Cap. 3 Il piano
Cartesiano
Retta e punto
Consideriamo una retta r e un
punto P su di essa
Se la retta è formata da un
numero infinito ed illimitato di
punti allora se inserisco un
punto di fatto la divido in due
parti
Si viene a formare un nuovo
ente che necessita di nome e
definizione (che dipenderà
strettamente dall’operazione
Semiretta
Semiretta orientata
Una semiretta si dice orientata
se su di essa è stato fissato un
verso positivo
O
r
Semiretta orientata
Verso
positivo
Semiretta orientata e graduata
Graduare una semiretta orientata significa far
corrispondere a ciascun punto della semiretta un valore
Assegnare il valore 0 al punto di origine è relativamente
semplice
Ma per proseguire come si può fare, non posso mettere
dei numeri a caso
Mi serve un segmento da utilizzare come unità di
misura (AC =1)
Faccio coincidere l’estremo A con O e dove cade C
assegno il valore 1
Si dice che il punto C è l’immagine di 1
Adesso ho uno strumento per assegnare a ciascun
punto della semiretta un valore ripetendo
consecutivamente l’unità di misura
Se la ripeto 2 volte troverò il punto D che sarà
l’immagine di 2
3 volte il punto 3 e così via
Corrispondenza biunivoca
La corrispondenza biunivoca è una
relazione che fa corrispondere a
ciascun elemento di un’insieme A
(es. i punti di una semiretta) un
elemento dell’insieme B (es. i
numeri reali) e viceversa (a ciascun
elemento dell’insieme B
corrisponde un solo elemento
dell’insieme A)
Esiste una corrispondenza
biunivoca fra i punti della
semiretta ed il loro valore
A ciascun punto della semiretta
corrisponde un numero reale e
ogni numero reale ha la sua
immagine in un punto della
semiretta
Come ottenere la stessa cosa
sul piano
Per ottenere una corrispondenza
biunivoca fra punti delle retta ed il loro
valore è bastata una retta orientata
Come possiamo fare la stessa cosa su di
un piano?
Può bastare una sola retta?
Pensate a quante dimensioni ha un piano
e a quante ne ha una retta
Il piano cartesiano
y
o
In realtà, visto che ci troviamo in prima media, non
considereremo tutto il piano cartesiano ma solo un
quadrante, più che sufficiente per i nostri scopi
Prendiamo in considerazione un piano a e due semirette
orientate e graduate aventi un origine in comune e
perpendicolari fra loro
Due semirette sono perpendicolari se formano un angolo
di 90°
Solitamente si indica con O l’origine delle semirette, con
x la semiretta orizzontale e con la y la semiretta verticale
Pertanto il riferimento cartesiano è chiamato anche Oxy x
Se le semirette sono graduate significa che è stata
fissata un’unità di misura generalmente (ma non
necessariamente) identica per i due assi
Si dice asse delle ascisse l’asse x
Si dice asse delle ordinate l’asse y
Ma a cosa serve tutto questo?
Consideriamo un punto P del piano
Dal punto P tracciamo la retta verticale r
Questa incontra l’asse x nel
punto E
Come si vede hanno questo
valore tutti i punti della retta r
perciò il punto P non può essere
individuato solo da questo valore
Asse delle ordinate
E è l’immagine di 2 e
prende il nome di ascissa
del punto P
r
Asse delle scisse
Mi serve un modo per trovare fra gli infiniti punti che
costituiscono la retta r che hanno ascissa E quello che a me
interessa cioè P
Tracciamo ora la retta orizzontale passante per P (retta s)
Essa incontra l’asse y nel punto F
Il punto F è l’immagine di 2 sull’asse
delle ascisse e prende il nome di
r
ordinata del punto P
A questo punto il gioco è fatto, il
punto P risulta determinato senza
equivoci dai due numeri di cui E ed
F costituiscono l’immagine
E ed F prendono il nome di
coordinate cartesiane del punto P
e si scrive P (E;F) oppure P(2;2)
Per convenzione si mette prima il valore dell’ascissa e poi quello
Una nuova corrispondenza
biunivoca
Esiste una corrispondenza biunivoca
fra i punti del piano e una coppia di
coordinate cartesiane
… ma anche gli assi hanno le loro
coordinate
Consideriamo il punto G
Anch’esso fa parte del piano perciò
avrà la sua coppia di coordinate
L’ascissa è 1
Ripetiamo il procedimento
precedente, se tracciamo la retta
orizzontale passante per G troviamo
il punto O di coordinate (0;0) come si
conviene ad un punto che costituisce
l’origine degli assi
Questo ci porta alla conclusione che tutti i punti situati
sull’asse delle ascisse (asse x) avranno l’ordinata 0
Il punto G avrà coordinate (1;0) – ricordiamo che per
convenzione si mette prima l’ascissa e poi l’ordinata-
Consideriamo ora il punto H
Trovandosi sull’asse y avrà
come ascissa la stessa del
punto cioè 0
Tutti i punti che si trovano
sull’ordinata hanno per
ascissa il valore 0
Le coordinate del punto H
saranno H(0;4)
Trovare i punti conoscendo le
coordinate
trovare il punto P (4;2)
Dal punto di ascissa 4 (asse x)
traccio una retta verticale
Dal punto di ordinata 2 (asse y)
traccio una retta orizzontale
Vedo che si incontrano in un
punto
Quello è il punto P cercato
Punto Q (3;5)
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I piani cartesiani