Una ecuación diferencial es una ecuación
que involucra una función desconocida y sus
derivadas
df
x
x 
  kf
dx
2
m
d x
dt
i
2

t
 F
2
 
 
2
2 m x
2
x
Una ecuación diferencial es ordinaria si la
función desconocida depende de solo una
variable
df
x
x 
  kf
dx
2
m
d x
dt
i
2

t
 F
2
 
 
2
2 m x
2
x
Una ecuación diferencial es ordinaria si la
función desconocida depende de solo una
variable
df
x
dx
dv
dt
  sin  x   xf
  a v  x0
3
x
 x  co s  x 
d y
dx
3
 xy
2
dy
dx
 y
2
 x y
Una ecuación diferencial es parcial si la función
desconocida depende de varias variables
i

t
2
 
q  x, y 

2
2 m x
2
 q  x, y 
2

x
y
2
 q  x, y   0
1   2  
1
 
 
1
 
  4   r ,  ,  
r
 2
 sin 
 2
2
2
2
r r 
 r  r sin    
   r sin   
2
  
rˆ
r
2
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la
mayor derivada que aparezca en ella
x
2
d f
dx
b
2

 
S e g u n d o o rd e n
3
 a
t
d
 df 
  kf  x   x 

d
x


2
z
x
3
 a  b
T e rc e r o rd e n
P rim e r o rd e n
dz
i
5

i0
d g
i
 p
dp
i
 
O rd e n 5
Una solución de una ecuación diferencial en la
función desconocida f(x) y en la variable
independiente x en el intervalo I, es una función f(x)
que satisface la ecuación diferencial idénticamente
para toda x en I
L a fu n c ió n y  3 sin x e s s o lu c ió n d e la
e c u a c ió n d ife re n c ia l o rd in a ria d e te rc e r o rd e n
3
4x
d y
dx
3
2
 2x
2
d y
dx
e n e l in te rv a lo
2
 x
3
dy
 1 2 x co s x  3 x co s x  6 x sin x  0
dx
  ,  
Ya veremos más adelante más ejemplos
3
2
Una solución de una ecuación diferencial en la
función desconocida f(x) y en la variable
independiente x en el intervalo I, es una
función f(x) que satisface la ecuación
diferencial idénticamente para toda x en I
•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas
las soluciones.
•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
L a e c u a c ió n d ife re n c ia l m á s s e n c illa q u e e xis te :
dy
0
dx
y a
y 2
co n a  R
e s la so lu ció n g e n e ra l
e s u n a so lu ció n p a rticu la r
•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
dy

d o n d e  e s u n a co n sta n te
dt
dy
dy
dt
 dt dt   dy    dt    dt
y  t  a
e s la so lu ció n g e n e ra l


y  t  3
e s u n a so lu ció n p a rticu la r
y   t  33 i  8
e s o tra so lu ció n p a rtic u la r
•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
da  t 
 t 1
dt
a t  
1
a t  
1
t t
2
e s u n a so lu ció n p a rticu la r
2
2
t t 
2
co n   C
e s la so lu ció n g e n e ra l
•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
2

y  y 0
y 0
e s u n a so lu ció n p a rticu la r
y  1 / x e s u n a so lu ció n p a rticu la r
y  y
dy
 0
2
 y
2
 0
dx
dy
 y
2
dx
1
y
2
dy
dx
 1
1
y

dy
2
dx
1
y
2

dy

1
y
 1
2
dy
dx
dx    dx
   dx
 x  c
y
y 
1
x  c
•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
dy
 y 0
2
dx
yx 
1
xc
dy
 y 0
y 
2
dx
1
xc
V e a m o s q u e s í e s s o lu c ió n :
dy
dx
dy
dx
 
1
x  c
 y  
2
2
2
1
x  c
2
 1 

  0
 xc
•Condiciones iniciales y condiciones de
frontera
•Primer orden
•Ecuaciones separables
•Ecuaciones que se reducen a separables
•Ecuaciones exactas
•Ecuaciones lineales
Una ecuación diferencial con condiciones
subsidiarias en la función desconocida y sus
derivadas, todas ellas dadas para el mismo
valor de la variable independiente, constituye
un problema de condiciones iniciales (initialvalue problem).
Las condiciones subsidiarias son las
condiciones iniciales.
Una ecuación diferencial con condiciones subsidiarias en la función
desconocida y sus derivadas, todas ellas dadas para el mismo valor de la
variable independiente, constituye un problema de condiciones iniciales
(initial-value problem).
Las condiciones subsidiarias son las condiciones iniciales.
dv
a
dt
dv
dt
co n la co n d ició n in icia l v  0   v i
a
dv
 dt dt   adt   dv   adt
v  t   a t  c  v  0    c  vi  c  vi
v  t   vi  a t
Una ecuación diferencial con condiciones subsidiarias en la función
desconocida y sus derivadas, todas ellas dadas para el mismo valor de la
variable independiente, constituye un problema de condiciones iniciales
(initial-value problem).
Las condiciones subsidiarias son las condiciones iniciales.
dg
z
2
dz
dg
z 
2
dz
g 
co n la co n d ició n in icia l g 1    2

3
dg
 dz dz    z
z  c  g 1  
3
g z 

3

2
dz 
 dg    z
2
 c  2  c  2 
3
dz

3
 z  1  2
3
2
d x
dt
2
a
C o n d icio n e s in icia le s x  0   x i
2
d x
dt
2
a
dx
v
dt
dv
a
dt
v 0 
dx
dt
t
 0   vi
dv
 dt dt  a  dt   dv  a  dt
v  at  
dx
dt
v
dx
dt
 at   
dx
 dt dt    at    dt   dx    at    dt
 dx 
  at    dt
x t  

1
at   t  
2
2
x  0     x0
x t  
1
2
at   t  x 0
2
dx
dt
x t  
0  
1
2

dx  t 
dt
 v0
at  v 0 t  x 0
2
 at  
dy
dx
dy
x 
lim
x  x
y  x  y  x 
x  x
e s u n s im b o lo , n o u n a fra c c ió n
dx
d x y d y "n o e xis te n " in d e p e n d ie n te m e n te
Una ecuación diferencial con condiciones subsidiarias en la función
desconocida y sus derivadas, todas ellas dadas para el mismo valor de
la variable independiente, constituye un problema de condiciones
iniciales (initial-value problem).
Las condiciones subsidiarias son las condiciones iniciales.
Si las condiciones subsidiarias se dan para más de
un valor de la variable independiente, el problema
se llama de valores a la frontera (boundary-value
problem) y las condiciones se llaman de frontera
(boundary conditions).
d 
2
dx
  kx
2
C o n d ic io n e s d e fro n te ra :  ( a )  0
d 
2


dx
d
dx
2
dx   k  xdx 
dx  
1
2
d
dx
 
1
2
kx  c 0
2
k  x dx  c 0  dx    
2
 a  
k
 b   
k
6
6
a  c 0 a  c1  0
3
b  c 0 b  c1  0
3
 b   0
k
6
x  c 0 x  c1
3

k
6
k
a  c 0 a  c1  0

a

6
  c a  b  0
3

k
3
c0 
b
3
a

6
k
6
b  c 0 b  c1  0
3
0
2
 ab  b
2


k
6

a  c 0 a  c1  0

3
k
6
a  c0 
2
c1
k
6
0
a

k
6
b  c 0 b  c1  0
3
b  c0 
2
1 1
  a  b   c1     0
6
a b
k
2
2
c1  
k
6
ab  a  b 
c1
b
0
d 
2
dx
2
  kx
C o n d ic io n e s d e fro n te ra :  ( a )  0
k
 x  
c0 
a

6
k
6
2
 b   0
x  c 0 x  c1
3
 ab  b
2

c1  
k
6
ab  a  b 
k
k
2
2 
  x    x    a  ab  b  x  ab  a  b 
6
6
6

k
3
d 
2
dx
  kx
2
 b   B
C o n d ic io n e s d e fro n te ra :  ( a )  A
d 
2


dx
d
dx
2
dx   k  xdx 
dx  
1
2
d
dx
 
1
2
kx  c 0
2
k  x dx  c 0  dx    
2
 a  
k
 b   
k
6
6
a  c 0 a  c1  A
3
b  c 0 b  c1  B
3
k
6
x  c 0 x  c1
3

k
6
a  c 0 a  c1  A

3

a

6
k
c0 
3
b
3
k
6
b  c 0 b  c1  B
  c a  b 
A  B

a  b
0
k
6
3
AB
 a  ab  b
2
2


k
6

k
6
a  c 0 a  c1  A

3
a  c0 
2
c1

a
k
6
A

a
k
6
b  c 0 b  c1  B
3
b  c0 
2
1 1 A B
  a  b   c1    

6
b
a b a
k
2
c1 
2
Ab  Ba
ba

k
6
ab  a  b 
c1
b

B
b
d 
2
dx
2
C o n d ic io n e s d e fro n te ra :  ( a )  A
  kx

c0 
A  B
a  b

k
6
x  
 a  ab  b
2
2
k
6

 b   B
x  c 0 x  c1
3
c1 
Ab  Ba
ba

k
6
ab  a  b 
 A  B k

Ab  Ba
k
2
2
 x   x  
  a  ab  b  x 
 ab  a  b 
6
6
ba
6
 a  b

k
3
y 
dy
dx
 f  x, y 
y 
dy
dx
 f  x, y  
dy
dx

M  x, y 
N  x, y 
N  x , y  dy  M  x , y  dx  0
N  x , y  dy  M  x , y  dx  0
S i M  x, y   A  x  y
N  x, y   B  y 
B  y  dy  A  x  dx  0
B  y  dy  A  x  dx  0
S o lu ció n g e n e ra l:
 B  y  dy   A  x  dx  c
d o n d e c e s u n a co n sta n te a rb itra ria
dy
 si n x
dx
d y  sin x d x  0
d
y

sin
x
d
x

0


y  cos x  c  0
y  x   c  co s x
dy
 x
2
dx
dy
 dx dx   x
y 
1
3
x c
3
2
dx
dy  x dx
2
df
exp   x

df
dx

f
2
1
2
 exp   x
df
dx 
dx
1
f

f
dx
f
2
d
 
f
2


2
0
 exp   x
2
dx
2
dx 
2
 dx  0
 exp   x
2
 dx  0
e rf  x   c   0
f  x     e rf  x  
1/ 2
c
dN  t 
dt
dN
  kN  t 
 kdt  0 
N
N 0  N0

dN
N
ln N  kt  c
 k  dt  c
ln N  c  kt
N  t   exp  c  kt   exp  c  exp   kt 
N  0   ex p  c   N 0
N  t   N 0 e xp   k t 
N  t   N 0 exp   kt 
N 0  100
k  1/ 4
dT  t 
dt
dT
T  Tm
    T  Tm  ;   0
   dt
ln  T  T m    t  c
T
dT
 Tm
   dt  c
T  T m  exp  c  ex p    t 
T  t   T m  exp  c  exp    t 
dT t 
dt
    T  Tm  ;   0
T  t   Tm  e x p  c  e x p    t 
C o n d ic io n e s "fin a le s ":
T     lim  T m  ex p  c  ex p    t    T m
t 
in d e p e n d ie n te m e n te d e c .
C o n d ic io n e s in ic ia le s : T  0   Ti
T  0   T m  ex p  c  ex p  0   T m  ex p  c   Ti
e x p  c   Ti  T m
T  t   T m   Ti  T m  e x p    t 
T  t   T m   Ti  T m  exp    t 
T m  40
Ti  60
  1/ 4
dy
dx
x  2x
2

sin y
 sin y dy   x  2 x  dx  0 
 sin y dy    x
 cos y 
1
2
2
 2 x  dx  c 
x  x c
3
2
3
 1 3

2
y  x   arcc o s   x  x  c 
 3

ds
 s 1 x
3
dt
ds

1  x dx  0
3
s

ds

s
ln s 


1  x dx  0
3
1  x dx  c   0
s  x   c exp
3

1  x dx
3

dy

1 y
dx



2
dy

1 y
x
dy
1 y

2

dy
1 y
2
dy
1 y

2

dx

2
dx
0
x
c
x
y  sin 
dy  cos  d 
cos  d 
cos  d 
1  sin 
arcsin y  ln x  c
y  x   s in  l n x  c 
2


cos 

 d
   arcsin y
arcsin y  c  ln x
d  t 

exp  t 

dt
 d  e x p  t  d t 
1
2
 0  0
  d

 exp  t  dt
 c
 2  exp  t   c
 t  
2  c  e x p  t  
 0 
2  c  e x p  0   
c 
1
2
 02  1
 t  
 02  2  e x p  t   1 
2  c  1   0
dg  z 

dz
dg
g
2

2
g
g 1   2
z
g
dz


z
2
dg
g
2
z


1
dz
z
g

1
g

1
g
 ln z
z
1
2

1
 ln z  ln 1  ln z
2
g z 
1
1
2
 ln z
B  y  dy  A  x  dx  0
S o lu ció n g e n e ra l:
 B  y  dy   A  x  dx  c
d o n d e c e s u n a co n sta n te a rb itra ria
Miércoles 29 de marzo del 2006
n
d y
dx
n
n 1
n2
d y d

y
dy
 f 
,
,...,
, y, x 
n 1
n2
dx
dx
 dx

n 1
n2
d y d y d

y
dy
F
,
,
,...,
,
y
,
x

0

n
n 1
n2
dx
dx
dx
 dx

n
L a e c u a c ió n n o c o n tie n e la fu n c ió n b u s c a d a y , y s u s
d e riv a d a s h a s ta e l o rd e n k  1 in c lu s iv e :
k
 d n y d n 1 y d n  2 y

d y
F
,
,
, ...,
,x  0
n
n 1
n2
k
dx
dx
dx
 dx

S e h a c e e l c a m b io d e v a ria b le
k
p 
d y
dx
k
y e n to n c e s q u e d a
 d n  k p d n  k 1 p d n  k  2 p

dp
F
,
,
, ...,
, p, x   0
nk
n  k 1
nk 2
dx
dx
dx
 dx

q u e e s d e o rd e n n  k
L a e c u a c ió n d e L a p la c e e n c o o rd e n a d a s c a rte s ia n a s
e n u n a d im e n s ió n
d  x
2
dx
2
 0
e s u n a e c u a c ió n d ife re n c ia l o rd in a ria d e s e g u n d o o rd e n
lin e a l y h o m o g e n e a .
P a s o 1 . C o n u n c a m b io d e v a ria b le le b a j a m o s e n u n o
e l o rd e n . H a c ie n d o
 
d
dx
la e c u a c ió n q u e d a
d
dx
 0
P aso 1.
d 
2
dx
2
0
y
 
d

dx
P a s o 2 . L a e c u a c ió n
d
0
dx
d
 0 s e s e p a ra y s e
dx
in te g ra fa c ilm e n te
d  0
 d
0
 a
d o n d e a e s u n a c o n s ta n te d e in te g ra c ió n
d 
2
P a so 1 .
dx
P a so 2 .
d
dx
P a so 3 .
Si  
d
dx
d
dx
a
2
0
y
 
d
dx
 0  d  0 
 d

d
0
dx
0 a
R e g re sa m o s e l ca m b io d e v a ria b le .
(p a so 1 ) y   a (p a so 2 ) e n to n ce s
d
a
dx
E s u n a e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e p rim e r o rd e n
d e v a ria b le s se p a ra b le s. P o n e m o s d e u n la d o la v a ria b le
d e p e n d ie n te y d e l o tro la d o la in d e p e n d ie n te
d   adx
In te g ra m o s
 d    adx  a  dx
y da
  ax  b
d o n d e b e s u n a v a ria b le d e in te g ra ció n
L a e c u a c ió n d e L a p la c e e n c o o rd e n a d a s
c a rte s ia n a s e n u n a d im e n s ió n
d  x
2
dx
2
 0
tie n e c o m o s o lu c ió n g e n e ra l
  x   ax  b
L a e cu a ció n d e L a p la ce p a ra p ro b le m a s co n
1 d  2 d  r  
sim e tría e sfé rica s e s 2
r
0
r dr 
dr 
P a ra re so lv e rla :
P a so 1 . B a ja rle e l o rd e n co n e l ca m b io d e v a ria b le
d
dr

1 d  2 d  r  
r
0
2
r dr 
dr 
P a so 1 .
d
dr
P a so 2 . Q u e d a
d
dr
r    0
2
q u e e s d e v a ria b le se p a ra b le s y se p o n e
d r    0 
2
 d r    0 
2
r   a
2
d o n d e a e s u n a co n sta n te d e in te g ra ció n .

1 d  2 d  r  
r
0
2
r dr 
dr 
P a so 3 .
d
a
 
dr
d 
r
a
r
2
2
dr
a
 d   r
 r   
2
a
r
dr
b
P a so 1 .
d
dr

P a so 2 . r   a
2
L a e cu a ció n d e L a p la ce p a ra p ro b le m a s co n
sim e tría e sfé rica s e s
1 d  2 d  r  
r
0
2
r dr 
dr 
L a so lu ció n g e n e ra l e s
 r   
a
r
b
Ejemplo
Ejemplo
U n a e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o r d e n n e s lin e a l
si e s d e la fo rm a
bn  x  y
(n)
 bn  1  x  y
d yx
( n  1)
n
bn  x 
dx
 bn  1  x 
d yx
i
n
 b x
i
i 1
n
dx
i
 g x
d
 ...  b1  x  y   b 0  x  y  g  x 
n 1
dx
yx
n 1
d yx
1
 ...  b1  x 
dx
1
 b0  x  y  x   g  x 
S i g  x  y b j  x  , j  0,1, 2,..., n , so n co n tin u a s e n u n
in te rv a lo I q u e co n tie n e a x 0 y si b n  x   0 e n I ,
e n to n ce s e l p ro b le m a d e v a lo re s in icia le s
y  x0 



 c 0 , y  x 0   c1 , y  x 0   c 2 ...., y
n  1
 x 0   c n 1
d e la e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
bn  x  y
(n)
 bn 1  x  y
( n  1)
 ...  b1  x  y   b 0  x  y  g  x 
tie n e u n a ú n ica so lu ció n e n I .
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
bn  x  y
(n)
 bn 1  x  y
( n  1)
 ...  b1  x  y   b 0  x  y  g  x 
1 ) S i g  x   0 e n to n ce s la e cu a ció n e s h o m o g e n e a ,
si n o e s in h o m o g e n e a
2 ) S i T O D O S lo s b j  x  so n co n sta n te s se d ice q u e
tie n e co e ficie n te s co n sta n te s, sin o se d ice q u e lo s
co e ficie n te s so n v a ria b le s
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
bn  x  y
(n)
 bn 1  x  y
( n  1)
 ...  b1  x  y   b 0  x  y  g  x 
S i b n  x   0 e n u n in te rv a lo I , p o d e m o s e scrib ir
y ( n )  a n 1  x  y ( n 1)  ...  a1  x  y   a 0  x  y    x 
donde
aj x 
bj x
bn  x 
 j  0,1, 2, ..., n  1 
y  x 
g x
bn  x 
D e fin im o s a h o ra e l o p e ra d o r
Lˆ 
d
n
dx
n
 a n 1  x 
d
n 1
dx
n 1
 ...  a1  x 
d
1
dx
1
 a0  x 
d e ta l m a n e ra q u e
(n)
( n  1)
Lˆ  y   y  a n  1  x  y
 ...  a1  x  y   a 0  x  y
L a e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
la e scrib im o s e n to n ce s co m o
Lˆ  y     x 
L a e c u a c ió n d ife re n c ia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
hom ogenea
Lˆ  y   0
s ie m p re tie n e n s o lu c io n e s lin e a lm e n te
in d e p e n d ie n te s .
S i y1  x  , y 2  x  ,..., y n  x  re p re s e n ta n d ic h a s s o lu c io n e s ,
e n to n c e s la s o lu c ió n g e n e ra l d e Lˆ  y   0 e s
y  x   c1 y1  x   c 2 y 2  x   ...  c n y n  x 
d o n d e c1 , c 2 ,..., c n re p re s e n ta n c o n s ta n te s a rb itra ria s
L a so lu ció n g e n e ra l d e la e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria
d e o rd e n n lin e a l in h o m o g e n e a
Lˆ  y     x 
es
yx  y x y p x
h
donde
y h  x  e s la so lu ció n g e n e ra l a la e cu a ció n h o m o g e n e a
a so cia d a , y
y p  x  e s cu a lq u ie r so lu ció n p a r ticu la r d e la e cu a ció n .
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
S i se p ro p o n e u n a so lu cio n
y  x   exp   x 
se tie n e
 exp   x   a n  1
n
n 1
exp   x   ...  a1 exp   x   a 0 exp   x   0
E lim in a n d o la e xp o n e n cia l
  a n  1
n
n 1
 ...  a1  a 0  0
S i   e s ra iz d e e sta e cu a ció n , exp    x  e s so lu ció n d e la
e cu a ció n d ife re n cia l
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
A la e c u a c ió n
  a n  1
n
n 1
 ...  a1   a 0  0
s e le lla m a E c u a c ió n c a ra c te rís tic a .
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
E cu a ció n ca ra cte rística :   a n  1
n
n 1
 ...  a1  a 0  0
S e a n 1 ,  2 ,  3 , ...,  n la s n ra ice s d e la e cu a ció n
ca ra cte rística
S i to d a s so n d istin ta s, la so lu ció n g e n e ra l e s
y  x   c1 exp  1 x   c 2 exp   2 x   ...  c n exp   n x 
sie n d o c1 , c 2 , ..., c n co n sta n te s a rb itra ria s
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
E c u a c ió n c a ra c te rís tic a :   a n  1 
n
n 1
 ...  a1   a 0  0
S e a n 1 ,  2 ,  3 , ...,  n la s n ra ic e s d e la e c u a c ió n c a ra c te rís tic a
S i la ra iz  k tie n e m u ltip lic id a d p h a b rá a s o c ia d a c o n e l la
p s o lu c io n e s lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s d a d a s c o m o
ex p   k x  , x ex p   k x  , x ex p   k x  , ..., x
2
p 1
ex p   k x 
L a c o m b in a c ió n lin e a l d e la s n s o lu c io n e s
lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s e s la s o lu c ió n g e n e ra l.
1
f
2
d f
x
dx
x
2
 
2
2
d f
x
2
 f
E cu ació n característica:
 
F o rm a estan d ar:
dx
  
2
2
2
x  0
2
0
2
R aices d e la ecu ació n característica:
1  i
 2   i
1
f
2
d f
x
dx
x
2
 
2
R aices de la ecuación característica:
f
1  i
 2   i
 x   c1 exp  i x   c 2 exp   i x 
Form ula de E uler:
exp  i
  e i
 cos   i sin 
f
 x   c1 cos   x   c 2 cos   x   i  c1 sin   x   c1 sin   x  
f
x 
A cos   x   B sin   x 
1
f
2
d f
x
dx
x
2
 
2
2
d f
x
2
 f
E cu ació n característica:
 
F o rm a estan d ar:
dx
 
2
2
2
x  0
2
0
2
R aices d e la ecu ació n característica:
1   
2  
1
f x
d f x
2
dx
2

2
R aices de la ecuación característica:
f  x   c1 exp   x   c 2 exp    x 
1  
2  
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