Posición Relativa de dos rectas
Transversales
Paralelas
Coincidentes
1
Sistema de Ecuaciones

Dadas dos rectas, cada una de ellas está
representada por una ecuación lineal.

Los puntos de intersección deben verificar
ambas ecuaciones
A 1x + B1y = C 1
A 2x + B2y = C 2
2
Sistema de Ecuaciones

Decir que las rectas son transversales es lo
mismo que decir que el sistema de ecuaciones
tiene una única solución.

Decir que son paralelas equivale a decir que el
sistema no tiene solución.

Decir que son coincidentes es lo mismo que
decir que las dos ecuaciones son
equivalentes.
3
Ejemplo 1

Sean las rectas de ecuaciones
L1 : 2x – y = -1
L2 : x – y = 2
El sistema admite una única solución
1
x
;
3
5
y
3
Por lo tanto, las rectas son transversales y se cortan en
1 5
P   , 
3 3
4
Ejemplo 1
5
Ejemplo 2

Sean las rectas de ecuaciones
L1 : 2x – y = – 3
L2 : – 6x + 3y = – 6

Multiplicando la primer ecuación por -3 obtenemos
un sistema equivalente
6x – 3y = – 9
6x – 3y = – 6

Restando ambas ecuaciones obtenemos 0= – 15 lo
cual no puede ser. El sistema NO tiene solución.
6
Ejemplo 2
7
Ejemplo 3

Sean las rectas de ecuaciones
L1 : 4x – 8y = -12
L2 : – x + 2y = 3

Multiplicando la segunda ecuación por -4 obtenemos
la primera. Es decir, ambas ecuaciones en realidad
son la misma ecuación. Las rectas coinciden.
8
Otra forma: comparar los vectoresdirección

También podemos ver la posición relativa
de dos rectas comparando sus vectoresdirección.
9
Ejemplo 1



Sean las rectas de ecuaciones
L1 : 2x – y = -1
L2 : x – y = 2
Sus vectores normales son n1= (2, -1) y
n2= (1, -1) respectivamente. Por lo tanto, sus
vectores directores son u1= (1, 2) y u2= (1, 1),
que obviamente no son paralelos porque sus
coordenadas no son proporcionales.
Entonces las rectas se cortan.
10
Ejemplo 2

Sean las rectas de ecuaciones
L1 : 2x – y = – 3
L2 : – 6x + 3y = – 6

Sus vectores normales son n1= (2, -1) y
n2= (-6, 3) respectivamente. Por lo tanto, sus
vectores directores son u1= (1, 2) y u2= (3, 6),
que son paralelos porque sus coordenadas son
proporcionales.
Entonces las rectas son paralelas o coincidentes.

11
Ejemplo 2

1.
2.
Para saber en qué caso estamos podemos hacerlo de dos
formas:
Tomar un punto de una recta y probar si pertenece a la otra.
En caso afirmativo son coincidentes y en caso negativo son
paralelas.
Observar si las dos ecuaciones, además de sus coeficientes
proporcionales, tienen también sus términos independientes
proporcionales. En ese caso son coincidentes, en caso
contrario paralelas.
L1 : 2x – y = – 3
L2 : – 6x + 3y = – 6
L1 y L2 son paralelas porque
2
1  3


6 3 6
12
Ejemplo 3

Sean las rectas de ecuaciones
L1 : 4x – 8y = -12
L2 : – x + 2y = 3

Sus vectores normales son n1= (4, -8) y
n2= (-1, 2) respectivamente. Por lo tanto, sus
vectores directores son u1= (8, 4) y u2= (2, 1),
que son paralelos porque sus coordenadas son
proporcionales.
Entonces las rectas son paralelas o coincidentes.

13
Ejemplo 3

En este caso L1 y L2 son coincidentes porque
4  8 12


1 2
3
14
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Coordenadas rectangulares en el plano