14.4 Planos tangentes
Aproximación lineal
Diferenciabilidad
Cálculo Vectorial
Planos tangentes
• Sea f con derivadas parciales continuas.
Una ecuación del plano tangente a la
superficie z  f ( x , y ) en el punto P ( a , b , c )
es:
z  c  f x ( a , b )( x  a )  f y ( a , b )( y  b )
Aproximación lineal
• Sea f con derivadas parciales continuas. La
aproximación lineal de z  f ( x , y ) en el punto
P ( a , b , c ) es:
L ( x , y )  f ( a , b )  f x ( a , b )( x  a )  f y ( a , b )( y  b )
es decir la aproximación lineal es una función
lineal cuyo gráfico es el plano tangente.
f ( x, y )  L ( x, y )
Diferenciabilidad
• f es diferenciable en
expresar como
(a, b)
si
z
se puede
 z  f x ( a , b )  x  f y ( a , b )  y   1 x   2  y
donde
 1  0,  2  0
cuando
(  x,  y )  (0, 0)
Teoremas (Diferenciabilidad)
• Teorema 1. Sea f con derivadas parciales
continuas en una vecindad de ( a , b ) ,
entonces f ( x , y ) es diferenciable en ( a , b )
• Teorema 2. Sea f diferenciable en
entonces f es continua en ( a , b )
(a, b)
La diferencial total
dz 
f
x
dx 
f
y
dy
z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y )
 z  dz  
x  y
 z  dz
2
2
La función
es continua en (0,0)
xy

( x , y )  ( 0 ,0 )

2
2
 x  y
 0
( x , y )  ( 0 ,0 )

La función
es diferenciable en (0,0)
xy

( x , y )  ( 0 ,0 )
 2
2
 x  y
 0
( x , y )  ( 0 ,0 )
Si z  x  xy  3 y
entonces dz es:
2
2
y (x,y) cambia de (1,2) a (1.05, 2.1)
Muchas Gracias
Descargar

Slide 1