Clase E5
La ley de Ohm, o el movimiento de
cargas en un “medio viscoso”
Resumen del capacitor, energia, campo, potencial y
capacidad...
-- --
-++
-- -+
+++
+- +
-+++++
++++
+-+
dq
+
q=-Q
Q 
W 
d Q
Este numero, llamado capacidad,
es un factor geometrico y propio
del material que establece
cuanta carga puede aumentar un
capacitor por unidad de voltaje. (A
la inversa, C baja resulta en gran
cambio de V para poca carga)
2 A
El campo era:
2
E 



V
d
q=Q
La energía del capacitor es:
A
Q
A
Por lo tanto V es:
V  Ed  d
Q
A
De donde se obtiene una relación lineal entre la carga y la diferencia de potencial, lo cual era deducible simplemente, sin ninguna cuenta, por aditividad (superponiendo en el espacio dos planos.
Iones pequeños y grandes y la velocidad de conducción.
+
+
+
+
+
+
+
-
En la atmósfera existen otros iones mucho
mas grandes llamados “nucleos”, que
resultan de iones liquidos (sales) del mar que
se evaporan. Estos iones tienen mucha
menos movilidad y por lo tanto generan, con
el mismo campo, corrientes menores.
Veremos que esta regla
de proporcionalidad
entre un campo
aplicado (o una
diferencia de potencial)
y la corriente inducida
es un hecho empírico en
una gran cantidad de
medios, y define otra
propiedad (geométrica y
material, como la
capacidad), llamada
RESISTENCIA.
+
-
+
+
+
+
+
+
-
El movimiento de cargas dentro de un dieléctrico:
una rareza no tan rara (o al menos conocida)
+
-
Los iones por radiación conforman pequeñas
estructuras con gran movilidad dentro del aire,
por lo que la corriente es grande.
Siguiendo las leyes de la mecánica, en un campo constante, la velocidad
de una partícula debería (o debiera, o debiese...) aumentar con el tiempo,
ya que la aceleración es constante.
Velocidad constante en un campo de fuerza es la huella digital, la
presencia in vitus motus, de un proceso disipativo. La Ley de Ohm, pues
(que es un hecho empírico) no es mucho mas que decir que las cargas en
un dieléctrico se mueven “como si” estuviesen en un medio viscoso.
Disipación en un medio denso como un máximo
de la velocidad sin choque (o mas bien, como la
velocidad que optimiza el tiempo, incluidos los
choques)
+
+
+
+
+
+
-
+
+
P ( choque )  d  v m  t 
P
t
v
La base molecular de la disipación tiene muchas versiones según el
problema. Pero en general, un factor común, es que el impulso ordenado
(la aceleración en dirección del campo) se pierde en energía cinética
desordenada (choques con otras partículas). Al aumentar la velocidad
aumenta la probabilidad de choque y por lo tanto la perdida de energía. La
disipación (viscosidad o resistencia) tiene que ver entonces con el rango
de libertad (probabilidad de avanzar sin colisiones de las partículas en el
medio)
-
-
La Ley de Ohm (uno que no tiene billete)
-
+
+
V
V  I  R
La corriente es proporcional al voltaje (lo cual, en este caso es lo mismo
que decir que la velocidad es proporcional a la fuerza)
La familia de objetos crece:
+
LA RESISTENCIA (por ahora un pistón), un
amortiguador de corriente.
V  I  R
+
-
+
+
-+
+
EL CAPACITOR: Tiene el potencial de
acumular carga, una fuerza proporcional a la
carga y una energía proporcional a la carga al
cuadrado ... empieza a parece a un resorte
(aunque todavía no lo hemos visto oscilar)
Q  C  V
La familia de objetos crece:
+
LA RESISTENCIA (por ahora un pistón), un
amortiguador de corriente.
V  I R
I 
dQ
dt
+
-
+
+
-+
+
EL CAPACITOR: Tiene el potencial de
acumular carga y por lo tanto se parece a un
resorte (aunque todavía no lo hemos visto
oscilar)
Q  C V
La corriente es precisamente el cambio de carga en una unidad de tiempo. Por lo tanto, los
dos objetos básicos quedan relacionados por una ecuación diferencial. De paso,
cambiando la carga (q) por la posición (x) y por lo tanto la corriente (I) por la velocidad (v)
cada objeto mantiene su identidad (resistencia – piston, capacitor – resorte)
¿Cual es la energía disipada en una
resistencia?
V  I R
Asumiremos que la contribución debido a la energía cinética es despreciable.
En tal caso, la energía potencial perdida se ha disipado enteramente, con lo cual, la
energía disipada es igual al cambio de energía potencial
 U   q V
El cambio de la carga es
proporcional a la corriente y
el tiempo
La misma relación de siempre
q  t  I
De donde:
La corriente, el ritmo de cambio
de la carga
¿Cual es la energía disipada en una
resistencia?
V  I R
Asumiremos que la contribución debido a la energía cinética es despreciable.
En tal caso, la energía potencial perdida se ha disipado enteramente, con lo cual, la
energía disipada es igual al cambio de energía potencial
 U   q V
El cambio de la carga es
proporcional a la corriente y
el tiempo
U  t  I V 
U
t
q  t  I
 I V  I  R 
2
De donde:
V
2
R
¿Cual es la energía disipada en una
resistencia?
V  I R
Tres maneras de medir la disipación del campo (las tres equivalentes y las tres
entendibles...)
U
t
 I V  I  R 
2
V
2
R
La tasa de flujo de Cargas * La energía disipada en cada carga transportada
Fija la corriente, cuanto mayor es la resistencia mas se disipa
En general la resistencia y la corriente están relacionadas.
¿Cual es la energía disipada en una
resistencia?
V  I R
Tres maneras de medir la disipación del campo (las tres equivalentes y las tres
entendibles...)
U
t
 I V  I  R 
2
V
2
R
La tasa de flujo de Cargas * La energía disipada en cada carga transportada
Fijo el voltaje, cuanto
menor es la resistencia
aumenta el transito de
cargas y por lo tanto la
descarga (y la
disipación) es mas
rápida.
Fija la corriente, cuanto mayor es la resistencia mas se disipa
En general la resistencia y la corriente están relacionadas.
Fuentes de movimiento: ¿Quien da batalla a la disipación?
1) El extraño caso de algunos materiales por los cuales
pueden circular corrientes no disipativas (no ohmicas).
+
+
+
+
+
+
+
+
-
De nuestro modelo de juguete de la
Ley de Ohm como resultado de
colisiones se intuye que a medida
que baja la temperatura, la
resistencia disminuye, lo cual es
cierto.
Otro descubrimiento notable
y su correspondiente
galardonado (1913)
Heike Kamerlingh Onnes (Holandes)
A temperaturas extremadamente bajas (en este caso 4.2 K) se da una transicion de
fase, la mecánica de bolas que colisionan ya no funciona y un material puede volverse
superconductor con lo que una corriente puede circular sin disipar y por lo tanto ad
infinitum sin medicación de ninguna batería.
Fuentes de movimiento: ¿Quien da batalla a la disipación?
1) En general las corrientes son disipativas y es necesario
una bateria que compense la energía disipada.
V  I R
La batería, un objeto que inyecta energía en
un circuito (en realidad, se define la batería
como la cantidad de trabajo que hace por
unidad de carga) y por lo tanto queda
caracterizada por generar una diferencia de
potencial V.
Álgebra de circuitos. Dos reglas de
conservación y sus usos.
Circuitos con baterías y resistencias: Conservación y
composición.
R
El circuito mas simple en un estado estacionario, la corriente que fluye es
proporcional al voltaje inyectado por la batería e inversamente
proporcional a la resistencia.
I 
V
R
R2
R1
Circuitos con baterías y resistencias: Conservación y
composición.
Componiendo do leyes básicas de conservación (Las leyes K) que
estipulan que las cargas solo transitan (i.e. ni se crean ni desaparecen) y
que la energía se conserva (equivale a postular el estado estacionario del
circuito) se pude calcular la corriente a lo largo de cualquier circuito y
eventualmente reducir un conjunto de resistencias a una resistencia
equivalente.
Circuitos con baterías y resistencias: Conservación y
composición.


I1
I2
La Ley K




I3
I1  I 2  I 3



R2
R1
I1  I 2  I 3
Tres incógnitas: I1,I2 e I3... Faltan ecuaciones...
La segunda Ley de K
establece simplemente la
conservación de carga, si
las corrientes entrantes y
saliente no fuesen iguales
(o su suma con signo igual
a cero, que es lo mismo) se
acumularía carga en el
vértice.
Circuitos con baterías y resistencias: Conservación y
composición.
V 6  V1  (V 2  V 5 )  0
V3
R2
V6
V2
R1
V1
V5
V4
La Primera Ley de K
establece que en el estado
estacionario, la energía
disipada es la misma que la
energía entregada por la
batería y por lo tanto los
cambios de potenciales a lo
largo de un circuito cerrado
suman cero.
Circuitos con baterías y resistencias: Conservación y
composición.
V-
V+
V+
R2
V+
R1
V 6  V1  (V 2  V 5 )  0
V-
V-
La Primera Ley de K
establece que en el estado
estacionario, la energía
disipada es la misma que la
energía entregada por la
batería y por lo tanto los
cambios de potenciales a lo
largo de un circuito cerrado
suman cero.
Similarmente, en equilibrio, los
conductores son
equipotenciales, luego todos
estos saltos de potencial son
equivalentes.
R2
R1
El ejemplo mas sencillo de composición: Resistencias en
serie se suman (concatenación de disipaciones).
El ejemplo mas sencillo de composición: Resistencias en
serie se suman (concatenación de disipaciones).
R1
V2
V2
R2
Vint
V1
V1
La corriente, por conservación de
carga es igual en todos los tramos.
La suma de saltos de potencial a lo
largo de las dos resistencias es
igual al de la batería. O, lo que es lo
mismo dicho en una ecuación:
V  I  R1  I  R 2
V2 - Vint Vint - V1
El ejemplo mas sencillo de composición: Resistencias en
serie se suman (concatenación de disipaciones).
V2
R (R1+R2)
V2
V1
V1
Olvidando este punto de paso
intermedio, si uno quiere conocer
por ejemplo la corriente, o la
energía disipada, esta caída
escalonada no es relevante y uno
puede pasar a un circuito
equivalente
V  I  R1  I  R 2
V  I ( R1  R 2 )  I  R
V-
V+
V+
R2
V+
R1
El segundo ejemplo canónico de composición:
Resistencias en paralelo suman inversas (se suman las
conductividades).
V-
V-
El segundo ejemplo canónico de composición:
Resistencias en paralelo suman inversas (se suman las
conductividades).
V+
V+
V-
R2
I
I2
R1
I1
V+
V-
V-
V  I1 R 1  I 2 R 2
La corriente se divide entre las dos
ramas en manera proporcional a
la inversa de cada resistencia.
El segundo ejemplo canónico de composición:
Resistencias en paralelo suman inversas (se suman las
conductividades).
V+
V+
V-
R2
I
I2
R1
I1
V+
V-
V-
V  I1 R 1  I 2 R 2
La corriente se divide entre las dos
ramas en manera proporcional a
la inversa de cada resistencia.
V+
V+
V
R
R
I
 I  I1  I 2 
V
R1

V
R2
La aditividad es en las corrientes y por lo
tanto en la inversa de las resistencias.
V-
V-
El segundo ejemplo canónico de composición:
Resistencias en paralelo suman inversas (se suman las
conductividades).
V+
V+
V-
R2
I
I2
R1
I1
V+
V-
V-
V
R
V+
 I  I1  I 2 
R
V-
R1
V+
1
I
V
V-
R

1
R1

1
R2

V
R2
Circuitos con corrientes (y cargas) que
cambian en el tiempo.
R1
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
C
Ya habíamos visto la dinámica de
este proceso sin demasiado
detalle cuantitativo. También
habíamos visto que un capacitor
cargado acumula energía que
pierde cuando se descarga.
R1
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
C
Ya habíamos visto la dinámica de
este proceso sin demasiado
detalle cuantitativo. También
habíamos visto que un capacitor
cargado acumula energía que
pierde cuando se descarga.
La relación entre corriente y
carga es como la de la posición
y velocidad: La corriente
I 
dQ
dt
R1
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
C
Ya habíamos visto la dinámica de
este proceso sin demasiado
detalle cuantitativo. También
habíamos visto que un capacitor
cargado acumula energía que
pierde cuando se descarga.
El circuito está abierto, con lo que no
hay transporte de carga. en cuanto se
cierra, el conductor empieza a
descargarse. Tal como habíamos,
visto, al descargarse disminuye el
campo y por lo tanto la corriente, con lo
que se descarga mas lento... Es decir
el ritmo de descarga depende de la
carga lo cual da, como ya sabemos, ...
exponenciales. Veámoslo.
La relación entre corriente y
carga es como la de la posición
y velocidad: La corriente
I 
dQ
dt
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
R1
La relación entre corriente y carga
es como la de la posición y
velocidad: La corriente
C
I 
dQ
dt
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
R1
La relación entre corriente y carga
es como la de la posición y
velocidad: La corriente
C
I 
dQ
dt
La relación entre
corriente y potencial:
V  I R
La relación entre voltaje y carga,
dada por el campo generado en el
capacitor es:
V 
Q
C
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
La relación entre corriente y carga
es como la de la posición y
velocidad: La corriente
R1
C
I 
dQ
dt
La relación entre voltaje y carga,
dada por el campo generado en el
capacitor es:
La relación entre
corriente y potencial:
V 
V  I R
I R 
Q
C
Q
C
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
La relación entre corriente y carga
es como la de la posición y
velocidad: La corriente
R1
C
I 
dQ
dt
La relación entre voltaje y carga,
dada por el campo generado en el
capacitor es:
La relación entre
corriente y potencial:
V 
V  I R
I R 
Q
C
Q
C
dQ
dt
R 
Q
C
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
La relación entre corriente y carga
es como la de la posición y
velocidad: La corriente
R1
C
dQ
dt

Q
C R
El ritmo de descarga es proporcional a la
carga (como cualquier otra regla
exponencial de crecimiento o
decrecimiento de una población)
El factor de cambio esta dado por el
producto de R y C (cuanto mas grande R,
menos corriente y se descarga mas lento,
cuanto mas grande C, menos el voltaje
para una misma carga y por lo tanto
menos corriente)
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
La relación entre corriente y carga
es como la de la posición y
velocidad: La corriente
R1
C
dQ
dt

Q
Q  c e
C R
  RC
 t
Q  Qo  e
 (t / )
El tiempo en el que el conductor pierde 1/e
de su carga, después de 3 veces este
tiempo habrá periodo 1/e^3 y así...
Siempre la misma idea de una exponencial
como un operador que cada tic (Tau) divide
por e.
Descarga de un capacitor, una función conocida.
Q0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
Q
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
T=RC
La carga (así como su tasa de cambio) decrece exponencialmente.
Descarga de un capacitor: Corriente, la misma función
I0
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
I
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
T=RC
La derivada de una exponencial es otra exponencial (nótese que cambia
solamente la escala). Por lo tanto, carga y corriente decrecen con un
tiempo típico de decrecimiento dado por RC.
Cargando capacitores, circuitos
dinámicos forzados (por una batería que
inyecta energía)
R1
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
C
Misma historia dada vuelta. Ahora
en vez de disipar energía se inyecta
(mediante una bateria) para cargar
un capacitor. Esta cuenta ya la
habíamos hecho (sin resistencia)
para calcular la energía de un
capacitor (que recuerden, iba como
q cuadrado)
-
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
+
+
R1
+
C
-
Misma historia dada vuelta. Ahora
en vez de disipar energía se inyecta
(mediante una bateria) para cargar
un capacitor. Esta cuenta ya la
habíamos hecho (sin resistencia)
para calcular la energía de un
capacitor (que recuerden, iba como
q cuadrado)
Ahora se da vuelta la exponencial ya que
a medida que se carga el capacitor la
diferencia de potencial (a lo largo de la
resistencia) es menor y por lo tanto hay
menos corriente. Esto se vuelve mas claro
cuando se dibujan explícitamente las
cargas (el regreso del manosanta).
-
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
+
+
+
R1
C
-
V  I R 
Q
0
C
De alguna manera, estos signos
son lisibles “como si” la bateria
trabajase contra la carga del
capacitor y la disipacion de la
resistencia.
Misma historia dada vuelta. Ahora
en vez de disipar energía se inyecta
(mediante una bateria) para cargar
un capacitor. Esta cuenta ya la
habíamos hecho (sin resistencia)
para calcular la energía de un
capacitor (que recuerden, iba como
q cuadrado)
Ahora se da vuelta la exponencial ya que
a medida que se carga el capacitor la
diferencia de potencial (a lo largo de la
resistencia) es menor y por lo tanto hay
menos corriente. Esto se vuelve mas claro
cuando se dibujan explícitamente las
cargas (el regreso del manosanta).
-
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
+
+
R1
+
V  I R 
0
C
C
-
Q
V  I R 
Q
C
Una ecuación
diferencial de
primer orden
(exponenciales)
forzada.
V 
dQ
dt
R 
Q
C
-
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
+
+
+
V  I R 
R1
0
C
C
-
Q
V  I R 
Q
C
Una ecuación
diferencial de
primer orden
(exponenciales)
forzada.
V 
dQ
R 
dt
Q
C
Una solución transitoria (dependiente de
las condiciones iniciales, (homongenea))
y una solución estacionaria, dependiente
del forzado (particular).
Q=CV
(es una solución estacionaria), la transitoria HA de ser una exponencial
-
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
+
+
R1
+
C
-
V 
dQ
R 
dt
Q
C
Proponiendo una solución exponencial,
resolviendo como siempre y sumando la solución
estacionaria.
Q  CV (1  e
 t

)
-
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
+
+
R1
+
C
V 
dQ
dt
R 
Q
C
Proponiendo una solución exponencial,
resolviendo como siempre y sumando la solución
estacionaria.
Durante la carga, la energía de
 t
la batería contribuye a cargar el
Q  CV (1  e  )
capacitor (a un ritmo
proporcional a la corriente) y es
t
disipada en la resistencia. A

Q

Q

Q
e
medida que el capacitor se
inf
inf
carga la corriente es menor
hasta llegar al punto (después
Estacionaria
Transitoria
de un tiempo infinito) en el que
el voltaje del capacitor es igual
a la de la batería y no hay
corriente.
-
Descarga de un capacitor: Corriente, la misma función
Q0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
Q
0.5
0.4
La función 1- exp
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T=RC
El capacitor se carga y a medida que el circuito alcanza el valor de
equilibrio, el salto de potencial se acerca (con signo invertido) al de
la batería y la corriente disminuye (la derivada de la carga).
Descarga de un capacitor: Corriente, la misma función
I0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
I
0.5
0.4
La derivada de la función
(1- exp) es una exponencial.
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T=RC
El capacitor se carga y la corriente decrece. A medida que el capacitor va acercándose a su
carga maxima, la corriente disminuye cada vez mas lenta acercándose a su asintota de cero.
Notese que, en ausencia de inercia (¿¿quien sera la masa de los circuitos?? esta
acercamiento es monotónico y no hay oscilaciones.
Q
+
R1
+
-
I
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
La carga de un capacitor: La carga empieza siendo cero, el capacitor no tiene energia. Se enciende la
bateria y fluye corriente, lo que carga el capacitor. Esto disminuye la diferencia de potencial en la corriente,
disminuyendo la corriente y disminuyendo el ritmo de carga. Cada vez mas lento (como la Tortuga de Aquiles)
hasta que el capacitor se carga para generar (valor asintotico) un potencial igual al de la bateria. Aqui no hay
mas corriente por lo que no se disipa mas energia.
R1
Q
C
I
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
La descarga de un capacitor: La carga empieza siendo Q, el capacitor tiene energia. Esta diferencia de
potencial inducida por el capacitor genera una corriente que disipa la engergia del capacitor. A medida que el
capacitor pierde carga, la corriente disminuye con lo que pierde carga mas lento y esto sigue iterandose cada
vez mas lento (como la Tortuga de Aquiles) hasta que el capacitor disipa toda su energia, pierde la carga y la
corriente es cero.
Q
+
R1
+
-
I
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
NOTESE QUE EN AMBOS CASOS, LA CONSTANTE TEMPORAL (DE CARGA O DESCARGA) ES LA
MISMA Y ESTA DADA POR EL PRODUCTO RC.
R1
Q
C
I
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
0.1
0
1
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R1
Analizando un circuito sin hacer ni una sola cuenta.
Historia conocida
C
R2
R1
La carga de un capacitor con perdida.
¿Que aspectos cualitativos de la dinamica de
este circuito podemos conocer, sin resolver
ninguna cuenta?
C
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Clase E5