5
11
5
11
XXV Olimpiada Thales
5
El Problema de los Dardos:
11
Ana le propuso a Enrique jugar a los dardos con una diana muy especial,
como la que aparece en la figura. Ana le hizo la siguiente pregunta a Enrique:
“Pudiendo disparar todas las veces que quieras y sumando siempre la
puntuación obtenida a la anterior, ¿cuál es la puntuación máxima menor que
100 a la que no podrás llegar nunca?”.
5
11
Solución
Menú
Solución:
¡Enrique, mucha atención con las
puntuaciones en cada tirada y ve
acumulando los puntos!
¡OK, Ana. Primero voy a tomar nota de las
primeras tiradas!
Solución
Menú
Solución:
¡Voy a ver que sucede
con una y dos tiradas!
1 Tirada:
5
5
11
11
{5}
{11}
2 Tiradas:
5
5
5
{5}+{5}=10
11
11
11
{5}+{11}=16
{11}+ {11}=22
Solución
Menú
Y con tres tiradas,
¿puedo ya encontrar
alguna regla?
Solución:
3 Tiradas:
5
5
{5}+ {5}+ {5}=15
11
11
5
11
Solución
{5}+ {11}+ {11}=27
5
{5}+{5}+ {11}=21
11
{11}+ {11}+ {11}=33
Menú
¡Creo que ya se puede
sacar algo en claro con
cuatro tiradas!
Solución:
4 Tiradas:
5
5
11
11
{5}+ {5}+{5}+{5}=20
{5}+{5}+ {11}+ {11}=32
5
5
5
11
11
11
{5}+{5}+{5}+{11}=26
Solución
{5}+{11}+ {11}+ {11}=38
{11}+{11}+ {11}+ {11}=44
Menú
Solución:
Así seguiríamos tirando a la diana para
conseguir, en definitiva, cada número con la
condición de que sea menor o igual que
100. Si llamamos x al número de veces que
el dardo da en 5, e y al número de veces
que el dardo da en 11 se debe cumplir que:
5x+11y≤100
Solución
Menú
Solución:
¡Enrique, te veo un poco indeciso!
¡En absoluto, Ana! En breve te puedo sacar
algún patrón para conseguir llegar a la
solución del problema planteado.
Solución
Menú
Solución:
¡No olvidemos que tenemos que ver cuál es la puntuación
máxima que no se puede conseguir menor o igual que
cien. De las cuatro tiradas ya podemos sacar una
consecuencia:
NO SE PUEDEN CONSEGUIR
a) Entre [1 y 10]: {1,2,3,4,6,7,8,9}, luego en este
intervalo, el máximo es
9.
b) Entre [10,20]: {12,13,14,17,18,19}, luego en este
intervalo, el máximo es
Solución
19.
Menú
Solución:
¡Para dar respuesta a la cuestión
planteada la estrategia anterior es
laboriosa. Vamos a encontrar el patrón
más fácilmente si representamos
gráficamente los datos que vayamos
obteniendo en sucesivas tiradas.
Solución
Menú
Solución:
99
88
85
90
95
100
54
59
64
69
74
79
84
89
94
99
43
48
53
58
63
68
73
78
83
88
93
98
27
32
37
42
47
52
57
62
67
72
77
82
87
92
97
16
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
71
76
81
86
91
96
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
2
T
3
T
4
T
5
T
6
T
7
T
8
T
9
T
10
T
11
T
12
T
13
T
14
T
15
T
16
T
17
T
18
T
19
T
20
T
77
80
66
75
55
70
44
65
60
49
33
96
38
22
91
11
9T
86
7T
81
6T
76
71
5T
97
4T
92
3T
87
2T
98
82
5
1
T
Tiradas
a) Los múltiplos de 11 cuyas tiradas den en la zona del 11 de
la diana.
b) Los números que terminen en 0 y 5 con dardos cuya
tirada den en la zona del número 5 de la diana
conseguidos solo con el cinco.
93
1T
8T
11
c) Los números que terminen en 1 y 6 con dardos cuya tirada sea una vez
en 11 y sucesivamente 1,2,3, 4, ….veces que den en el número 5 y cuya
suma no supere a 100.
d) Y así sucesivamente con los número que
terminan en 2 y 7; 3 y 8; 4 y 9.
e) Terminados en 0 y 5; 1 y 6; 2 y 7; 3 y 8
conseguidos con el 5 y el 11.
Solución:
¿Te has dado cuenta Ana de un detalle?
Con la construcción de la tabla anterior hay
números que se repiten y son los que
aparecen en rojo, por lo tanto los tenemos
en cuenta una sola vez y los eliminamos
de la tabla.
Solución
Menú
Solución:
4T
44
49
3T
33
38
2T
22
27
1T
11
Estos son los números que se
obtienen menor o igual que cien
cumpliendo que
5x+11y≤100
16
54
59
64
69
74
79
84
89
94
99
43
48
53
58
63
68
73
78
83
88
93
98
32
37
42
47
52
57
62
67
72
77
82
87
92
97
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
71
76
81
86
91
96
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
2
T
3
T
4
T
5
T
6
T
7
T
8
T
9
T
10
T
11
T
12
T
13
T
14
T
15
T
16
T
17
T
18
T
19
T
20
T
1
T
Solución:
Con los datos que aparecen la tabla podemos fácilmente
deducir que NO SE PUEDEN CONSEGUIR:
Entre [20 y 30 ]: {23,24,28,29} luego en este intervalo el
máximo es 29.
Entre [30,40]: {34,39}, luego en este intervalo el máximo
4T
44
49
3T
33
38
2T
22
27
1T
11
es 39.
16
54
59
64
69
74
79
84
89
94
99
43
48
53
58
63
68
73
78
83
88
93
98
32
37
42
47
52
57
62
67
72
77
82
87
92
97
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
71
76
81
86
91
96
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
2
T
3
T
4
T
5
T
6
T
7
T
8
T
9
T
10
T
11
T
12
T
13
T
14
T
15
T
16
T
17
T
18
T
19
T
20
T
1
T
Solución:
¡Y a partir del 39 ya se pueden conseguir
cualquiera hasta el número 100:
40,41,42,43,44,……..95,96,97,98,99,100
Por lo tanto, el mayor de todos que nunca
conseguiríamos , es
4T
44
49
3T
33
38
2T
22
27
1T
11
39
16
54
59
64
69
74
79
84
89
94
99
43
48
53
58
63
68
73
78
83
88
93
98
32
37
42
47
52
57
62
67
72
77
82
87
92
97
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
71
76
81
86
91
96
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
2
T
3
T
4
T
5
T
6
T
7
T
8
T
9
T
10
T
11
T
12
T
13
T
14
T
15
T
16
T
17
T
18
T
19
T
20
T
1
T
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