Centro de Competencias de la
Comunicación
Universidad de Puerto Rico en
Humacao
Interés simple e interés compuesto
Rolando Castro Amorós
junio, 2007
Menú
Introducción
Objetivo general
Para acceder a cada una de
las partes del menú,
presiona la parte deseada.
Objetivos específicos
Instrucciones de uso
y manejo del módulo
Entrar al módulo
Salir
l
Introducción
• Uno de los conceptos de matemáticas financieras más
difundidos y aplicados en la vida diaria es el de interés.
Pagamos interés al banco cuando hacemos un préstamo.
El banco nos paga interés por el dinero depositado en el
banco.
• En el financiamientos a corto plazo para la compra de
enseres y muebles se usa el interés simple.
• En el financiamiento a largo lplazo para la compra de autos
y casas se usa el interés compuesto.
• Este módulo va dirigido a todas las personas interesadas
en aprender a trabajar con el concepto de interés y
aplicarlo en su diario vivir.
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Objetivo general
Entender el concepto de interés simple y el de
interés compuesto, de tal manera, que se puedan
resolver y tomar decisiones en varias situaciones
comunes de finanzas que uno se encuentra en la
vida real.
l
Regresar menú
Objetivos específicos
Al finalizar el estudio del módulo, el/la usuario/a podrá…
• Distinguir entre interés simple e interés compuesto.
• Resolver problemas de interés simple.
• Resolver problemas de interés compuesto.
l
• Determinar tasa efectiva de interés.
• Determinar el valor futuro de una inversión.
• Evaluar alternativas de inversión para determinar cuál es
la mejor.
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Instrucciones
Para usar este módulo necesitarás:
Lápiz
Papel
Calculadora
l
Instrucciones
• Recomendamos que comiences seleccionando la opción
Pre-prueba. Trabajando la Pre-prueba, explorarás los
conocimientos que posees sobre el tema antes de
comenzar a estudiar el módulo.
• Selecciona la opción Entrar al módulo para pasar al
Menú Principal.
l
• Para seleccionar una opción presiona sobre ella.
• A través del módulo se presentan una serie de ejemplos
que debes estudiar.
Instrucciones
• A través del módulo se presentan una serie de ejercicios,
debes hacer y verificar sus respuestas.
• Al final del módulo se encuentra una post-prueba (similar a
la pre-prueba) con sus respectivas respuestas.
Recomendamos que trabajes la post-prueba para que
determines lo que aprendiste con el estudio del módulo.
l
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Menú principal
Pre-prueba
Definición interés
Interés simple
Interés compuesto
Post-prueba
Regresar menú de
objetivos
Bibliografía
Glosario
Salir
Para acceder a cada una de
las partes del menú,
presiona sobre la parte
deseada.
l
Interés
• El interés es la cantidad de dinero pagada
o recibida por el uso del dinero.
• Si depositamos dinero en una cuenta de
ahorros, el banco nos paga interés por usar
ese dinero.
l
• Si tomamos dinero prestado pagamos
interés a la persona que nos presta.
Interés
• El interés se cobra a base de por cientos. Se
paga ( o se recibe) cierta cantidad de dinero de
interés por cada 100 dólares prestados ( o
depositados). Al por ciento de interés se le llama
tasa de interés.
• A menos que se indiquel lo contrario, la tasa de
interés es anual.
• Si la tasa de interés es de 6%, entonces por cada
$100 se recibe o se paga $6 de interés al año.
Regresar menú
Post-prueba
Presiona sobre el icono para que puedas llegar a la Postprueba.
Luego, puedes regresar y comparar tus respuestas con la
clave de contestaciones correctas.
Recuerda que esto es beneficioso para ti. Así podrás saber
qué aprendiste y cuánto
aprendiste con esta
l
experiencia del módulo.
Para ir a la Post-prueba
Ver respuestas
Respuestas: Post-prueba
1. $192
2. $56.25
3. $1,000
4.$1,050
5. 23 pagos de $124.58, un pago de $124.66
6. $1265.32
l
7. 8.243%
8. b
9. c
10. a
Regresar menú.
Pre-prueba
Presiona en el icono de enlace
para que llegues a la Pre-prueba.
Para ir a la Pre-prueba
Continuar
Respuestas: Pre-prueba
1. $337.50
2. $36
3. $900
4.$4,440
5. 17 pagos de $179.24, un pago de $179.16
6. $1,268.64
l
7. 8.16%
8. a
9. c
10. b
Regresar menú.
Interés simple
Conceptos
importantes
• El interés simple es el interés pagado o recibido por
la cantidad inicial de dinero invertida, depositada o
tomada prestada (llamada principal o capital).
Fórmula
Financiamiento
a plazos
• Si los intereses producidos por un capital invertido se
computan en períodos fijos de tiempo, éstos se
podrían o no añadirse al principal. Si el interés es
simple no se añaden al principal.
l
Ejemplos
Regresar
Menú
Principal
Salir
• Se calcula multiplicando las siguientes cantidades:
 Principal
 Tasa de interés
 Tiempo de duración del período
Conceptos importantes
• Principal:
Cantidad de dinero depositada o tomada prestada.
• Tasa de interés:
La cantidad de interés, por lo general, se da como un por
ciento del principal. A este por ciento se le llama tasa de
interés.
Una tasa de interés de 4.5% anual significa que se
pagará o se recibirá $4.50 por cada $100 prestados o
depositados.
• Valor futuro de una inversión:
Dinero invertido + intereses ganados
Fórmula: interés simple
I=Prt
I = interés simple
P = principal (capital)
l
r = tasa de interés (forma decimal)
t = tiempo (en años)
Regresar a menú de
interés simple
Ejemplos y ejercicios
Calcular ….
Interés
Principal
Tiempo
Valor futuro
Tasa de interés
Financiamiento a plazos
Mensualidades
Intereses y total a pagar
Salir
Regresar
Menú Interés
simple
Ejemplo: Interés simple
Pepe invierte $7,200 en un certificado de depósito
que paga al 7.5% anual de interés simple por 4
años. ¿Cuánto dinero ganará en intereses?
Primero identificamos los valores correspondientes a P, r, t.
P = 7200
r = 7.5% = 0.075
t = 4 años
Luego usamos la fórmula.
Interés ganado = P r t
= 7200(0.075)(4) = $2160
Ejercicio : Interés simple
Sandra invierte $5,400 en un certificado de depósito
que paga al 8.2% anual de interés simple por 3
años. ¿Cuánto dinero ganará en intereses?
Trabaje el ejercicio.
Para ver la respuesta, oprima
Respuesta
Sandra invierte $5,400 en un certificado de depósito
que paga al 8.2% anual de interés simple por 3
años. ¿Cuánto dinero ganará en intereses?
P = 5400
r = 8.2% = 0.082
t = 3 años
Interés ganado = P r t
= 5400(0.082)(3) = $1328.40
Ver otro ejemplo.
Regresar menú
Ejercicios
Ejemplo : Interés simple
Bárbara tomó prestado $2,000. Los va a pagar en 18
meses. Le cobran 8% de interés simple. ¿Cuánto
dinero tiene que pagar en intereses?
Valores correspondientes a P, r y t.
P = 2000 r = 8% = 0.08
t = 18 meses = 18/12 años = 1.5 años
Usamos la fórmula.
Interés = P r t
= 2000(0.08)(1.5) = $240
Ejercicio : Interés simple
Ingrid tomó prestado $4,000. Los va a pagar
en 21 meses. Le cobran 7.5% de interés
simple. ¿Cuánto dinero tiene que pagar en
intereses?
Trabaje el ejercicio.
Para ver la respuesta, oprima
Respuesta
Ingrid tomó prestado $4,000. Los va a pagar
en 21 meses. Le cobran 7.5% de interés
simple. ¿Cuánto dinero tiene que pagar en
intereses?
P = 4000 r = 7.5% = 0.075
t = 21/12 años = 1.75 años
Interés = P r t
= 4000(0.075)(1.75) = $525
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Ejemplo : Valor futuro
Pancho depositó $9,500 en un certificado de
depósito a una tasa de interés anual del 6.5% por
6 años. Halle el valor futuro de la inversión.
Valor futuro = Principal + Intereses
Principal = P = $9500
r = 6.5% = 0.065
t = 6 años
Intereses = P r t = 9500(0.065)(6) = $3705
Valor futuro = 9500+3705 = $13,205
Ejercicio : Valor futuro
Alondra depositó $8,750 en un certificado de
depósito a una tasa de interés anual del 5% por 4
años. Halle el valor futuro de la inversión.
Trabaje el ejercicio.
Para ver la respuesta, oprima
Respuesta
Alondra depositó $8,750 en un certificado de
depósito a una tasa de interés anual del 5% por 4
años. Halle el valor futuro de la inversión.
Valor futuro = Principal + Intereses
Principal = P = $8750
r = 5% = 0.05
t = 4 años
Intereses = P r t = 8750(0.05)(4) = $1750
Valor futuro = 8750+1750 = $10,500
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Ejemplo : Cálculo de principal
Un banco paga un interés simple de 8% anual.
Determine la cantidad de dinero que hay que
depositar en un banco para generar $1,160 de
intereses en 2 años?
Identificamos los valores de I, r, y t.
I = 1160 r = 8% = 0.08 t = 2 años
Sustituimos los valores en la fórmula I = P r t y resolvemos la
ecuación resultante.
1160 = P(0.08)(2)
1160 = 0.16 P
P = 7250
Cantidad de dinero a depositar = $7,250
Ejercicio : Cálculo de principal
Un depósito bancario que paga un interés simple,
con una tasa de 5% anual, generó $3,100 de
intereses en 10 meses. ¿Cuál es el principal?
Trabaje el ejercicio.
Para ver la respuesta, oprima
Respuesta
Un depósito bancario que paga un interés simple,
con una tasa de 5% anual, generó $3,100 de
intereses en 10 meses. ¿Cuál es el principal?
I = 3100
r = 5% = 0.05
t = 10 meses = 10/12 años = 5/6 años
3100 = P(0.05)(5/6)
3100 = 0.25/6 P
P = 74400
Principal = $74,400
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Ejemplo : Cálculo de tasa de interés
Un depósito bancario que paga un interés simple
creció desde una suma inicial de $1,000 hasta
$1,075 en 9 meses. ¿Cuál es la tasa de interés?
Identificamos los valores de I, P, y t.
P = 1000
I = 1075 - 1000 = 75
t = 9 meses = 9/12 años = 0.75 años
Sustituimos los valores en la fórmula I = P r t y resolvemos la
ecuación resultante.
75 = 1000(r)(0.75)
75 = 700 r
r = 75 / 750 = 0.10 = 10%
La tasa de interés es de 10%.
Ejercicio : Cálculo de tasa de interés
¿A qué tasa de interés simple, se convertirán $1,200
en $1,250 en 8 meses?
Trabaje el ejercicio.
Para ver la respuesta, oprima
Respuesta
¿A qué tasa de interés simple, se convertirán
$1,200 en $1,250 en 8 meses?
P = 1200
I = 1250 - 1200 = 50
t = 8 meses = 8/12 años = 2/3 años
50 = 1200(r)(2/3)
50 = 800 r
r = 50 / 800 = 0.0625 = 6.25%
La tasa de interés es de 6.25%.
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Ejemplo : Cálculo de tiempo
¿Cuántos días se requieren para que un depósito inicial de
$1,000 genere un interés de $20 depositada en un banco
que paga un interés simple con una tasa de 5% por año?
(Utilice un año de 365 días)
Identificamos los valores de I, P, y r.
P = 1000
I = 20 r = 5% = 0.05
Sustituimos los valores en la fórmula I = P r t y resolvemos la ecuación
resultante.
20 = 1000(0.05) t
20 = 50 t
t = 20 / 50 = 0.4
t = 0.4 años = 0.4 (365) días = 146 días
Se requieren 146 días para generar $20 de intereses.
Ejercicio : Cálculo de tiempo
¿Cuántos días se requieren para que un depósito
inicial de $1,500 genere un interés de $25
depositada en un banco que paga un interés
simple con una tasa de 5% por año?
(Utilice un año de 365 días)
Trabaje el ejercicio.
Para ver la respuesta, oprima
Respuesta
¿Cuántos días se requieren para que un depósito inicial de
$1,500 genere un interés de $25 depositada en un banco
que paga un interés simple con una tasa de 5% por año?
(Utilice un año de 365 días)
P = 1500
I = 25 r = 5% = 0.05
25 = 1500(0.05) t
25 = 75 t
t = 25 / 75 = 1 / 3
t = 1 / 3 años = (1 / 3) (365) días ≈ 122 días
Se requieren 122 días para generar $25 de intereses.
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Respuesta
¿Cuántos días se requieren para que un depósito inicial de
$1,500 genere un interés de $25 depositada en un banco
que paga un interés simple con una tasa de 5% por año?
(Utilice un año de 365 días)
P = 1500
I = 25 r = 5% = 0.05
25 = 1500(0.05) t
25 = 75 t
t = 25 / 75 = 1 / 3
t = 1 / 3 años = (1 / 3) (365) días ≈ 122 días
Se requieren 122 días para generar $25 de intereses.
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Financiamiento a plazos
• El financiamiento a plazos consiste en comprar un
objeto y pagarlo con sus intereses en pagos
periódicos (plazos) por un tiempo determinado.
• Por lo general, los plazos son de igual cantidad.
En ocasiones, se tienen que hacer ciertos ajustes
y el primer plazo (o el último) es de una cantidad
diferente.
• Por lo general, el interés que se usa para la
compra de muebles y enseres es el interés simple.
Ejemplo: Financiamiento a plazos
Carola decide remodelar el baño de su casa tomando un
préstamo personal en una financiera, por la cantidad de
$2,800. El financiamiento se hace a una tasa de interés
simple de 12% por 3 años. ¿Qué cantidad de dinero debe
pagar por intereses? ¿Cuánto tendrá que pagar a la
financiera en total?
P = 2800
r = 12% = 0.12
t = 3 años
Intereses = P r t = 2800 (0.12) (3) = $1,008
Total a pagar = 2800 + 1008 = $3,808
Ejercicio: Financiamiento a plazos
Paola tomó un préstamo personal para comprar una nevera
El préstamo fue de $1,569 por 18 meses con una tasa de
interés simple de 13%. ¿Qué cantidad de dinero debe
pagar por intereses? ¿Cuánto tendrá que pagar en total?
Trabaje el ejercicio.
Para ver respuesta oprima
Respuesta: Financiamiento a plazos
Paola tomó un préstamo personal para comprar una nevera
El préstamo fue de $1,569 por 18 meses con una tasa de
interés simple de 13%. ¿Qué cantidad de dinero debe
pagar por intereses? ¿Cuánto tendrá que pagar en total?
P = 1569
r = 13% = 0.13
t = 18 meses = 18/12 años = 1.5 años
Intereses = P r t = 1569 (0.13) (1.5) = $305.96
Total a pagar = 1569 + 305.96 = $1874.96
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Ejemplo: Mensualidades
Fabiola decide comprar un juego de sala tomando un préstamo personal en una
financiera, por la cantidad de $1350. El financiamiento se hace a una tasa de
interés simple de 11% por 2 años. ¿A cuánto ascenderán las mensualidades?
Primero calculamos el total de dinero a pagar.
P = 1350
r = 11% = 0.11
t = 2 años
Intereses = P r t = 1350 (0.11) (2) = $297
Total a pagar = 1350 + 297 = $1,647
Luego calculamos la mensualidad: Total a pagar / total de meses
Total de meses = 2 (12) = 24 meses Mensualidad = 1647 / 24 ≈ $68.63
Note que 24 pagos de 68.63 hacen un total de 24(68.63) = $1647.12.
12 centavos adicionales del total a pagar
Por lo tanto se deben hacer 23 pagos de $68.63 y un pago de
68.63 - 0.12 = $68.51.
Ejercicio: Mensualidades
Adriana decide comprar una estufa tomando un préstamo
personal en una financiera, por la cantidad de $1500. El
financiamiento se hace a una tasa de interés simple de
11.5% por 18 meses. ¿A cuánto ascenderán las
mensualidades?
Trabaje el ejercicio.
Para ver la respuesta oprima
Respuesta: Mensualidades
Adriana decide comprar una estufa tomando un préstamo personal en una
financiera, por la cantidad de $1500. El financiamiento se hace a una tasa de
interés simple de 11.5% por 18 meses. ¿A cuánto ascenderán las
mensualidades?
Primero calculamos el total de dinero a pagar.
P = 1500
r = 11.5% = 0.115
t = 18 meses = 18 / 12 años = 1.5 años
Intereses = P r t = 850 (0.115) (1.5) = $258.75
Total a pagar = 1500 + 258.75 = $1,758.75
Luego calculamos la mensualidad: Total a pagar / total de meses
Total de meses = 18 meses Mensualidad = 1758.75 / 18 ≈ $97.71
Note que 18 pagos de 68.63 hacen un total de 18(97.71) = $1,758.78.
3 centavos adicionales del total a pagar
Por lo tanto se deben hacer 23 pagos de $97.71 y un pago de
97.71 - 0.03 = $97.68.
Regresar menú
De ejercicios
Interés compuesto
Conceptos
importantes
Fórmula
Periodos de
composición
Ejemplo
Tabla monto
acumulado
APY
Simple vs.
compuesto
Salir
• A diferencia del interés simple, el interés compuesto
se calcula (computa) cada cierto período de tiempo
establecido y se añade al principal. El interés
generado en un período genera intereses en el
próximo.
• Los períodos (llamados períodos de composición, de
conversión o de capitalización), por lo general, son
anuales, semestrales, trimestrales
o diarios.
l
• Durante cada período de tiempo individual, el interés
se genera de acuerdo a la fórmula de interés simple.
• El nuevo principal de cada período es la suma del
interés generado en el período anterior más el valor
que tenía el principal en ese momento.
Fórmula: Interés compuesto
A = P (1 + i)n
I=A-P
A = monto acumulado
I = interés compuesto
P = principal
r = tasa de interés anual (nominal)
m = número de períodos de composición al
año
i = tasa periódica = r / m
t = tiempo (en años)
n = número de períodos de composición = t m
Regresar menú
Periodos de composición
Cómputo del interés Período de
composición
Anual
1 año
Trimestral
3 meses
Número de períodos al año
(m)
1
l
4
Semestral
6 meses
2
Diario
365 días
365
Regresar menú.
Conceptos importantes
• Principal (Capital)
Cantidad de dinero invertida.
• Tasa nominal
Tasa de interés anual
• Período de composición
Lapso de tiempo transcurrido entre
l el cálculo de intereses sucesivos.
• Tasa periódica
Tasa por período de composición, se obtiene dividiendo la tasa
nominal entre el número de períodos de composición al año.
Conceptos importantes
• Monto acumulado
Cantidad de dinero acumulada luego de transcurridos uno o más
períodos de composición del interés.
• APY: Tasa efectiva o rendimiento anual efectivo
Tasa de interés simple anual que produciría la misma cantidad
acumulada de dinero en un año que la tasa nominal, compuesta más
de una vez al año.
l
Regresar menú
Ejemplo : Interés compuesto
Suponga que se depositan $2,000 en una
cuenta de ahorros que paga una tasa de 3% de
interés anual y que el interés se computa cada 3
meses (trimestralmente).
Para los primeros dos períodos vamos a calcular
l
el interés ganado y la cantidad
de dinero
acumulada.
Ejemplo: Interés compuesto
Suponga que se depositan $2,000 en una cuenta de ahorros que
paga una tasa de 3% de interés anual y que el interés se computa
cada 3 meses.
Primer período
P = 2000
r = 3% = 0.03
t = 3 meses = 3 / 12 año = 0.25 año
Interés ganado = P r t = 2000 (0.03) (0.25) = $15
Cantidad de dinero al final del primer período =
2000 + 15 = $2,015
Segundo período
P = 2015
r = 3% = 0.03
t = 0.25 año
Interés ganado = P r t = 2015 (0.03) (0.25) = $15.11
Cantidad de dinero al final del segundo período =
2015 + 15.11 = $2,030.11
Ejemplo: Interés compuesto
Suponga que se depositan $2,000 en una cuenta de ahorros que
paga una tasa de 3% de interés anual y que el interés se computa
cada 3 meses.
Período
Interés ganado
Cantidad de dinero al final de período
Primero
$15.00
$2,015.00
Segundo
$15.11
$2,030.11
Total de interés ganado = 15+15.11=30.11
Ejercicio: Determine el interés ganado y la cantidad de
dinero acumulada al final del tercer período.
Para ver respuesta oprima
Respuesta
Suponga que se depositan $2,000 en una cuenta de ahorros que
paga una tasa de 3% de interés anual y que el interés se computa
cada 3 meses.
Tercer período
P = 2030.11
r = 3% = 0.03
t = 0.25 año
Interés ganado = P r t = 2030.11 (0.03) (0.25) = $15.23
Cantidad de dinero al final del tercer período =
2030.11 + 15.23 = $2,045.34
Ejemplo : Interés compuesto
Suponga que se depositan $2,000 en una cuenta de ahorros que
paga una tasa de 3% de interés anual y que el interés se computa
cada 3 meses (trimestralmente).
¿ Qué cantidad de dinero se habrá acumulado al final
del sexto período? ¿ al tercer año?
l
No es necesario repetir los cálculos
anteriores varias veces
para contestar estas preguntas, ya que existe una fórmula
para ello.
Ver fórmula.
Ejemplo : Interés compuesto
Se invierten $2,000 durante 5 años con una tasa de interés nominal
de 3%. La siguiente tabla muestra el monto acumulado para
diferentes períodos de conversión.
Anual
(m =1)
Tasa periódica
i=r/m
Total de períodos
n = t (m)
Monto acumulado
(1 + i)n
0.03
5
$2,318.55
l
Semestral
(m=2)
0.03/2
5(2) = 10
$2,321.08
Trimestral
(m=4)
0.03/4
5(4) = 20
$2,322.37
0.03/0.365
5(365) = 1825
$2,323.65
Diario
(m=365)
Ejercicio
Se invierten $6,000 durante 8 años con una tasa de interés nominal
de 6%. Llene la siguiente tabla.
Tasa periódica
i=r/m
Total de períodos
n = t (m)
Anual
(m =1)
Semestral
(m=2)
Trimestral
(m=4)
Diario
(m=365)
l
Monto acumulado
(1 + i)n
Respuesta
P = $6,000
t = 8 años
r = 6% = 0.06
Tasa periódica
i=r/m
Total de períodos
n = t (m)
Monto acumulado
(1 + i)n
0.06
8
$9,563.09
Semestral
(m=2)
0.06/2=0.03
8*2=16
l
$9,628.24
Trimestral
(m=4)
0.06/4=0.015
8*4=32
$9,661.95
0.06/365
8*365=2920
$9,696.06
Anual
(m =1)
Diario
(m=365)
Regresar menú
APY: Tasa efectiva
• El interés compuesto generado en una inversión depende
de la frecuencia de su composición. La tasa nominal no
refleja la tasa real con que se genera el interés.
• Es necesario fijar una base común para poder comparar
las tasas de interés. Esto se hace mediante la tasa
efectiva de interés. También se le conoce como tasa de
l
rendimiento anual y como APY
(por sus siglas en inglés).
• La tasa efectiva de interés es la tasa de interés simple
anual que produciría la misma cantidad acumulada de
dinero en un año que la tasa nominal compuesta más de
una vez al año.
Tasa efectiva de interés
Fórmula para calcular la tasa efectiva de interés
Tasa efectiva = (1 + i)m-1
i = tasa de interés periódica
l
m = número de períodos de composición al año
Ejemplo
Un inversionista tiene dos opciones para invertir su
dinero. Una de ellas es invertirlo al 6% compuesto
diariamente y la otra invertirlo al 6.125% compuesto
cada trimestre. ¿Cuál es la mejor opción?
Para determinar cuál es la mejor opción hacemos lo
siguiente:
l
1. Determinar la tasa efectiva para cada opción.
2. La opción con tasa efectiva mayor es la mejor
opción.
Ejemplo
Opción 1: 6% compuesto diariamente
r = 6% = 0.06
m = 365
i = r / m = 0.06 /365
Tasa efectiva = (1 + i)m-1
= (1+0.06/365)365-1
≈ 0.062 = 6.2%
Opción 2: 6.125% compuesto cada trimestre
r = 6.125% = 0.06125
m=4
i = r / m = 0.06125 /4
l
Tasa efectiva = (1 + i)m-1
= (1+0.06125/4)4-1
≈ 0.063 = 6.3%
La opción 2 es la mejor.
Ejercicio
Un inversionista tiene dos opciones para invertir su
dinero. Una de ellas es invertirlo al 7.25% compuesto
semestralmente y la otra invertirlo al 7.1% compuesto
diariamente.
¿Cuál es la mejor opción?
Trabaje el ejercicio.
l
Para ver la respuesta oprima
Respuesta
Opción 1: 7.25% compuesto cada 6 meses
r = 7.25% = 0.0725
m=2
i = r / m = 0.0725 /2
Tasa efectiva = (1 + i)m-1
= (1+0.0725/2)2-1
≈ 0.0738 = 7.38%
Opción 2: 7.1% compuesto diariamente
r = 7.1% = 0.071
m = 365
i = r / m = 0.071 /365
l
Tasa efectiva = (1 + i)m-1
= (1+0.071/365)365-1
≈ 0.0736 = 7.36%
La opción 1 es la mejor.
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Interés compuesto en forma continua
Mientras mayor la frecuencia con que se computa el
interés compuesto mayor es la cantidad de dinero
acumulada.
Se puede demostrar que la cantidad de dinero acumulada
se aproxima a un número fijo cuando el interés se
compone con más y más frecuencia durante un período
l
fijo.
Si la cantidad de períodos de conversión por año crece sin
límite, la cantidad de dinero acumulada tiende a Per t,
donde e es el número de Euler, (2.71828…). En este
caso se dice que el interés es compuesto en forma
continua.
Interés compuesto en forma continua
Fórmula:
A = P er t
P = principal (capital)
r = tasa de interés nominal compuesta en forma continua
t = tiempo en años
l
e = número de Euler = 2.71828…
A = cantidad acumulada al final de t años
Ejemplo
Hallar la cantidad de dinero acumulada despúes de 3 años
si se invierten $1000 a una tasa de 8% por año
compuesto en forma continua.
P = 1000
r = 8% = 0.08
t = 3 años
A = P e r t = 1000 e (0.08)(3) ≈ 1271.25
l
Cantidad de dinero acumulada = $1,271.25
Ejercicio
Hallar la cantidad de dinero acumulada despúes de 4 años
si se invierten $2000 a una tasa de 7.5% por año
compuesto en forma continua.
Trabaje el ejercicio.
l
Para ver respuesta oprima
Respuesta
Hallar la cantidad de dinero acumulada después de 4 años
si se invierten $2000 a una tasa de 7.5% por año
compuesto en forma continua.
P = 2000
r = 7.5% = 0.075
t = 4 años
A = P e r t = 2000 e (0.075)(4) ≈ 2699.72
l
Cantidad de dinero acumulada = $2699.72
Respuesta
Hallar la cantidad de dinero acumulada después de 4 años
si se invierten $2000 a una tasa de 7.5% por año
compuesto en forma continua.
P = 2000
r = 7.5% = 0.075
t = 4 años
A = P e r t = 2000 e (0.075)(4) ≈ 2699.72
l
Cantidad de dinero acumulada = $2699.72
Respuesta
Hallar la cantidad de dinero acumulada después de 4 años
si se invierten $2000 a una tasa de 7.5% por año
compuesto en forma continua.
P = 2000
r = 7.5% = 0.075
t = 4 años
A = P e r t = 2000 e (0.075)(4) ≈ 2699.72
l
Cantidad de dinero acumulada = $2699.72
Interés simple vs. interés compuesto
Los intereses que generan un capital invertido a interés
simple no se acumulan al mismo para generar intereses
en el próximo período. Los intereres generados será igual
en todos los períodos.
Los intereses que generan un capital invertido a interés
compuesto se acumulan al mismo y generan intereses
l
en el próximo período.
Suponga que se invierte un capital de $10,000 a una
tasa de interés anual de 3%. Suponga que el interés se
computa cada 6 meses. La tabla siguiente muestra
los intereses generados en los primeros 4 períodos para
ambos tipos de cálculo de interés (simple, compuesto).
Tabla comparativa
Capital = $10,000
Tasa de interés = 3%
Interés simple
Periodo
Capital
10,000
300
2
10,000
300
3
10,000
4
10,000
Total de intereses
ganados
Interés compuesto
Capital
inicio
período
Intereses
1
Duración período: 6 meses
Monto
Intereses acumulado
10,000.00 300.00
10,300.00
10,300.00 609.00
10,609.00
300
10,609.00 318.27
10,927.27
300
10927.27
11,255.09
$1,200
l
327.82
Total de intereses $1,259.09
ganados
Ejercicio: Llene la siguiente tabla.
Capital = $20,000
Tasa de interés = 4.5%
Interés simple
Periodo
Capital
??
??
2
??
??
3
??
4
??
Total de intereses
ganados
Interés compuesto
Capital
inicio
período
Intereses
1
Duración período: 6 meses
Monto
Intereses acumulado
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
l
Total de intereses
ganados
??
Ejercicio: Llene la siguiente tabla.
Capital = $20,000
Tasa de interés = 4.5%
Interés simple
Periodo
Capital
20000
450
2
20000
450
3
20000
4
20000
Total de intereses
ganados
Interés compuesto
Capital
inicio
período
Intereses
1
Duración período: 6 meses
Monto
Intereses acumulado
20000.00
450.00
20450.00
20450.00
460.13
20,910.13
450
20,910.13
470.48
21,380.60
450
21,380.60
481.06
21,861.66
$1,800
l
Total de intereses $1,861.66
ganados
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Glosario
Interés: cantidad de dinero recibida o pagada por el uso del dinero.
Interés compuesto: interés que se agrega de manera periódica al
principal y, que por lo tanto, genera sus propios intereses.
Interes simple: interés que se calcula sólo sobre el principal.
Monto acumulado: Cantidad de dinero acumulada luego de transcurridos
uno o más períodos de composición del
interés.
l
Período de composición: lapso transcurrido entre el cálculo de intereses
sucesivos.
Principal: cantidad de dinero invertido, depositado o prestado.
Glosario
Tasa de interés: La cantidad de interés, por lo general, se da como un
por ciento del principal. A este por ciento se le llama tasa de interés.
Tasa nominal: Tasa de interés anual
Tasa periódica: Tasa por período de composición, se obtiene dividiendo
la tasa nominal entre el número de períodos de composición al año.
Tasa efectiva o de rendimiento anuall (APY): Tasa de interés simple
anual que produciría la misma cantidad acumulada de dinero en un año
que la tasa nominal, compuesta más de una vez al año.
Valor futuro de una inversión: Principal + intereses
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Bibliografía
Castro, Rolando.
Fundamentos del Algebra y sus aplicaciones
Editorial UPR 2007
Hauessler, F. Ernest, Paul, Richard
Matemáticas para administración y economía
Décima edición, Pearson Prentice Hall 2003
l
Lebrón, Marilú
Matemática fundamental: énfasis en la comprensión,
representación y aplicación de los conceptos
UPR-H Humacao 2004
Tan, Soo
Matemáticas para administración y economía
Tercera Edición, Thomson 2005
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Aprendiendo y aplicando los numeros racionales a nuestro