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Que los alumnos adquieran una mejor
comprensión del álgebra y mejoren su
habilidad en el manejo de los
procedimientos algebraicos, así como
familiarizarse con términos que se
utilizan en el cálculo algebraico.
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Una ecuación es una igualdad entre dos
expresiones algebraicas que sólo se
cumple para algunos valores de las
incógnitas. Si la ecuación contiene sólo
una variable o incógnita con exponente
1, se llama ecuación lineal o de primer
grado con una incógnita.
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En una ecuación, la expresión algebraica
del lado izquierdo del signo igual se
llama primer miembro y la del lado
derecho se llama segundo miembro.
La resolución de una ecuación lineal con
una incógnita es un procedimiento que
se basa, fundamentalmente, en la
propiedad de la igualdad que establece
que:
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Si a los miembros de una igualdad se
realizan las mismas operaciones, se
obtiene una nueva igualdad.
Esta propiedad permite dar un enunciado
que simplifica su aplicación:
Cualquier término o factor de un
miembro en una igualdad puede pasar
al otro miembro si se cambia en la
operación contraria a la que realizaba.
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Las ecuaciones lineales con una incógnita
más sencillas son de la forma ax + b = c
Ejemplo: -2x + 7 = -6
La solución se obtiene en dos pasos.
1.- Restando 7 de los dos miembros.
2.- Dividiendo entre el coeficiente de x.
Los siguientes problemas se resuelven con
una ecuación lineal.
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- Juan nació cuando su mamá tenía 28
años. Actualmente, la edad de la mamá
de Juan es el triple que la de éste.
¿Cuántos años tiene Juan?
- Resolver la ecuación 3x -5 = 7 + 5x
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Vamos a analizar algunos problemas que
dan lugar a ecuaciones con paréntesis;
las traducimos y luego, resolvemos las
ecuaciones.
Ejemplo: Encuentra tres números enteros
consecutivos que sumen 108.
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Ejemplo: Un tren salió de una ciudad a
una velocidad de 50 km por hora. Tres
horas más tarde salió otro del mismo
punto y en la misma dirección. Si el
segundo tren iba a 75 km por hora,
¿cuánto tiempo tardó en alcanzar al
primero?
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A veces, las ecuaciones son fórmulas con
diferentes variables. Generalmente se les
llama ecuaciones literales. Estas se
resuelven para una de esas variables,
despejándola. Todo el procedimiento que
se sigue es el mismo.
Ejemplo: Resuelve para F la siguiente
ecuación.
9 (C + 40) = 5 (F + 40)
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Recuerda que: Para resolver ecuaciones
con paréntesis procedemos así:
1°. Suprimimos los paréntesis.
2°. Resolvemos la ecuación que resulta.
- Al suprimir los paréntesis, nos fijamos
qué operación está indicada. Si es suma,
los suprimimos sin ningún cambio.
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Si es resta, los suprimimos cambiando el
signo a todos los términos del paréntesis.
Si es multiplicación, los suprimimos
aplicando la propiedad distributiva.
Ejemplo: Resolver la ecuación
27x – (3x – 9) = 3(x + 10).
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Ejercicio: Encuentra la solución de las
siguientes ecuaciones.
1.- (3x + 4) + x = 2x – 5
2.- 9m – (m – 4) = 3 + (m – 6)
3.- -10x = -6(4 + 3x)
4.- 2x + 3(x – 2) = 18
5.- -(4x – 17) = 6(x – 3)
6.- 4(x -2) = -5(x +12)
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Una ecuación con coeficientes
fraccionarios se resuelve multiplicando
ambos miembros de ésta por el mínimo
común múltiplo de los denominadores.
Se resolverán algunos problemas, a
manera de ejemplo, que requieran
ecuaciones lineales con coeficientes
fraccionarios.
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Ejemplo: Un problema del papiro
matemático Rhind (1800 a. n. e) dice:
“Una cantidad más su sétima parte es
19”. El enunciado lleva la intención de
preguntar por la cantidad. Es un
enunciado simple cuya expresión
simbólica es:
x
x + = 19
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Ejemplo: La tercera parte de un ángulo
sumada con 9° es igual a la quinta parte
del mismo ángulo sumado en 11°. ¿Cuál
es el valor del ángulo?
El proceso de resolución de una ecuación
de primer grado se basa en aplicar
procedimientos algebraicos que van
transformando la ecuación original en
otras más simples.
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Recuerda que: Para resolver ecuaciones
con coeficientes fraccionarios
procedemos así:
1º.- Multiplicamos toda la ecuación por el
menor denominador común para quitar
denominadores.
2º.- Ya convertida la ecuación a
expresiones enteras, seguimos el
procedimiento conocido hasta despejar la
variable.
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Ejercicio: Resuelve las siguientes
ecuaciones con fracciones.
1.-
x 7
+ 1 = 12
2 3
3.- 2 x
5
=6
2.- 2x + 7
4
4.- 3x
7
3
=x
4
x
= 52
6
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En ocasiones se nos presentan ecuaciones
que pueden ser expresadas como otras
ecuaciones lineales, después de varias
transformaciones algebraicas. Algunas
son las llamadas ecuaciones literales
que se resuelven para una u otras
variables.
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Ejemplo: Resolver para y la ecuación
3x – 6y = 8
Ejemplo: Resolver para C la fórmula
F = 9/5 C + 32
Algunas ecuaciones aparentemente no son
lineales porque la incógnita se encuentra
elevada a un exponente mayor que 1 o
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aparece en el denominador de una
fracción; para resolverlas, es necesario
realizar operaciones que no alteren la
igualdad.
Ejemplo: Resolver la ecuación
2x (x + 5) = -x (10 – 2x) + 100
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Ejercicio: Resuelve las siguientes
ecuaciones.
1.- x2 – 2x + 15 = x + x2 – 3
2.- -2m2 – 3m = m (-2x – 6) – 930
3.- 5c + 8d = 13 despeja “d”
4.- 5 (x + a) = 10 (x – 2a) despeja “x”
5.- (w – 1) (w + 1) = w2 – 2w + 3
6.- (a + 8)2 + 12 = (-a – 2)2 – 5
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