con la
respuesta al impulso unitario.
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
continuos
De una manera parecida al caso discreto, se puede encontrar una
caracterización para los SLIT en término de su respuesta al impulso
unitario.
La salida y(t) puede verse como una
combinación lineal de respuestas a
las señales impulso







x
t
x
k


t
k





k









x
t

lím
x
k

t

k






0
k


 (t   )
h(t , )
H
Y como mi sistema es invariante en
el tiempo se tiene que:

h
(t,)h
(t
)


hk [n]  h0 [n  k ]
tx

x
t
d

Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
continuos
−∞
y t =∫ x
h t,
d
y t =∫ x
h t−
d
∞
−∞
∞
Este resultado se conoce como la integral de convolución
También representada como:
y(t)x(t)h
(t)
Un sistema SLIT continuo puede caracterizarse totalmente con la
respuesta al impulso.
Propiedades de los Sistemas Lineales e
invariantes en el tiempo
Propiedad distributiva










y
n

x
n
*
h
n

x
n
*
h
n
1
2






y
n

x
n
*
h
n

h
n
1
2
Propiedades de los Sistemas Lineales e
invariantes en el tiempo
Propiedad asociativa






y
n

x
n
*
h
n
*
h
n
1
2






y
n

x
n
*
h
n
*
h
n
1
2
Propiedades de los Sistemas Lineales e
invariantes en el tiempo
Propiedad conmutativa



y
nx
n*
h
n






y
n

x
n
*
h
n
*
h
n
1
2



y
nh
n*x
n






y
n

x
n
*
h
n
*
h
n
2
1
Propiedades de los Sistemas Lineales e
invariantes en el tiempo
SLIT con y sin memoria.
Sistema SIN memoria: Es aquel cuya salida
para cada valor de la variable independiente
en un tiempo dado depende solamente de la
entrada en ese mismo momento.
En el caso discreto esto se cumple si:
h[n]  0 para n  0
Por lo que la suma de convolución se reduce a:
y[n]  Kx[n]
Donde K= h[0]
Propiedades de los Sistemas Lineales e
invariantes en el tiempo
Causalidad para los SLIT
Si su salida en cualquier instante de tiempo depende sólo de los valores
de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).
La respuesta impulso de un SLIT causal discreto, basándose en la
definición debe ser de la forma:
h0  0 para n < 0 que a su vez implica:



n

y
n
x
kh

k

0
k

0
Propiedades de los Sistemas Lineales e
invariantes en el tiempo
Invertibilidad de los SLIT
Si el sistema es invertible, posee un sistema inverso,
de tal forma que si el sistema es un SLIT se cumple
que:
Figura 38. SLIT invertible y su sistema inverso
Es decir, para el caso continuo:
h
t h
t 
t
1
2
De forma análoga se puede concluir una expresión
para el caso discreto.
Propiedades de los Sistemas Lineales e
invariantes en el tiempo
Estabilidad para los SLIT
Aquel que a entrada limitadas en amplitud produce salidas limitadas
en amplitud
Puede encontrarse “ver Oppenheim pag 113” que el sistema es
estable si la respuesta al impulso unitario es absolutamente sumable

hk
k
Referencias




Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman.
S y Srinath. M. 2ª edición cap 2
Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 1
Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ
Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ
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