VOLUMEN Y
SUPERFICIE DE
FIGURAS EN EL
ESPACIO
CONCEPTOS
PRIMITIVOS EN EL
ESPACIO GEOMÉTRICO

Ángulos diedros
Se llama ángulo diedro a la abertura comprendida entre dos planos que
se cortan. Los planos que forman los diedros se llaman caras. El
ángulo diedro se designa por dos letras de la arista, o bien por cuatro
letras: dos de la arista y una de cada cara (figura 1).
Todo ángulo diedro se mide por medio de su ángulo rectilíneo, el cual está
formado por las perpendiculares a la arista en un punto cualquiera de ella
y situadas en cada plano del diedro (figura 2).
POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PLANOS.
•
planos paralelos: Son aquellos que no tienen punto en común
alguno
• planos que se cortan: Son aquellos que tienen infinitos puntos
comunes situados en línea recta, llamada ésta, intersección entre
los planos

Planos perpendiculares: Son aquellos que forman un
diedro recto. El ∡ BAC es el ángulo rectilíneo y, por lo
tanto, PQ cuando ∡ BAC = 90 .
COORDENADAS CARTESIANAS EN EL ESPACIO.

Para ubicar un punto en el espacio, se construye un sistema de
coordenadas en tres dimensiones. Desde un origen O se trazan tres
rectas perpendiculares entre sí, llamadas ejes X, Y y Z. En cada uno
de ellos fijamos una unidad de longitud y un sentido positivo
indicado por una flecha. Para dibujar un punto P de coordenadas (a,
b, c) en el espacio, ubicamos primero el punto (a, b) en el plano
horizontal XY y a continuación colocamos sobre él el punto a una
altura c según el eje Z
CLASIFICACION DE CUERPOS GEOMETRICOS
CLASIFICACION DE CUERPOS GEOMETRICOS
HEXAEDRO REGULAR







Es el poliedro que está limitado
por seis cuadrados congruentes.
tiene 6 caras que son cuadrados
congruentes; cualquiera de las
caras sirve de base
tiene 12 aristas iguales entre sí
tiene 8 vértices


O CUBO.
tiene 4 diagonales iguales entre
sí que se cortan en un mismo
punto
todos los ángulos diedros del cubo
son iguales.
Diagonal del cubo: La medida
de la diagonal del cubo se obtiene
al multiplicar la arista por raíz
de 3.
Superficie total del cubo: La
superficie de cada cara del cubo
es a2 por ser un cuadrado y, como
el cubo consta de 6 caras, la
superficie total es 6a2.
Volumen del cubo: El volumen
de un cubo de arista a es igual al
cubo de la arista, es decir, a3.
PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR RECTO

Es aquel cuerpo cuya base es un cuadrado o un rectángulo y las
aristas laterales son perpendiculares a la base.
Diagonal:
Superficie del paralelepípedo: Corresponde a la suma de las áreas de
los 6 rectángulos que lo limitan.

Volumen del paralelepípedo: Es igual al producto de sus tres
dimensiones
PRISMA RECTO DE BASE TRIANGULAR

Superficie total del
prisma: La superficie total es
igual a la suma del área lateral
y el doble de la superficie basal.

Es aquel cuyas bases son
triángulos congruentes y sus
caras laterales son
paralelogramos.
Superficie lateral: Es igual
al producto del perímetro basal
por la arista lateral.
Alat  Pbasal l
Atotal  Alat  2 Abasal

Volumen del prisma: Es
igual al producto de su área
basal por la altura o arista
lateral.
V  Abasal h ; h  l
PIRÁMIDE



Es el cuerpo determinado al
cortar por un plano todas las
aristas de un ángulo
poliédrico.
Tetraedro regular: Es la
pirámide que está limitada por
4 triángulos congruentes entre
sí.
Superficie total del
tetraedro: Es igual al
producto del cuadrado de su
arista por la constante 3
Volumen del tetraedro
regular: Es igual a la doceava
parte del cubo de su arista por
la constante 2
CILINDRO RECTO.
base por su generatriz (altura
del cilindro recto).
Alat = 2r∙h




El cilindro recto es la figura
engendrada por el giro de un
rectángulo en torno de uno de
sus lados
Superficie lateral: Se obtiene
multiplicando la longitud de la
Superficie total del cilindro:
Es igual a la suma del área
lateral y el área de las bases.
Volumen del cilindro: Es
igual al producto de su área
basal por la altura.
V = r2 · h
CONO RECTO

Superficie del manto:
Corresponde al producto del
semiperímetro de la
circunferencia basal por la
generatriz.
Alat = r · g


Superficie total: Es igual
a la suma del área del
manto cónico y el área basal.
Se puede considerar como
engendrado por el giro de un
triángulo rectángulo en
 Volumen: Es igual a un
torno a uno de sus catetos.
tercio del producto de su
área basal por su altura
LA ESFERA
La esfera es el sólido engendrado por la
revolución completa de un círculo alrededor de su
diámetro.
 Superficie de la esfera: Es igual a 4 veces el
área del círculo máximo.
AT = 4r2
 Volumen de la esfera: Es igual a un tercio del
producto del área de la esfera por el radio.

AHORA TE TOCA A TI
1) El área lateral de un paralelepípedo rectangular es de 64 cm² y su
área total es de 94 cm². Hallar las tres dimensiones del
paralelepípedo, sabiendo que su volumen es de 60 cm³.
2) Calcular el área total y el volumen de un prisma recto de 20 cm de
altura, cuya base es un triángulo equilátero de lado 4 cm.
3) Calcular la superficie y el volumen de una esfera de 9 cm de
radio.
4) Representa en el espacio los siguientes puntos:
A(3, 4, 0)
B(3, 4, 1)
C(3, 4, -1)
6) Determinar el valor de la arista de un tetraedro regular para
que su área y su volumen sean numéricamente iguales.
7) Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un
cilindro cuyo radio basal mide 3 cm y cuya generatriz mide 7
cm.
8) Calcular el área lateral y el volumen de un cilindro generado
por la rotación de un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 5
cm, respectivamente.
a) si se gira en torno al lado mayor.
b) si se gira en torno al lado menor.
9) Calcular el área total y el volumen engendrado por la rotación
de un triángulo rectángulo en torno a uno de los catetos si
éstos miden 6 cm y 8 cm, respectivamente.
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