f 
Unidad I
Graficación de Funciones
x 
en R3
f 

y 
Presentado Por:
Ing. Julio Cubillán Msc






Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Plataforma Temática
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
f 

x 
f 

y 
8.
Objetivos.
Sistema de Coordenadas Tridimensionales.
Ubicación de un punto en el espacio.
Planos perpendiculares a los Ejes.
Planos.
Superficies Cilíndricas.
Superficies Cuadráticas.
• Elipsoide /Esfera.
• Hiperboloide de una Hoja
• Hiperboloide de dos Hojas
• Cono.
• Paraboloide.
• Paraboloide Hiperbólico (Silla de Montar)
Bibliografía y Webgrafía.
Ing. Julio Cubillan Msc






Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Objetivos
f 
varias variables.
x 
f 
de ejes cartesiano

y 
Objetivo de la Unidad




puntos,


Resolver problemas matemáticos relativos a límites,
continuidad y cálculo diferencial de una función de
Objetivo de la Clase.
Dada la ecuación respectiva, graficar en un sistema
de tres dimensiones,
planos, rectas y superficies cuadráticas
Ing. Julio Cubillan Msc
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Sistema de Coordenadas Tridimensionales.
f 

x 
f 

y 
Z
Ejes Perpendiculares
Ing. Julio Cubillan MscX
Y
Origen






Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Sistema de Coordenadas Tridimensionales.
f 

x 
f 

y 
Z
VI
V
II
I
III
VII
X
Ing. Julio Cubillan Msc
IV
Y
Gráfico 3D generado
en Archim V. 2.1






Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ubicación de un punto en el espacio.
f 

x 
f 

y 
Ing. Julio Cubillan MscX
Z
Z0
(X0 Y0 Z0)
Y0
Y
X0






Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ubicación de un punto en el espacio.
f 

x 
f 

y 
(1,6,0)
(3,3,-2)
(-2,5,4)
(2,-5,4)
Ing. Julio Cubillan Msc
Fuente: Larson Vol 2






Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ubicación de un punto en el espacio.
f 

x 
f 

y 
(1,6,0)
(3,3,-2)
(-2,5,4)
(2,-5,4)
Ing. Julio Cubillan Msc
Fuente: Larson Vol 2






Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ubicación de un punto en el espacio.
f 

x 
f 

y 
(1,6,0)
(3,3,-2)
(-2,5,4)
(2,-5,4)
Ing. Julio Cubillan Msc
Fuente: Larson Vol 2






Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ubicación de un punto en el espacio.
f 

x 
f 

y 
(1,6,0)
(3,3,-2)
(-2,5,4)
(2,-5,4)
Ing. Julio Cubillan Msc
Fuente: Larson Vol 2






Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Ubicación de un punto en el espacio.
f 

x 
f 

y 
(1,6,0)
(3,3,-2)
(-2,5,4)
(2,-5,4)
Ing. Julio Cubillan Msc
Fuente: Larson Vol 2






Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Planos Perpendicularles a los Ejes.
Z
f 

x 
f 

y 
Ecuación: Z=3
Z=3 es // XY
Z=3 es ┴ Z
Ing. Julio Cubillan Msc
3
Y
-3
Ecuación: Z=-3
X






Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Planos Perpendicularles a los Ejes.
Z
f 

x 
f 

y 
Ecuación: X=-2
X=-2 // YZ
X=-2 ┴ X
Ing. Julio Cubillan Msc
Traza
-2
Y
Ecuación:y=3
Y=3 // ZX
Y=3 ┴Y
X






Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Z
Ecuación General:
af b c  1

x 
f 

y 
x
y
Planos.
z
c
Traza con YZ
y
b
Traza con XZ
x
a

z
z
1
c
b
1
Y
c
Ing. Julio Cubillan Msc

a
Traza con XY
X
x
a

y
b
1






Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Planos.
f 

x 
f 

y 
Ejemplo 1: Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica.
Ecuación: 10 x  15 z  30  6 y
Solucion:
1) Cortes
• Con X (Y=0, Z=0)
• 10x=30  x=3//
• Con Y (X=0, Z=0)
• 0=30+6y  y=-5//
• Con Z (X=0, Y=0)
• 15z=30  z=2//
2) Trazas
• Con XY ( Z=0)
• 10x=30+6y  10x-6y=30//
• Con YZ (X=0)
• 15z=30+6y  15z-6y=30//
• Con XZ (Y=0)
• 10x+15z=30//
Ing. Julio Cubillan Msc
Z
15 z  6 y  30
2
Y
-5
10 x  15z  30
10 x  6 y  30
3
X






Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Superficies Cilíndricas.
f 

x 
f 

y 
Ing. Julio Cubillan Msc






Fuente: Larson Vol 2
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Superficies Cilíndricas.
f 

x 
f 

y 
Ejemplo 2: Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica.
2
x
Z
Ecuación: z   4
4
Solución:
La curva directriz está en el plano XZ
Las rectas generatrices son // Y
Análisis de la directriz:
Cortes con Z (x=0)
z  4
Cortes con X (z=0)
0
x
2
4
x  4
4
X
Vértice:
xv 
zv 
b
2a
0
2
4
4






Y
xv 
0
0
2
zv  4
Ing. Julio Cubillan Msc
Gráfico 3D generado
en Archim V. 2.1
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Superficies Cilíndricas.
f 

x 
f 

y 
Ejemplo 2: Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica.
2
x
Z
Ecuación: z   4
4
Solución:
La curva directriz está en el plano XZ
Las rectas generatrices son // Y
Análisis de la directriz:
Cortes con Z (x=0)
z  4
Cortes con X (z=0)
0
x
2
4
x  4
4
X
Vértice:
xv 
zv 
b
2a
0
2
4
4






Y
xv 
0
0
2
zv  4
Ing. Julio Cubillan Msc
Gráfico 3D generado
en Archim V. 2.1
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Superficies Cuadráticas.
f 

x 
f 

y 
Ing. Julio Cubillan Msc






Fuente: Larson Vol 2
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Superficies Cuadráticas.
f 

x 
f 

y 
Ing. Julio Cubillan Msc






Fuente: Larson Vol 2
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Superficies Cuadráticas.
f 

x 
f 

y 
Ing. Julio Cubillan Msc






Fuente: Larson Vol 2
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Superficies Cuadráticas.
f 

x 
f 

y 
Ing. Julio Cubillan Msc






Fuente: Larson Vol 2
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Superficies Cuadráticas.
f 

x 
f 

y 
Ing. Julio Cubillan Msc






Fuente: Larson Vol 2
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Superficies Cuadráticas.
f 

x 
f 

y 
Ing. Julio Cubillan Msc






Fuente: Larson Vol 2
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Superficies Cuadráticas.
f 

x 
f 

y 
Ing. Julio Cubillan Msc






Fuente: Larson Vol 2
Unidad I – Graficación de Funciones en R3
Bibliografía / Webgrafía.
f 

x 
f 

y 
Larson, R. Hostetler, R. Cálculo y Geometría Analítica.Volumen 2.
Sexta Edición. McGrawHill.
Larson, R. Hostetler, R. Cálculo y Geometría Analítica.Volumen 1.
Sexta Edición. McGrawHill.
Leithold L (1989). El Cálculo. Séptima Edición. Oxford University Press.
Ing. Julio Cubillan Msc






Unidad I – Graficación de Funciones en R3
6. Las Funciones Cuadráticas
Puntos Notables
Cortes con X (Y=0)
f 

x 
f 

y 
f ( x)  x  x  6
2
a0
Cortes con Y (X=0) (c)
Máximos y Mínimos (Y’ =0)
Ecuación General
y  ax  bx  c
x
2
Fórmulas
 b  b  4ac
xv 
2
b
2a
2a
Ing. Julio Cubillan Msc
f ( x)   x  4
2
Gráfico generado en
a  0 Graphmatica V20f






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