Capítulo 31B – Corrientes
transitorias e inductancia
Presentación PowerPoint de
Paul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State University
©
2007
Objetivos: Después de completar
este módulo deberá:
• Definir y calcular la inductancia en
términos de una corriente variable.
• Calcular la energía almacenada en un
inductor y encontrar la densidad de
energía.
• Discutir y resolver problemas que
involucran aumento y reducción de
corriente en capacitores e inductores.
Autoinductancia
Considere una bobina conectada a una resistencia R y
voltaje V. Cuando se cierra el interruptor, el aumento de
corriente I aumenta el flujo, lo que produce una fuerza
contraelectromotriz interna en la bobina. El interruptor
abierto invierte la fem.
I creciente
R
Ley de Lenz:
La fcem (flecha
roja)  debe
oponerse al
cambio en
flujo:
I decreciente
R
Inductancia
La fuerza contraelectromotriz (fcem) E inducida en
una bobina es proporcional a la tasa de cambio de la
corriente DI/Dt.
E  L
Di
Dt
;
L  inductancia
inductance
Una inductancia de un henry
(H) significa que el cambio de
corriente a la tasa de un
ampere por segundo inducirá
una fcem de un volt.
Di/ Dt creciente
R
1 H 
1V
1 A /s
Ejemplo 1: Una bobina de 20 vueltas tiene
una fem inducida de 4 mV cuando la
corriente cambia a la tasa de 2 A/s. ¿Cuál es
la inductancia?
Di/ Dt = 2 A/s
E  L
4 mV
R
L
Di
Dt
;
 (  0.004 V )
2 A/s
L
E
Di / Dt
L = 2.00 mH
Nota: Se sigue la práctica de usar i minúscula
para corriente variable o transitoria e I
mayúscula para corriente estacionaria.
Cálculo de inductancia
Recuerde dos formas de encontrar E:
E  N
D
Dt
E  L
Di
Di/ Dt creciente
Dt
R
Al igualar estos términos se obtiene:
N
D
Dt
 L
Di
Dt
Por tanto, la inductancia L
se puede encontrar de:
Inductancia L
L
N
I
Inductancia de un solenoide
Solenoide
B
l
El campo B que crea una
corriente I para longitud l es:
B 
0 NI
y  = BA
R
Inductancia L
 
 0 N IA
Al combinar las últimas dos
ecuaciones se obtiene:
L
N
I
0N A
2
L
Ejemplo 2: Un solenoide de 0.002 m2 de
área y 30 cm de longitud tiene 100 vueltas.
Si la corriente aumenta de 0 a 2 A en 0.1 s,
¿cuál es la inductancia del solenoide?
Primero se encuentra la inductancia del solenoide:
0 N A
2
L

(4 x 10
-7 T  m
A
2
2
)(100) (0.002 m )
0.300 m
l
L = 8.38 x 10-5 H
A
R
Nota: L NO depende de la
corriente, sino de parámetros
físicos de la bobina.
Ejemplo 2 (Cont.): Si la corriente en el
solenoide de 83.8 H aumentó de 0 a 2 A en
0.1 s, ¿cuál es la fem inducida?
l
L = 8.38 x 10-5 H
A
R
E  L
 (8.38 x 10 H )(2 A - 0)
-5
E 
0.100 s
Di
Dt
E   1 .6 8 m V
Energía almacenada en un inductor
En un instante cuando la corriente
cambia a Di/Dt, se tiene:
E  L
Di
Dt
;
P  Ei  Li
R
Di
Dt
Dado que la potencia P = trabajo/t, Trabajo = P Dt. Además,
el valor promedio de Li es Li/2 durante el aumento a la
corriente final I. Por tanto, la energía total almacenada es:
Energía potencial
almacenada en
inductor:
U 
1
2
Li
2
Ejemplo 3: ¿Cuál es la energía potencial
almacenada en un inductor de 0.3 H si la
corriente se eleva de 0 a un valor final de 2 A?
U 
L = 0.3 H
R
I=2A
U 
1
2
1
2
Li
2
(0.3 H )(2 A )  0.600 J
2
U = 0.600 J
Esta energía es igual al trabajo realizado al
llegar a la corriente final I; se devuelve
cuando la corriente disminuye a cero.
Densidad de energía (opcional)
La densidad de energía u es la
energía U por unidad de volumen V
l
A
R
0N A
2
L
; U 
1
2
LI ; V  A
2
Al sustituir se obtiene u = U/V :
 0N A  2

I ;


2
U 
1
2
 0 N 2 AI 2 


2
U


u 

V
A
0N I
2
u 
2
2
2
Densidad de energía (continúa)
0N I
2
Densidad
de energía: u 
l
A
2
2
2
Recuerde la fórmula para el campo B:
R
B 
0 NI

NI
2
2

0  NI 
0 B 
u
 2

 
2 
2  0 

u 
B

2
20
B
0
Ejemplo 4: La corriente estacionaria final en un
solenoide de 40 vueltas y 20 cm de longitud es 5
A. ¿Cuál es la densidad de energía?
B
0 NI
(4 x 10 )(40)(5 A)
-7

A
0.200 m
B = 1.26 mT
u 
B
2
20
R
-3

(1.26 x 10 T )
2(4 x 10
u = 0.268 J/m3
l
2
-7 T  m
A
)
La densidad de energía
es importante para el
estudio de las ondas
electromagnéticas.
El circuito R-L
Un inductor L y un resistor
R se conectan en serie y el
interruptor 1 se cierra:
V – E = iR
V  L
E  L
Di
Dt
 iR
Di
V
S1
S2
Dt
R
i
L
E
Inicialmente, Di/Dt es grande, lo que hace
grande la fcem y la corriente i pequeña. La
corriente aumenta a su valor máximo I cuando
la tasa de cambio es cero.
Aumento de corriente en L
i
V
(1  e
 ( R / L )t
)
R
En t = 0, I = 0
En t = , I = V/R
i
I
0.63 I
Aumento de
corriente
Constante de tiempo t:
t 
L
t
Tiempo, t
R
En un inductor, la corriente subirá a 63% de su
valor máximo en una constante de tiempo t = L/R.
Reducción R-L
Ahora suponga que S2 se cierra
después de que hay energía en
el inductor:
Di
E  L
E = iR
Dt
Para reducción de
corriente en L:
L
Di
Dt
V
S1
S2
R
i
L
 iR
E
Inicialmente, Di/Dt es grande y la fem E que activa
la corriente está en su valor máximo I. la corriente
se reduce a cero cuando la fem se quita.
Reducción de corriente en L
i
V
e
i
 ( R / L )t
I
R
En t = 0, i = V/R
En t = , i = 0
Reducción de
corriente
0.37 I
Constante de tiempo t:
t 
L
t
Tiempo, t
R
En un inductor, la corriente se reducirá a 37% de
su valor máximo en una constante de tiempo t.
Ejemplo 5: El circuito siguiente tiene un inductor
de 40 mH conectado a un resistor de 5 W y una
batería de 16 V. ¿Cuál es la constante de tiempo
y la corriente después de una constante de
tiempo?
16 V
t 
L
R
5W
L = 0.04 H
R

0.040 H
5W
Constante de tiempo: t = 8 ms
i
V
(1  e
 ( R / L )t
)
R
Después del
tiempo t:
i = 0.63(V/R)
 16 V 
i  0.63 

 5W 
i = 2.02 A
El circuito R-C
Cierre S1. Entonces, conforme la
carga Q se acumula en el
capacitor C, resulta una fcem E:
V – E = iR
E 
Q
C
V 
Q
C
 iR
V
S1
S2
C
R
i
E
Inicialmente, Q/C es pequeño, lo que hace
pequeña la fcem y la corriente i es un máximo I.
Conforme la carga Q se acumula, la corriente se
reduce a cero cuando Eb = V.
Aumento de carga
t = 0, Q = 0, Qmax
V 
 iR
0.63 I
I = V/R
C
q
Capacitor
Q
t =  , i = 0, Qm = C V
Q  CV (1  e
 t / RC
)
Constante de tiempo t:
t  RC
Aumento de
carga
t
Tiempo, t
En un capacitor, la carga Q
aumentará a 63% de su
valor máximo en una
constante de tiempo t.
Desde luego, conforme la carga aumenta, la
corriente i se reducirá.
Reducción de corriente en C
i
V
e
i
 t / RC
R
Capacitor
I
En t = 0, i = V/R
En t = , i = 0
Reducción
de corriente
0.37 I
Constante de tiempo t:
t  RC
t
Tiempo, t
Conforme aumenta la carga Q
La corriente se reducirá a 37% de su valor máximo
en una constante de tiempo t; la carga aumenta.
Descarga R-C
Ahora suponga que se cierra
S2 y se permite la descarga
de C:
E = iR
Para reducción
de corriente
en L:
E 
Q
C
Q
C
V
S1
S2
C
R
i
 iR
E
Inicialmente, Q es grande y la fem E que activa la
corriente está en su valor máximo I. La corriente
se reduce a cero cuando la fem se quita.
Reducción de
corriente
i
V
e
 t / RC
I
i
Capacitor
Current
Reducción
de Decay
corriente
t  RC
R
En t = 0, I = V/R
En t = , I = 0
Conforme la corriente se reduce,
la carga también se reduce:
0.37 I
t
Q  C Ve
Tiempo, t
 t / RC
En un capacitor que se descarga, tanto corriente
como carga se reducen a 37% de sus valores
máximos en una constante de tiempo t = RC.
Ejemplo 6: El circuito siguiente tiene un capacitor de
4 F conectado a un resistor de 3 W y una batería de
12 V. El interruptor está abierto. ¿Cuál es la corriente
después de una constante de tiempo t?
t = RC = (3 W)(4 F)
12 V
3W
C = 4 F
Después del
tiempo t:
i = 0.63(V/R)
R
Constante de tiempo: t = 12 s
i
V
(1  e
 t / RC
)
R
 12 V 
i  0.63 

 3W 
i = 2.52 A
Resumen
E  L
Di
Dt
0N A
2
L
;
l
inductancia
L  inductance
A
L
Energía potencial,
densidad de energía:
N
R
I
U 
1
2
Li
2
u 
B
2
20
Resumen
i
V
(1  e
 ( R / L )t
I
)
i
Aumento de
corriente
0.63I
R
t 
L
Inductor
t
Tiempo, t
R
En un inductor, la corriente aumentará a 63% de su
valor máximo en una constante de tiempo t = L/R.
La corriente inicial es cero debido al rápido cambio de
corriente en la bobina. Eventualmente, la fem inducida se
vuelve cero, lo que resulta en la corriente máxima V/R.
Resumen (Cont.)
i
V
e
 ( R / L )t
R
La corriente inicial,
I = V/R, se reduce
a cero conforme se
disipa la fem en la
bobina.
I
i
Inductor
Current
Reducción
deDecay
corriente
0.37I
t
Tiempo, t
La corriente se reducirá a 37% de su valor
máximo en una constante de tiempo t = L/R.
Resumen (Cont.)
Cuando se carga un capacitor, la carga se eleva
a 63% de su máximo mientras la corriente
disminuye a 37% de su valor máximo.
Qmax
q
Capacitor
I
Aumento de
carga
0.63 I
t
Q  CV (1  e
)
Capacitor
Reducción
Current
de
carga
Decay
0.37 I
Tiempo, t
 t / RC
i
t  RC
Tiempo, t
t
i
V
R
e
 t / RC
CONCLUSIÓN: Capítulo 31B
Corriente transitoria - Inductancia
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Inductance