Transformación de Coordenadas
Dr. Rogerio
Cartesianas 2D a Polares
y
r  x  y
2
θˆ
y  sin 
2
2
( x, y )
r
rˆ

x  cos 
Si
 x  cos 
y  r sin 
  arctan
y
x
x  r co s 
r 1
y
y  sin 
x
y
x   sin 
θˆ
y  cos 
θˆ
rˆ

y  r sin 
ˆj

ˆ
i
x  r co s 
rˆ  cos  ˆi  sin  ˆj
θˆ   sin  ˆi  cos  ˆj
x
y
rˆ

θˆ
ˆj

ˆ
i
cos  ˆi  s i n  ˆj  rˆ
 sin  ˆi  c o s  ˆj  θˆ
x
 c os 

  sin 
sin    ˆi   rˆ 
 ˆ   ˆ 
c os    j   θ 
 
cosenos directores
z
r  x ˆi  yˆj  z kˆ
ˆ
k
( x, y, z )

r


y
ˆj
cos  
ˆ
i
r ˆi
r
ˆi

co s  
x
r
y
r
r 
x
x  y z
2
2
2
co s  
z
r
Rotación de Coordenadas Cartesianas
cos 

ángulo entre x ' y x
a x ' x  cos   x ' x
z
z'

y'
ˆ
i


x ' ˆi
a x ' z  cos   x ' z
ˆj '

 ˆi ' ˆi
a x ' y  cos   x ' y
ˆ
k
ˆ '
k
x ' ˆi
y
ˆj

ˆ
ˆ
i '  cos  ˆ
i  c o s  ˆj  c o s  k
ˆ
i '
x
s i m i la r m e n t e
ˆj '  c o s 
x'
y '
ˆ '  cos 
k
ˆ
i  cos 
z '
y '
ˆ
i  cos 
ˆj  c o s 
z '
ˆj  c o s 
y '
ˆ
k
z '
ˆ
k
z
z'
y'
ˆ
k
ˆ '
k
ˆ
i
ˆj '



ˆj
ˆ
i '
y
ˆ
ˆ
i '  cos  ˆ
i  c o s  ˆj  c o s  k
x
ˆj '  c o s 
x'
y'
ˆ '  cos 
k
ˆ
i  cos 
z'
y'
ˆj  c o s 
ˆ
i  c o s  z ' ˆj  c o s 
a x ' x  cos   x ' x
a x ' y  cos   x ' y
a x ' z  cos   x ' z
a y ' x  cos  y '  y ' x
a y ' y  cos  y '  y ' y
a y ' z  cos  y '  y ' z
a z ' x  cos  z '  z ' x
a z ' y  cos  z '  z ' y
a z ' z  c os  z '  z ' z
y'
ˆ
k
z'
ˆ
k
ˆ
ˆ
i '  cos  ˆ
i  c o s  ˆj  c o s  k
ˆj '  c o s 
y '
ˆ '  cos 
k
ˆ
i  cos 
z '
y '
ˆ
i  cos 
ˆj  c o s 
z '
ˆj  c o s 
a x ' x  cos   x ' x
a x ' y  cos   x ' y
a x ' z  cos   x ' z
a y ' x  cos  y '  y ' x
a y ' y  cos  y '  y ' y
a y ' z  cos  y '  y ' z
a z ' x  cos  z '  z ' x
a z ' y  cos  z '  z ' y
a z ' z  c os  z '  z ' z
 a xx

 a yx
a
 zx
a xy
a yy
a zy
ˆi   ˆi ' 

a xz 
ˆ ˆ 
a yz   j    j ' 
   
ˆ'
a zz  kˆ
k
   
y '
ˆ
k
z '
ˆ
k
ˆ
ˆ
i '  cos  ˆ
i  c o s  ˆj  c o s  k
ˆj '  c o s 
y '
ˆ '  cos 
k
 a xx

 a yx
a
 zx
a xy
a yy
a zy
ˆ
i  cos 
z '
y '
ˆ
i  cos 
ˆj  c o s 
z '
ˆj  c o s 
ˆ
ˆ
a xz   i   i ' 
ˆ ˆ 
a yz   j    j ' 
   
ˆ
a zz  kˆ
   k ' 
ˆ
ˆ '
i  cos  ˆ
i '  c o s  ˆj '  c o s  k
ˆj  c o s 
y '
ˆ  cos 
k
ˆ
i ' c o s 
z '
y '
ˆ
i ' c o s 
ˆj '  c o s 
z '
ˆj '  c o s 
y '
ˆ '
k
z '
ˆ '
k
a x ' x  cos   x x '  a xx
a x y  c os   x ' y
a xz  cos   x ' z
a yx  cos  y  y ' x
a yy  cos  y  y ' y
a yz  cos  y  y ' z
a zx  cos  z  z ' x
a z y  co s  z  z ' y
a z z  cos  z  z ' z
y '
ˆ
k
z '
ˆ
k
 a xx

 a yx
a
 zx
 a xx

 a xy
a
 xz
 a xx

A   a yx
a
 zx
a xy
a yy
a zy
a xz   a11
 
a yz   a 21

a zz   a 31
a xy
a yy
a zy
a yx
a yy
a yz
a12
a 22
a 32
ˆ
ˆ
a xz   i   i ' 
ˆ ˆ 
a yz   j    j ' 
   
ˆ
a zz  kˆ
   k ' 
ˆ
ˆ
a zx   i '   i 
ˆ  ˆ
a zy   j '    j 
   
ˆ
a zz  kˆ '
   k 
a13 

a 23

a 33 
 a11

a
 12
 a13
a 21
a 22
a 23
T
A   a ij   A   a ji 
S e intercam bian renglones por colum nas
a 31 

T
a 32  A

a 33 
 x, y, z 
r
ˆ
r  xˆ
i  yˆj  z k
 x ', y ', z ' 
ˆ
r '  x 'ˆ
i  y ' ˆj  z ' k
x '  a xx x  a xy y  a xz z
r'
ˆ
k
y '  a yx x  a yy y  a yz z
ˆj '
ˆ '
k
ˆj
ˆ
i
ˆ
i '
z '  a zx x  a zy y  a zz z
 a11

a
 21
 a 31
a13   x1   x '1 
  

a 23 x 2  x '2
  

a 33   x 3   x '3 
a12
a 22
a 32
3
 a11

a
 12
 a13
a 31   x '1   x1 

  
a 32 x '2  x 2

  
a 33   x '3   x 3 
a 21
a 22
a 23
3
xi 
a
j 1
ji
x 'j
x 'i 
a
j 1
ij
xj
 x, y, z 
r
ˆ
r  xˆ
i  yˆj  z k
 x ', y ', z ' 
r'
ˆ
k
ˆj '
ˆ '
k
ˆj
ˆ
i
a 31   x '1   x1 

  
a 32 x '2  x 2

  
a 33   x '3   x 3 
a 21
a 22
a 23
3
xi 
a
j 1
A x' x
T
 a11

a
 21
 a 31
a13   x1   x '1 
  

a 23 x 2  x '2
  

a 33   x 3   x '3 
a12
a 22
a 32
3
ˆ
i '
 a11

a
 12
 a13
ˆ
r '  x 'ˆ
i  y ' ˆj  z ' k
ji
x 'j
x 'i 
a
ij
xj
j 1
Ax  x '
N ote que para despejar una de las variab les
no es al estilo com un
y que
A x  A  A x '  x '
T
 AA
T
I
Cartesianas 3D a Esféricas
z
( x, y, z )

ˆ
k
r
r sin(90   )
 sin 90  cos   cos 90  sin   cos 
90  
ˆ
i
y
ˆj

z
( x , y , 0)
x
r cos(90   )  cos 90  cos   sin 90  sin   sin 
z
r sin 
r cos 

r
( x, y, z )
y

x
z
r 
z

r
  arccos 

x  y z
2
2
r
2
( x, y, z )
 y

 x
  arctan 

x
r sin 
r cos   z
y
z
( x, y, z )

r
r sin  cos 

r sin 
r cos 
x  r sin  cos 
y  r sin  sin 
x
r sin  sin 
z  r cos 
y
z
r sin 
r cos 

( x, y, z )
ˆ
r
rˆ
y
r cos 
r sin  cos 

x
ˆ
r sin  sin 
z
rˆ  sin  cos  ˆi  sin  sin  ˆj  cos  kˆ
sin 
cos 
ˆ

rˆ
cos 
ˆ
y

sin  cos 

x
ˆ
sin  sin 
cos 
sin 
φˆ  cos  cos  ˆi  cos  sin  ˆj  sin  kˆ
z
rˆ  sin  cos  ˆi  sin  sin  ˆj  cos  kˆ
sin 
ˆ
cos 
rˆ
ˆ

ˆ
y
cos 
sin  cos 

x
sin  sin 
φˆ  cos  cos  ˆi  cos  sin  ˆj  sin  kˆ
θˆ   sin  ˆi  cos  ˆj
rˆ  sin  cos  ˆi  sin  sin  ˆj  cos  kˆ
z
φˆ  cos  cos  ˆi  cos  sin  ˆj  sin  kˆ
θˆ   sin  ˆi  cos  ˆj

ˆ
rˆ
y
cos 
sin  cos 

x
sin 
ˆ
sin  sin 
rˆ  sin  cos  ˆi  sin  sin  ˆj  cos  kˆ
z
φˆ  cos  cos  ˆi  cos  sin  ˆj  sin  kˆ

ˆ
θˆ   sin  ˆi  cos  ˆj
rˆ
y
cos 
sin  cos 

x
sin 
ˆ
sin  sin 
 sin  cos 

cos  cos 

  sin 
sin  sin 
cos  sin 
cos 
ˆ
cos    i   rˆ 
   
 ˆ
 sin   j    φˆ 

   
ˆ
0  kˆ
   θ 
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