Nociones Elementales de Matrices

Antes de ver la solución de los Sistemas de Ecuaciones Lineales
haremos un repaso de las fundamentos de las matrices.
1
Nociones Elementales de Matrices
2
Nociones Elementales de Matrices
3
Nociones Elementales de Matrices
4
Nociones Elementales de Matrices
5
Nociones Elementales de Matrices
6
Nociones Elementales de Matrices
7
Solución de sistemas de ecuaciones
lineales



Análisis de Circuitos (ecuaciones de malla y nodos)
Solución Numérica de ecuaciones diferenciales (Método de las
diferencias Finitas)
Solución Numérica de ecuaciones de integrales (Metodo de los
Elementos Finitos, Método de los Momentos)
 a11 a12
a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1
a
a22
a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b2
21

 




an1 x1  an 2 x2    ann xn  bn
an1 an 2
 a1n   x1   b1 
 a2 n   x2  b2 

       
   
 ann   xn  bn 
8
Consistencia (Solubilidad)


El sistema lineal de ecuaciones Ax=b tiene una solución, o es
consistente si y solo si
Rango{A}=Rango{A|b}
Un sistema es inconsistente cuando
Rango{A}<Rango{A|b}
Rank{A} es el máximo numero de columnas linealmente
independientes o filas de A. El rango puede ser encontrado usando
ERO (Elementary Row Oparations) ó ECO (Elementary column
operations).
9
Operaciones Elementales de filas (ERO)

Las siguientes operaciones aplicadas a la matriz aumentada[A|b],
producen un sistema lineal equivalente

Intercambios: El orden de dos filas pueden ser cambiada

Escalado: Multiplicando un fila por una constante no cero

Reemplazo: Las filas pueden ser reemplazadas por la suma de
esa fila y un múltiplo distinto a cero de cualquier otra fila
10
Un ejemplo inconsistente
1 2  x1  4
 2 4  x   5 

 2   
ERO:Multiplicar la primera fila por -2 y
sumar la segunda fila
1 2 
0 0 


Rank{A}=1
1 2 4 
0 0  3


Rank{A|b}=2
Entonces
este sistema
de
ecuaciones
no es soluble
11
Unicidad de las soluciones

El sistema tiene una única solucion si y solo si
Rango{A}=Rango{A|b}=n
n es el orden del sistema

Tales sistemas son llamados sistemas full-rank (rango completo)
12
Sistemas rango completo (Full-rank)

Si Rango{A}=n
Det{A}  0  A es nonsingular por lo tanto invertible
Solución Única
1 2   x1  4
1  1  x   2

 2   
13
Matrices de rango deficiente

Si Rango{A}=m<n
Det{A} = 0  A is singular por lo tanto no es invertible
número infinito de soluciones (n-m variables libres)
sistema sub-determinado
1 2  x1  4
 2 4   x   8 

 2   
Rank{A}=Rank{A|b}=1
Consistente  soluble
14
Sistema de ecuaciones
mal-condicionadas

Una pequeña desviación en las entradas de la matriz A,
causa una gran desviación en la solución.
2   x1   3 
 x1  1
 1
0.48 0.99  x   1.47   x   1
 2  

 2  

 x1  3
2   x1   3 
 1
 




0.49 0.99  x  1.47
x2  0 


 2  

15
Mal condicionada (continua.....)

Un sistema lineal de
ecuaciones se dice a
ser “mal
condicionada” si la
matriz de coeficientes
tiende a ser singular
16
17
Tipos de ecuaciones de sistemas lineales
a ser estudiados

Los coeficientes reales de la matriz cuadrada A

EL vector b es diferente de cero y real

Sistema consistente, soluble

Sistemas rango completo, solución única

Sistemas bien-condicionados
18
Técnicas de Solución

Métodos directos de solución



Encuentra una solución en un número finito de operaciones
transformando el sistema en un sistema equivalente que sea
' más fácil ' de solucionar.
Triangulares diagonales, .
Métodos de solución Iterativos


Calcula las aproximaciones sucesivas del vector solución para
una mat. A y un b dados, comenzando de un punto inicial x0
Total del · de operaciones es incierto, puede que no converja.
19
Métodos de solución directa
Eliminación Gaussiana


 a11
 

 ai1

 
an1
 a1i
 
 aii

 ani
Usando ERO, la matriz A es transformada en una
matriz triangular superior (todos los elementos
debajo de la diagonal son cero).
Sustitución hacia atrás es usada para resolver un
sistema triangular superior
 a1n   x1   b1 
       
 ain   xi    bi 
   
       
 ann   xn  bn 
a11


 0

ERO  
 0
 a1i  a1n   x1   b1 
 
       
~
 a~ii  a~in   xi    bi 
   
        
~
 0  a~nn   xn  bn 
Back substitution

20
Primer paso de la eliminación
Elemento pivotal  a11
(1)
 (1)
 a21
(1)
 a31

 
 a (1)
 n1
(1)
(1)
m2 ,1  a21
/ a11
(1)
(1)
m3,1  a31
/ a11

(1)
mn ,1  an(11) / a11
(1)
a11

 0
 0

 
 0

(1)
a12
(1)
a13

(1)
a22
(1)
a23

(1)
a32
(1)
a33




an(12)
an(13)

(1)
a12
(1)
a13

( 2)
a22
( 2)
a23

( 2)
a32
( 2)
a33




an( 22)
an( 23)

b1(1) 
a1(1n)   x1 

 (1) 

a2(1n)   x2 
b2 
a3(1n)   x3   b3(1) 





 
  

(1)  
(1) 


x
ann
b
 n 
 n 
 b1(1) 
a1(1n)   x1 
 
 ( 2) 
a2( 2n)   x2 
b2 
a3( 2n )   x3   b3( 2 ) 
 



  
  
( 2)  
( 2) 


x
ann
b
 n 
 n 
21
Segundo paso de la eliminación
(1)
 a11

Elemento Pivotal 0
 0

 
 0

( 2)
( 2)
m3, 2  a32
/ a22

( 2)
mn , 2  an( 22) / a22
(1)
a11

 0
 0

 
 0

(1)
a12
(1)
a13

( 2)
a22
( 2)
a23

( 2)
a32
( 2)
a33




an( 22)
an( 23)

(1)
a12
(1)
a13

( 2)
a22
( 2)
a23

0
( 3)
a33




0
an( 33)

a1(1n)   x1   b1(1) 
  

a2( 2n)   x2  b2( 2 ) 
a3( 2n)   x3   b3( 2 ) 
  

      
( 2)  
b ( 2 ) 

x
ann
n



 n 
a1(1n)   x1   b1(1) 
  

a2( 2n)   x2  b2( 2 ) 
a3( 3n)   x3   b3( 3) 
  

      
( 3)  
b ( 3 ) 

x
ann
n



 n 
22
Algoritmo de la Eliminación Gaussiana
mr , p  arp( p ) / a (ppp )
arp( p )  0
br( p1)  br( p)  mr , p  bp( p)
For c=p+1 to n
( p1)
rc
a
a
( p)
rc
 mr , p  a
( p)
pc
23
Algoritmo de la sustitución
hacia atrás
(1)
a11

 0
 0

 
 0


 0
(1)
a12
(1)
a13

( 2)
a22
0
( 2)
a23
( 3)
a33





0
0
0
0
an( n1) n 1
0
bn( n )
xn  ( n )
ann
1
xi  (i )
aii
xn 1 
 b1(1) 
a1(1n)   x1 

 ( 2) 

a2( 2n)   x2 
 b2 
 b3( 3) 
a3( 3n)   x3 



   
  
b ( n 1) 
an( n1) n   xn 1 
n 1





(n)
(n)
ann 

 xn 


 bn 

1
a
( n 1)
n 1n 1
b
( n 1)
n 1
 ann11n xn

n
 (i )

(i )
bi   aik xk  i  n  1, n  2, ,1
k i 1


24
Contador de Operaciones





Número de operaciones aritméticas requeridas por el
algoritmo para completar esta tarea.
Generalmente solo multiplicaciones y divisiones son
contadas.
3
2
n
n
5n
Proceso de Eliminación
 
Sustitución hacia atrás
Total
n3
n
2
n 
3
3
3 2
n2  n
2
6
Dominates
No eficiente para
diferentes vectores RHS
25
Decomposición LU
A=LU
Ax=b LUx=b
Define Ux=y
Ly=b
Resolver y por sustitución hacia adelante
Ux=y
Resolver x por sustitución hacia atrás
Las operaciones elementales entre filas debe ser desarrolladas en
b así como en A.
La información de estas operaciones es almacenada en L
En verdad y es obtenida aplicando operaciones elementales al
vector b.
26
Decomposición LU por Eliminación
Gausiana
Existen infinitas formas diferentes para descomponer A.
Una de las más populares es: U=Matriz de la Eliminación Gaussiana
L=Multiplicadores usados para la eliminación
0
0
 0 0 a11(1) a12(1) a13(1)
 1

a1(1n) 
m

( 2)
( 2)
( 2) 
1
0

0
0
0
a
a

a
22
23
2n 
 2,1

( 3)
 m3,1
m3, 2
1
 0 0  0
0 a33

a3(3n) 
A







0



 

 
mn 1,1 mn 1, 2 mn 1,3  1    0
0
0 an( n1) n 1 an( n1) n 



(n)
mn , 2
mn ,3 mn , 4  1  0
0
0
0
ann 
 mn ,1
Almacenamiento Compacto: Las entradas diagonales de la matriz L son
todos unos, estos no necesitan almacenarse. LU es almacenado en una
matriz.
27
Contador de Operaciones

A=LU Descomposición
n3 n

3 3

Ly=b Sustitución hacia adelante

Ux=y Sustitución hacia atrás

n3
n
2
n 
3
3

Total
n2  n
2
2
n n
2
Para diferentes vectores RHS, el sistema puede ser
eficientemente resuelto.
28
Pivoteo





Computadoras usan precisión aritmética finita
Pequeños errores son introducidos en cada operación
aritmética, propagación de errores
Cuando los elementos pivotales son muy pequeños, los
multiplicadores podrían ser muy grandes.
La adición de números de magnitud diferente puede
conducir a la pérdida de significación .
Para reducir el error, se realiza intercambio de filas
para maximizar la magnitud del elemento pivotal.
29
Ejemplo: Sin Pivoteo
aritmética 4-digit
1.133 5.281   x1  6.414
24.14  1.210  x   22.93

 2  

24.14
m21 
 21.31
1.133
1.133 5.281   x1   6.414 
0.000  113.7  x    113.8

 2  

 x1  0.9956
 x    1.001 

 2 
Pérdida de precisión
30
Ejemplo: Con Pivoteo
24.14  1.210  x1  22.93
1.133 5.281   x   6.414

 2  

1.133
m21 
 0.04693
24.14
24.14  1.210  x1  22.93
0.000 5.338   x   5.338

 2  

 x1  1.000
 x   1.000

 2 
31
Procedimiento de Pivoteo
a11(1)

 0
 0

Parte


Eliminada
 0

 
 0

 

 0
a12(1)
( 2)
a22
0

0

0

0
a13(1)  a1(i1)  a1(1j)  a1(1n) 
( 2)
( 2)
( 2)
( 2) 
a23  a2i  a2 j  a2 n 
a33(3)  a3(3i )  a3(3j)  a3( 3n) 

       
0  aii(i )  aij( i )  ain( i )  Fila
 Pivotal
       
0  a (jii )  a (jji )  a (jni ) 

       
(i )
(i )
(i ) 
0  ani  anj  ann 
Columna Pivotal
32
Pivoteo por fila

Más comúnmente llamado procedimiento de
pivoteo parcial

Busque la columna pivotal

Encuentre el mas grande elemento en magnitud

Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.
33
Pivoteo por filas
a11(1)

 0
 0

 
 0

 
 0

 

 0
a12(1)
( 2)
a22
0

0

0

0
a13(1)  a1(i1)  a1(1j)  a1(1n) 
( 2)
( 2)
( 2)
( 2) 
a23  a2i  a2 j  a2 n 
a33(3)  a3(3i )  a3(3j)  a3( 3n)  Intercambio
 de filas
       
0  aii(i )  aij( i )  ain( i ) 

       
0  a (jii )  a (jji )  a (jni ) 

       
(i )
(i )
(i ) 
0  ani  anj  ann 
El más grande en magnitud
34
Pivoteo por columna
a11(1)

 0
 0

 
 0

 
 0

 

 0
a13(1)  a1(i1)  a1(1j)  a1(1n) 
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
( 2) 
a22 a23  a2i  a2 j  a2 n 
0 a33(3)  a3(3i )  a3(3j)  a3( 3n) 


       
0
0  aii(i )  aij( i )  ain( i ) 


       
0
0  a (jii )  a (jji )  a (jni ) 


       
(i )
(i )
(i ) 
0
0  ani  anj  ann 
Intercambio de
Estas columnas
a12(1)
El mas
grande
en
magnitud
35
Pivoteo Completo
a11(1)

 0
 0

 
 0

 
 0

 

 0
a13(1)  a1(i1)  a1(1j)  a1(1n) 
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
( 2) 
a22 a23  a2i  a2 j  a2 n 
0 a33(3)  a3(3i )  a3(3j)  a3( 3n)  Intercambie
 estas filas

       
0
0  aii(i )  aij( i )  ain( i ) 


       
0
0  a (jii )  a (jji )  a (jni ) 


        Más grande
(i )
(i )
(i ) 
0
0  ani  anj  ann  en magnitud
Intercambie
36
estas columnas
a12(1)
Pivoteo por filas en Descomposición LU



Cuando dos filas de A se
intercambian, las filas de
b deben también ser
intercambiadas.
Use un vector pivote.
Vector pivote inicial son
enteros desde 1 hasta n.
Cuando dos filas (i y j)
de A son intercambiadas,
aplicar esto al vector
pivote.
1 
2
 
3
 

p  i 
 

 j
 

n 
 
1 
2
 
3
 

p   j
 

i 
 

n 
 
37
Modificando el vector b


Cuando se realiza la
1 
descomposición LU de A, el
 3
 
vector pivote nos da el
 2
orden de las filas después
 
del intercambio.
 4
Antes
de
aplicar
la p  8
sustitución hacia adelante
6 
7 
para
resolver
Ly=b,
 
modificar el orden del
5 
vector b de acuerdo a las
9 
 
entradas del vector pivote.
 7.3 
 7 .3 
 8.6 
  1. 2 




  1.2 
 8. 6 




4
.
8
4
.
8




b   9.6  b   3.5 




5
.
2


 5. 2 
 2.7
  2. 7 




 3.5 
 9. 6 
  6.9
  6. 9 




38
Descomposición LU
algoritmo con pivoteo parcial
ark  a pk then p  r
Columna para una
entrada máxima
Intercambio
t  akc , akc  a pc , a pc  t de filas
mr ,k  ark( k ) / akk( k )
Actualizando la matriz L
ark( k 1)  mr ,k
Actualizando la
matriz U
For c=k+1 to n
( k 1)
rc
a
a
(k )
rc
 mr ,k  a
(k )
kc
39
Ejemplo
3
2
0
 12 
A   4  2 1  b   5
 1
 3 
4  2
1 
p  2
3
Intercambio de columnas: Máxima magnitud segunda fila
Intercanbio de la 1era y 2da fila
 4  2 1 
A   0
3
2 
 1
4  2
2
p  1 
3
40
Ejemplo (continuación)...
 4  2 1 
A   0
3
2 
 1
4  2
2
p  1 
3
Elimación de a21 y a31 usando a11 como elemento pivotal
A=LU en forma compacta (en una sola matriz)
1 
 4  2
A   0
3
2 
 0 3.5  1.75
 2
p  1
3
Multiplicadores (matriz L) l21=0; l31=-0.25
41
Ejemplo (continuación)...
1 
 4  2
A   0
3
2 
 0 3.5  1.75
 2
p  1
3
Columna encontrada: Maxima magnitud en la tercera fila
Intercambio de la 2da y 3era fila
1 
 4  2
A   0 3.5  1.75
 0
3
2 
 2
p  3
1
42
Ejemplo (continuación)...
1 
 4  2
A   0 3.5  1.75
 0
3
2 
 2
p  3
1
Eliminar a32 usando a22 como elemento pivotal
1 
 4  2
A   0 3.5  1.75
 0
0
3.5 
 2
p  3
1
Multiplicadores (matriz L) l32=3/3.5
43
Ejemplo (continuación)...
0
0   4  2
1 
 1
A   0.25
1
0  0 3.5  1.75
 0
3 / 3.5 1  0
0
3.5 
 2
p  3
1 
 2
 12 
  5
p  3 b   5  b   3 
1 
 3 
 12 
A’x=b’
LUx=b’
Ux=y
Ly=b’
44
Ejemplo (continuación)...
Ly=b’
0
0  y1   5
 1
 0.25
 y    3 
1
0

 2   
 0
3 / 3.5 1  y3   12 
Sustitución
Inversa
 y1    5 
 y   1.75
 2 

 y3  10.5
Ux=y
1   x1    5 
 4  2
 0 3.5  1.75  x   1.75

 2  

 0
0
3.5   x3  10.5
Sustitución
Directa
 x1  1 
 x   2
 2  
 x3   3 
45
Eliminación de Gauss-Jordan

(1)
a11
 (1)
a21
 
 (1)
an1
(1)
 a11

 0
 

 0
Los elementos sobre la diagonal se convierten y por
debajo de la diagonal son ceros.
(1)
a12
(1)
a22


a1(1n)
a2(1n)



an(12)

(1)
ann
0
( 2)
a22


( 2)
ann
( 2)
ann

0



( 3)
ann
b1(1) 

b2(1) 
 
(1) 
bn 
(1)
 a11

 0
 

 0
b1( 2 ) 

b2( 2 ) 
 
( 3) 
bn 
(1)
a11

 0
 

 0
(1)
a12
( 2)
a22


a1(1n)
a2( 2n)


an( 22)


( 2)
ann
0
( 2)
a22


0
0

0



(n)
ann
b1(1) 

b2( 2 ) 
 

bn( 2 ) 
b1( n 1) 

b2( n 1) 
 
(n) 
bn 
46
Eliminación de Gauss-Jordan


Casi 50% mas de operaciones aritméticas que la
Eliminación Gaussiana.
Gauss-Jordan (GJ) Eliminación es preferible cuando la
inversa de una matriz es requirido.
A

I
Aplicar eliminación GJ para convertir A en una matriz
identidad.
I
1
A

47
Diferentes formas de factorización LU

Forma de Doolittle
Obtenida por
Eliminación Gaussiana


Forma de Crout
Forma de Choleski
 a11
a
 21
 a31
 a11
a
 21
 a31
a13   1
a23   l21
a33  l31
a12
a22
a32
a12
a22
a32
a13  l11
a23   l21
a33  l31
l11
l
 21
l31
0
l 22
l32
0
1
l32
0
l22
l32
0  l11
0   0
l33   0
0 u11
0  0
1  0
u12
u22
0
0  1 u12
0  0 1
l33  0 0
l12
l 22
0
u13 
u23 
u33 
u13 
u 23 
1 
l13 
l 23 
l33 
48
Forma de Crout
li1  ai1
a1 j
u1 j 
l 11

Cálculo de la primera columna de L

Cálculo de la primera fila de U

Cálculo alternado de las colum. de L y filas de U
j 1
lij  aij   lik ukj
j  i, i  1,2,, n
k 1
aij  k 1 lik ukj
i 1
uij 
lii
i  j,
j  2,3, , n
49
Secuencia de la reducción de Crout
 a11
a
 21
a31

a41
a12
a13
a22
a23
a32
a33
a42
a43
a14  l11 0 0 0  1 u12 u13 u14 
a24  l21 l22 0 0  0 1 u23 u24 



a34  l31 l32 l33 0  0 0
1 u34 
 


a44  l41 l42 l43 l44  0 0
0
1
1
3
5
2
4
6
7
Una entrada de la matriz A es useda solamente una vez
para calcular la Correspondiente entrada de las matrices
L o U .Así las columnas de L y las filas de U pueden ser
almacenadas en la matriz A
50
Factorización de Choleski






Si A es simétrica y definida positiva, entonces la factorización LU
Puede ser arreglada para que U = LT , la cual se obtiene de la
factorización de Choleski
A = LLT
Donde L es una matriz triangular inferior con diagonal con
entradas positivas
Algoritmo para el cálculo puede ser derivado por la ecuación
correspondiente a las entradas de A y LLt
En el caso de 2 × 2, por ejemplo,
Implica que:
51
Factorización de Choleski (continua)

Una forma de escribir el algoritmo general,es
52
Solución de Sistemas Lineales de ecuaciones
Complejas
Cz=w
C=A+jB
Z=x+jy
w=u+jv
(A+jB)(x+jy)=(u+jv)
(Ax-By)+j(Bx+Ay)=u+jv
A  B x  u 
 B A   y   v

   
Sistema lineal de ecuaciones reales
53
Sistemas grandes y Esparcidos


 a11
0

 a31

a41
 0
Cuando el sistema lineal es grande y esparcido (muchas
entradas ceros), los métodos directos llegan a ser
ineficientes por la presencia de términos de relleno.
Los términos de relleno son aquellos que resultan ser
diferentes de cero durante la eliminación
0
a13
a14
a22
0
0
a33
a24
0
a42
0
a44
0
a53
0
0
a11
0
0 
Eliminación
a35 
0


0
0
a55 
 0
0
a13
a14
a22
0
0

a33
0
0
a24

a34

a44
0
0
0
Términos
de
0  relleno
0 
 
a35


a45 
 
a55
54
Matrices Esparcidas




La matriz de ecuación de nodos es una matriz
esparcida.
Matrices Esparcidas son almacenadas eficientemente
almacenando solamente las entradas no cero.
Cuando del sistema es muy grande (n=10,000) los
términos de relleno aumentan los requerimientos de
almacenamiento considerablemente.
En tales casos los métodos de solución iterativa debe
ser preferidos en lugar de métodos de solución directa.
55
Problema 1

Resolver por Eliminación Gaussiana con pivoteo parcial
de filas:  4 0 2  3  x1    9 
 3  2 2  3  x   14

 2   

2
4  1 1   x3   9 

  

x

1
1
1

1

4

 4  




E2-(3/4)E1 =>E2
E3-(1/2)E1 =>E3
E4-(-1/4)E1=>E4
2
 3   x1    9 
4 0
0  2 0.5 0.75   x   7.25

 2   

0 4  2 2.5   x3   13.5 

  

x
0
1
1
.
5

1
.
75

6
.
25

 4  

56
Problema 1

Intercambiamos las Ecuaciones 2 y 3 (E2E3)
2
 3   x1    9 
4 0
0 4  2
  x   13.5 
2
.
5

 2   

0  2 0.5  0.75  x3   7.25

  

x
0
1
1
.
5

1
.
75

6
.
25

 4  



4
E3-(-1/2)E2 =>E3 0

E4-( 1/4)E2 =>E4 0

0
 3   x1    9 
4 2
2.5   x2    13.5 

0
2
 2.375  x3   9.625
  

0  0.5
0.5   x4    0.5 
0
2
57
Problema 1

E4-(-1/4)E3 =>E4
4
0

0

0

  x1    9 
4 2
2.5   x2    13.5 

0 2
 2.375   x3    9.625 
  

0 0  0.09375  x4   2.90625
0
2
3
Resolviendo por
sustitución hacia atrás:
 x4   31
 x  32
 3   
 x2   0 
   
 x1   5 
58
Problema 2

Obtener la factorización de Doolite:
6 1 
A

2

4



Solución 1
A partir de la Eliminacion Gaussiana:
1 
6
m21= a21/a11 =2/6=1/3
U 

0

13
/
3
E2-(1/3)E1=>E2


 1
L
m12
0  1 0
1 
 1 0 6
 A  L *U  
*





1 1 / 3 1
1
/
3
1
0

13
/
3

 

59
Problema 2
Solución 2
 1 0 u11 u12 
6 1 
A
 L *U  
*



l
1
0
u
2

4


22 
 21  
Planteando el producto matricial:
6  u11
1  u12
2  l21u11  l21  1 / 3
 4  l21u12  u22  u22  13 / 3

1 
6 1 
 1 0  6
A
 L *U  
*



2

4
1
/
3
1
0

13
/
3



 

60
Problema 3

Resolver por la factorización de Doolite:
6 1   x1  5
 2  4   x   6 

 2   


Solución
Del ejercicio anterior ya tenemos la factorización LU:
1   x1  5
 1 0 6
L *U * x  b  
*
 




1 / 3 1 0  13/ 3  x2  6
61
Problema 3
Se obtienen dos sistemas triangulares fáciles de resolver.
Resolviendo el sistema triangular inferior por sustitución
directa:
 1 0  z1  5  z1   5 
L* z  b  
*         


z
z
1
/
3
1
6
13
/
3

  2    2 

Resolviendo el sistema triangular superior por sustitución
directa:
1   x1   z1   5   x1   1 
6
U *x  z  
 
  




0  13/ 3  x2   z2  13/ 3  x2   1
62
Problema 4
Obtener la factorización de Crout:
60 30 20
A  30 20 15
20 15 12
Solucion

Debemos plantear la multiplicacion matricial:
 a11
A  a21
 a31
a12
a22
a32
a13 
l11 0
a23   L *U  l21 l22
l31 l32
a33 
0  1 u12
0  0 1
l33  0 0
u13 
u23 
1 
63
Problema 4
a11  l11
a12  l11u12
a13  l11u13
a21  l21

60 30 20
60 0 0  1 1 / 2 1 / 3
A  30 20 15  L *U  30 5 0  0 1
1 
20 15 12
20 5 1 / 3 0 0
1 
64
Problema 5
Método de Crout para sistemas tridiagonales
 a11
a
 21
0

0
a12
0
a22
a32
a23
a33
0
a43
0  l11 0
0  l21 l22

a34   0 l32
 
a44   0 0
0
0
l33
l43
0  1 u12
0  0 1
0  0 0

l44  0 0
0
u23
1
0
0
0 
u34 

1
0
0
0  1  1 / 2
0
0 
 2 1 0 0   2
 1 2  1 0   1 3 / 2 0
 0

0
1

2
/
3
0




 0  1 2  1  0  1 4 / 3 0  0
0
1
3 / 4

 


0
0

1
2
0
0

1
5
/
4
0
0
1

 


65
Problema 6
Factorizar por el método de Choleski la siguiente
matriz:
1
1 
4
 1 4.25 2.75


 1 2.75 3.5 
Solución
Se requiere que la matriz sea simétrica y definida
positiva para aplicar Choleski.
66
Problema 6
Es evidente que la matriz es simétrica; para
verificar que es definida positiva verificamos si se
satisface el criterio de Silvester:
det 4  0
 4
1  
0
det  



1
4
.
25


 4
1
1 



det   1 4.25 2.75   0
  1 2.75 3.5  


67
Problema 6
Dado que los determinantes de todos los menores
principales son positivos podemos afirma que la
matriz es definida positiva y podemos aplicar la
factorización de Choleski con seguridad.
A  L *U  L * L  U *U
T
 a11
A  a21
 a31
a12
a22
a32
a13 
l11 0
a23   L * LT  l21 l22
l31 l32
a33 
T
0  l11 l21
0   0 l22
l33   0 0
l31 
l32 
l33 
68
Problema 6
Resolviendo la multiplicación matricial:
 a 0 0  a b f 
 b c 0  0 c e 



d e f  0 0 f 
a 2  4



ba


1


2
0 0  2  1 / 2 1 / 2 
4.25  b 2  c 2
 


    1 / 2 2 0 0
2
3
/
2


1  ad
 
0
1 
2.75  db  ec
  1 / 2 3 / 2 1 0


3.5  d 2  e 2  f 2 
69