Capítulo 38A - Relatividad
Presentación PowerPoint de
Paul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State University
©
2007
Objetivos: Después de completar
este módulo deberá:
• Establecer y discutir los dos postulados de
Einstein concernientes a la relatividad
especial.
• Demostrar su comprensión de la dilatación
del tiempo y aplicarla a problemas físicos.
• Demostrar y aplicar las ecuaciones de
longitud, cantidad de movimiento, masa y
energía relativistas.
Relatividad especial
La Teoría Especial de la Relatividad de Einstein,
publicada en 1905, se basó en dos postulados:
I. Las leyes de la física son las mismas para
todos los marcos de referencia que se
mueven a velocidad constante uno con
respecto a otro.
II. La rapidez de la luz c en el espacio libre es
constante para todos los observadores,
independiente de su estado de movimiento.
(c = 3 x 108 m/s)
Reposo y movimiento
¿Qué se quiere decir cuando se habla de que un
objeto está en reposo... o en movimiento? ¿Hay algo
en reposo?
A veces se dice que hombre,
computadora, teléfono y
escritorio están en reposo.
Se olvida que la Tierra
también está en movimiento.
Lo que realmente se quiere decir es que todos están en
movimiento con la misma velocidad. Sólo se puede
detectar el movimiento con respecto a algo más.
No hay marco de referencia preferido
¿Cuál es la velocidad de
este ciclista?
No se puede decir sin un
marco de referencia.
25 m/s
oeste
este
10 m/s
Tierra
Suponga que la bicicleta se mueve a 25 m/s, O en relación
con la Tierra y que la plataforma se mueve a 10 m/s, E en
relación con la Tierra.
¿Cuál es la velocidad de la bicicleta en relación con la
plataforma?
Suponga que la plataforma es la referencia, entonces
observe el movimiento relativo de Tierra y bicicleta.
Referencia para el movimiento
(Cont.)
Para encontrar la velocidad de la bicicleta relativa a
la plataforma, debe imaginar que está sentado en la
plataforma en reposo (0 m/s) con relación a ella.
Vería a la Tierra moviéndose al oeste a 10 m/s y a la
bicicleta al oeste moviéndose al oeste a 35 m/s.
Tierra como referencia
25 m/s
oeste
Tierra 0 m/s
Plataforma como referencia
35 m/s
este
10 m/s
oeste
10 m/s
este
0 m/s
Marco de
referencia
Considere las
velocidades de tres
diferentes marcos de
referencia.
Plataforma como referencia
35 m/s
oeste
10 m/s
este
0 m/s
Tierra como referencia
25 m/s
este
10 m/s
oeste
Tierra 0
Bicicleta como referencia
0 m/s
oeste
25 m/s
este
35 m/s
Rapidez de la luz constante
Plataforma v = 30 m/s a la derecha en relación con el suelo.
c
10 m/s
c
10 m/s
Velocidades observadas
dentro del carro
c
20 m/s
c
40 m/s
Velocidades observadas
desde afuera del carro
La luz de dos linternas y las dos bolas viajan en
direcciones opuestas. Difieren as velocidades
observadas de la bola, pero la rapidez de la luz
es independiente de la dirección.
Rapidez de la luz (Cont.)
La plataforma se mueve a 30 m/s a la derecha en relación con
el niño.
c
10 m/s
c
10 m/s
30
m/s
Cada observador ve
c = 3 x 108 m/s
El observador externo ve
velocidades muy diferentes para
las bolas.
La rapidez de la luz no es afectada por el
movimiento relativo y es exactamente igual a:
c = 2.99792458 x 108 m/s
Eventos simultáneos
El juicio de los eventos simultáneos también es cuestión de
relatividad. Considere al observador OT sentado en el tren
en movimiento mientras el observador OE está en el suelo.
No simultáneos
A
AT
AE
OT
B
En t = 0, el
relámpago golpea
tren y suelo en A y B.
BT El observador O ve los
E
Simultáneos
OE
BE
eventos relámpago AE y
BE como simultáneos.
El observador OT dice que el evento BT ocurre antes
que el evento AT debido al movimiento del tren.
¡Cada observador tiene razón!
Mediciones de tiempo
Dado que la medición de
tiempo involucra juicios
acerca de eventos
simultáneos, se puede ver
que el tiempo también se
puede afectar por el
movimiento relativo de los
observadores.
De hecho, la teoría de Einstein muestra que los
observadores en movimiento relativo juzgarán
los tiempos de modo diferente; más aún, cada
uno tiene razón.
Tiempo relativo
Considere el carro que se mueve con velocidad v
bajo un techo con espejos. Un pulso de luz viaja al
techo y regresa en el tiempo Dto para el pasajero y
en el tiempo Dt para el observador.
d
c
Dto
2d
D t0
Trayectoria de
luz para el
pasajero
c
2R
Dt
R
x
d
Dt
Trayectoria de
luz para el
observador
R
R
cDt
2
; x
vDt
2
Tiempo relativo (Cont.)
d
c
c
2d
D t0
Dto
Trayectoria de
luz para el
pasajero
Sustitución de:
c D t0
d 
2
2Dt
Dt
v 2Dt
2
d
R
2
 c 
 v 
2


d




 2Dt 
 2Dt 
2
 c Dt


 2Dt 
2
2
D
t
0
  v    c D t 0 

 2 2

 21Dt v c 2 
Ecuación de dilatación del tiempo
Ecuación de dilatación
del tiempo de
Einstein:
Dt 
D t0
1 v
2
c
2
Dt = tiempo relativo (tiempo medido en un marco que
se mueve en relación con el evento real).
Dto= tiempo propio (tiempo medido en el mismo marco
que el evento mismo).
v = velocidad relativa de dos marcos.
c = rapidez de la luz en el espacio vacío (c = 3 x 108
m/s).
Tiempo propio
La clave para aplicar la ecuación de dilatación del
tiempo es distinguir claramente entre tiempo propio
Dto y tiempo relativo Dt. Observe el ejemplo:
Marco
del
evento
d
Dto
Tiempo
propio
Marco relativo
Dt
Tiempo
relativo
Dt > Dto
Ejemplo 1: La nave A pasa a la nave B con una
rapidez relativa de 0.8c (ocho por ciento la
rapidez de la luz). Una mujer a bordo de la nave
B tarda 4 s en caminar la longitud de su nave.
¿Qué tiempo registra el hombre en la nave A?
Tiempo propio Dto = 4 s
Encontrar tiempo relativo Dt
Dt 
Dt 
B
D t0
1 v
2
c
4 .0 0 s
2
A
1 - (0 .8 c ) / c
v = 0.8c
2

2
4 .0 0 s
1 - 0 .6 4
Dt = 6.67 s
Paradoja de los gemelos
Un par de
gemelos está en
la Tierra. Uno
sale y viaja
durante 10 años
a 0.9c.
Cuando el viajero
regresa, ¡es 23 años
más viejo debido a la
dilatación del
tiempo!
Dt 
D t0
1 v
2
c
2
¡El viaje duplica la
edad del viajero!
Paradoja: Puesto que el
movimiento es relativo, ¿no es
cierto también que el hombre
que permaneció en la Tierra
debe ser 23 años más viejo?
Explicación de la paradoja de los
gemelos
El movimiento del
gemelo viajero no era
uniforme. Se
necesitaban
aceleración y fuerzas
para ir a y regresar del
espacio.
El viajero
envejece más y
no el que se
quedó en casa.
¡El gemelo viajero
envejece más!
Esto NO es ciencia ficción. Relojes
atómicos colocados a bordo de
aviones que dan la vuelta a la
Tierra y regresan han verificado la
dilatación del tiempo.
Contracción de la longitud
Como el movimiento relativo
afecta al tiempo, la longitud
también será diferente:
L  L0 1  v
2
c
2
0.9c
Lo
L
Lo es longitud propia
L es longitud relativa
Los objetos en movimiento se acortan debido a la
relatividad.
Ejemplo 2: Un metro se mueve a 0.9c en
relación con un observador. ¿Cuál es la
longitud relativa que ve el observador?
L  L0 1  v
2
c
L  (1 m ) 1  (0.9 c ) / c
2
Lo 1 m
2
0.9c
2
L = ¿?
L  (1 m ) 1  0.81  0.436 m
Longitud registrada por el observador: L = 43.6 cm
Si el observador en el suelo sostiene un metro,
desde la nave se vería la misma contracción.
Acortamiento de los objetos
Note que es la longitud en la dirección del
movimiento relativo la que se contrae y no las
dimensiones perpendiculares al movimiento.
Suponga que cada uno
sostiene un metro.
Si el metro tiene 2 cm de
ancho, cada uno dirá que
el otro sólo tiene 0.87
cm de ancho, pero
concordarán en la
longitud.
Wo
0.9c
1 m =1 m
W<Wo
Cantidad de movimiento relativista
Las leyes básicas de conservación para cantidad de
movimiento y energía no se pueden violar por la relatividad.
La ecuación de Newton para cantidad de movimiento (mv)
se deben cambiar del modo siguiente para explicar la
relatividad:
Cantidad de
movimiento
relativista:
p
m0v
1 v
2
c
2
mo es la masa propia, con frecuencia llamada
masa en reposo. Note que, para grandes
valores de v, esta ecuación se reduce a la
ecuación de Newton.
Masa relativista
Si se debe conservar la cantidad de movimiento, la masa
relativista m debe ser consistente con la siguiente ecuación:
Masa
relativista:
m 
m0
1 v
2
c
2
Note que, conforme un objeto acelera por una
fuerza resultante, su masa aumenta, lo que
requiere todavía más fuerza. Esto significa que:
¡La rapidez de la luz es una rapidez final!
Ejemplo 3: La masa en reposo de un
electrón es 9.1 x 10-31 kg. ¿Cuál es la masa
relativista si su rapidez es 0.8c ?
m 
-
m0
1 v
m
2
c
mo = 9.1 x 10-31 kg
2
9.1 x 10
-31
1  (0.6 c )
m = 15.2 x
10-31
0.8c
kg
2
kg
c

2
9.1 x 10
-31
kg
0.36
¡La masa aumentó
67% !
Masa y energía
Antes de la teoría de la relatividad, los científicos
consideraban masa y energía como cantidades
separadas, cada una de las cuales se debe conservar.
Ahora masa y energía se
deben considerar como la
misma cantidad. ¡La masa
de una pelota de béisbol se
puede expresar en joules o
su energía en kilogramos!
El movimiento se agrega a
la masa-energía.
Energía relativista total
La fórmula general para la energía relativista
total involucra la masa en reposo mo y la
cantidad de movimiento relativista p = mv.
Energía total, E
E 
Para una partícula con cantidad
de movimiento cero p = 0:
Para una onda EM, m0 =
0, y E se simplifica a:
(m0c )  p c
2
2
E = m oc 2
E = pc
2
Masa y energía (Cont.)
El factor de conversión entre
masa m y energía E es:
Eo = moc2
El subíndice cero se refiere a valores propios o en reposo.
Un bloque de 1 kg sobre una masa tiene
una energía Eo y masa mo relativos a la
mesa:
Eo = (1 kg)(3 x 108 m/s)2
1 kg
Eo = 9 x 1016 J
Si el bloque de 1 kg está en movimiento relativo,
su energía cinética se agrega a la energía total.
Energía total
De acuerdo con la teoría de Einstein, la energía
total E de una partícula está dada por:
Energía total: E = mc2
(moc2 + K)
La energía total incluye energía en reposo y
energía de movimiento. Si está sólo interesado
en la energía de movimiento, debe restar moc2.
Energía cinética: K = mc2 – moc2
Energía cinética: K = (m – mo)c2
Ejemplo 4: ¿Cuál es la energía cinética de un
protón (mo = 1.67 x 10-27 kg) que viaja a 0.8c?
m 
m
+
m0
1 v
1.67 x 10
-27
1  (0.7 c )
2
2
kg
c
2
c
2

0.7c
mo = 1.67 x 10-27 kg
1.67 x 10
-27
0.51
kg
; m = 2.34 x 10-27 kg
K = (m – mo)c2 = (2.34 x 10-27 kg – 1.67 x 10-17 kg)c2
Energía cinética relativista K = 6.02 x 10-11 J
Resumen
La Teoría Especial de la Relatividad de Einstein,
publicada en 1905, se basó en dos postulados:
I. Las leyes de la física son las mismas para
todos los marcos de referencia que se
mueven con velocidad constante uno con
respecto al otro.
II. La rapidez de la luz c en el espacio libre es
constante para todos los observadores,
independiente de sus estados de
movimiento. (c = 3 x 108 m/s)
Resumen (Cont.)
Tiempo
relativista:
Dt 
D t0
1 v
2
c
2
Longitud
2
2
L  L0 1  v c
relativista:
Masa
relativista:
m 
m0
1 v
2
c
2
Resumen (Cont.)
Cantidad de
movimiento
relativista:
p
m0v
1 v
2
c
2
Energía total: E = mc2
Energía cinética: K = (m – mo)c2
CONCLUSIÓN: Capítulo 38A
Relatividad