Cerrando puertas
CERRANDO PUERTAS:
El matemático Fermathales Junior va a visitar a su padre,
también matemático, para enseñarle los planos de su nueva
vivienda. Le cuenta que cada noche, al llegar a casa, va
atravesando y cerrando con llave cada una de las puertas por
donde pasa, sin volver a abrir ninguna de las puertas que ha
cerrado, hasta llegar a su dormitorio, después de haber
pasado por todas las puertas, donde queda encerrado con
todas las llaves.
Viendo este plano de la casa del hijo, ¿podrías ayudar al matemático a encontrar
el dormitorio de su hijo?
¿Podría cambiar su hijo el dormitorio de lugar cumpliéndose las mismas
condiciones?
El padre, una vez descubierto el dormitorio de
Fermathales Junior, se pregunta, mirando ahora el plano de su
vivienda, si podría hacer lo mismo en su casa.
• ¿Crees que podría?
• En caso que no pudiera, ¿qué pequeña modificación
tendría que realizar en su casa para poder hacerlo?
Razona las respuestas.
Solución
Menú
Solución:
Comprobamos que una posible solución del dormitorio de
Fermathales Junior puede ser la siguiente:
DORMITORIO
FERMATHALES
JUNIOR
Enunciado
Menú
Solución:
Tendríamos que tomar en cuenta que si entra en una habitación
por una puerta y la cierra con llave y sale por otra puerta, que también
cierra, una habitación con 2 puertas quedaría cerrada.
Un razonamiento análogo puede aplicarse al caso de 4 y 6 puertas
sólo que entonces entraría dos y tres veces respectivamente en la
habitación. Este razonamiento puede generalizarse para el caso de un
número par de puertas.
Para quedarse encerrado con todas las llaves en el dormitorio,
éste debe tener un NÚMERO IMPAR DE PUERTAS. Por dicho motivo no
podría cambiar su dormitorio de habitación.
Efectivamente:
2
4
Enunciado
2
6
4
2
DORMITORIO
FERMATHALES
JUNIOR
5
4
2
Menú
Solución:
El padre, una vez descubierto el dormitorio de Fermathales Junior, se
pregunta, mirando ahora el plano de su vivienda, si podría hacer lo mismo
en su casa.
• ¿Crees que podría?
• En caso que no pudiera, ¿qué pequeña modificación tendría que
realizar en su casa para poder hacerlo?
Razona las respuestas.
Enunciado
Menú
Solución:
En la casa de Fermathales padre, el dormitorio solamente puede
estar en una habitación con un número impar de puertas ya que al entrar
y salir obliga a dejar cerradas todas las puertas de 2 en 2.
2
2
4
4
2
Enunciado
3
3
3
2
Menú
Solución:
Por lo tanto el padre no podría hacer lo mismo que su hijo.
Para poder hacerlo tendría que realizar una de estas dos pequeñas
modificaciones:
1ª) Abrir una puerta en las habitaciones contiguas de número
impar puertas, quedando por tanto un número par de puertas en todas
las habitaciones salvo en el dormitorio.
2
4
4
4
2
2
4
3
DORMITORIO de
FERMATHALES
PADRE
Enunciado
2
Menú
Solución:
2ª) Poner un tabique para eliminar la puerta que comparten las
habitaciones contiguas de 3 puertas. De esta forma pasarían a tener dos
puertas cada una y en la casa se quedaría solamente una habitación con
un número impar de puertas, la que tiene 3, que pasaría a ser el
dormitorio, aunque fuese la entrada de la casa.
2
2
4
3
2
Enunciado
2
4
2
DORMITORIO de
FERMATHALES
PADRE
2
Menú
Solución:
Puesto que el padre es matemático se ha dado cuenta de que no
puede hacer en su casa un recorrido en las mismas condiciones que su hijo
ya que hay tres habitaciones con un número impar de puertas.
Sin embargo debemos hacer una observación y es que no es
habitual que la habitación de entrada, el vestíbulo, sea el dormitorio,
pero hacer un recorrido euleriano en tu propia casa todos los días, bien
merece una pequeña reforma y la alteración de las costumbres al uso.
Seguramente esa sería la reflexión que hizo nuestro matemático.
HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES...
… pero ¿habrá más formas de calcularlas?
Enunciado
Menú
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