LA CLASE VIRTUAL
LOS NUMEROS COMPLEJOS
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 La ecuación x2+1=0 carece de soluciones en
el campo de los números reales.
 loge(-2) no es un número real.
 Tampoco es un número real (-2)p
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 Un número complejo a viene dado por un
par ordenado (a, b) de números reales. El
primero se llama parte real, y se escribe
a=Re(a)
 El segundo se llama parte imaginaria, y se
escribe
b= Im(a)
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 Se puede establecer una correspondencia
biunívoca entre el conjunto C=R2 de los
números complejos y el conjunto E2 de
puntos del plano, habiendo fijado un
sistema de referencia cartesiano.
 De modo que el complejo a=(a,b)
representa el punto P (llamado afijo), cuyas
coordenadas son precisamente a y b.
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 El complejo (0,1) se representa mediante la
letra i y es la unidad imaginaria.
 Los números reales son los números
complejos de la forma (a,0), donde a es el
número real que se identifica con el
complejo (a,0). Los números imaginarios
son de la forma (a,b), con b distinto de cero.
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 Los números reales forman el conjunto R al
que le corresponde el eje de abscisas. Los
números imaginarios puros se corresponden
con los puntos del eje de ordenadas.
 El módulo del complejo a=(a,b) viene dado
por  = a 2 + b2 y el argumento por el valor
de q tal que tgq = b / a . Nótese que si q es
un argumento también lo es q+2kp
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 El argumento se llama principal si  p  q  p
 La representación módulo argumental del
complejo a=(a,b) viene dada por q
 La identidad entre los complejos (a,b) y
(c,d) equivale a: a=c y b=d
 La identidad entre los complejos q y sz
equivale a:  = s y q=z+ 2kp
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 El paso del par ordenado a la forma módulo
argumental se logra del siguiente modo:
a = (a , b ) =  q
= a +b
a =  cosq
 q = arctg(b / a )

signo(q) = signo(b)

b =  sin q 
pq p
2
2
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 La aritmética compleja viene dada por:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b)(c, d) = (ac  bd , ad + bc)
 Se demuestra fácilmente que:
qsz=(s)q+z
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 El opuesto de (a,b) es -(a,b)=(-a,-b)
 El inverso de a=(a,b), distinto de cero (0,0),
es
a
b
a =( 2
, 2
)
2
2
a +b
a +b
1
 También se tiene que para q distinto de
cero
1
1
(q ) = ( )q
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 La forma binómica del complejo (a,b) se
escribe a+ib, ya que
(a, b) = (a,0) + (0, b) = (a,0) + (0,1) * (b,0) 
(a, b)  a + ib
 La forma trigonométrica del complejo q
viene dada por (cosq+isinq), puesto que
q = (a, b) = a + ib = ( cosq) + i( sin q) =
(cosq + i sin q)
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 La forma exponencial del complejo q viene
dada por
q=  eiq
teniendo en cuenta la fórmula de Euler de la
exponencial compleja:
eiq =cosq+ i sinq
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 Nótese que i2 = -1 y que la ecuación x2+1=0
tiene como soluciones imaginarias i y -i.
 De otra parte: i3 = i, i 4 = 1, i5 = i, etc.
 Además, si n es un número natural se tiene:
(q ) n = () n ( nq) 
((cosq + i sin q))n = () n (cos(nq) + i sin(nq)) 
(cosq + i sin q) = cos(nq) + i sin(nq)
n
(Fórmula de De Moivre)
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 Las expresiones anteriores son válidas para
n negativo.
 Además:
a
m/ n
= (a )
1/ n m
a
de donde basta definir
para poder evaluar la expresión
con m y n enteros, n positivo.
1/ n
a
m/n
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 La expresión
a
1/ n
en realidad
corresponde a n números complejos
diferentes dados por
s = ( ) q+ 2 kp ,
1/ n
n
k = 0,1,2,...,n - 1
 Los afijos de s son los vértices de un
polígono regular de n lados, centrado en el
origen de coordenadas.
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 Se justifica lo anterior como sigue:
(s  ) =  q 
n
s = , n = q + 2kp 
n
s =  ,  = (q + 2kp) / n
1/ n
 Para los demás valores de k se repiten las
soluciones cíclicamente
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 La exponencial compleja se define muy
fácilmente: Sea a=(a,b), entonces
a
e =e
a +ib
= e (e ) = e (cosb + i sin b)
 Nótese que:
a
ib
a 
a
e e =e
e =1
0
a +
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 El logaritmo de un número complejo en
realidad son infinitos complejos. En
concreto:
ln(q ) = ln  + i(q + 2kp),
k = 0,1,2,3,...
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 La justificación de lo anterior es como
sigue:
Sea q = (cosq + i sin q)
e  = q   = ln(q )
Si  = u + iv se tiene:
e  = e u +iv = e u eiv = e u (cosv + i sin v)
q = (cosq + i sin q), luego
e u = , o bien, u = ln y
v = q + 2kp, en definitiva:
 = ln(q ) = u + iv = ln + i(q + 2kp)
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 Para k=0 se obtiene el valor principal del
logaritmo, con  p  q  p
Ln(q ) = ln  + iq
 Nótese que:
e
ln(q )
= q
 Se define m mediante
 ln m
e
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 EJEMPLOS:
– 1) loge(-2)
loge (2) = ln(2p ) = ln 2 + i(p + 2kp) =
ln 2 + i(1 + 2k)p  Ln(2) = ln 2 + ip
– 2) (-2)p
p
p
(2) = (2 p ) = e
e
p ln 2 i (1+ 2 k ) p 2
e
=e
p ln(2 p )
p ln 2
=e
p (ln 2 + i (1+ 2 k ) p )
=
(cos(1 + 2k )p + i sin(1 + 2k )p )
2
2
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 EJEMPLOS:
– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro
cifras decimales):
(2) p = e p ln 2 (cosp2 + i sin p2 ) =
– 3) ii
- 7.9662- i 3.7974
i =e
i
e
i ln i
=e
i ln(1p / 2 )
i (ln1+i ( p / 2+ 2 kp ))
=e
=
( p / 2+ 2 kp )
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 EJEMPLOS:
– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro
cifras decimales):
ii = e p / 2 = 0.2079
– 4) Hállese las fórmulas del coseno y seno del
ángulo doble.
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 EJEMPLOS:
– Se tiene que
(cosq + i sin q) = (cos2q + i sin 2q) 
2
cos2q = cos q  sin q
2
sin 2q = 2 sin q cosq
2
Descargar

EL PROFESOR VIRTUAL - matesap