Instituto Tecnológico de Saltillo
Álgebra Lineal
M.C. Ignacio Dávila Ríos
Periodo Enero - Junio 2013
Temario:
Unidad I. Los Números Complejos.
Unidad II. Matrices y Determinantes.
Unidad III. Sistemas de Ecuaciones Lineales.
Unidad IV. Espacios Vectoriales.
Unidad V. Transformaciones Lineales.
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Unidad I.
Números Complejos.
Competencias a desarrollar:
Manejar los números complejos y las diferentes
formas de representarlos, así como las
operaciones entre ellos para tener una base de
conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales
y en diferentes aplicaciones de ingeniería.
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Unidad I.
Números Complejos.
1.1 ¿Cuáles son los números complejos?
En Cálculo Diferencial e integral se hizo uso de una
gama de números, llamados Números Reales, que
son:
Los Números Racionales y los Irracionales y los
Racionales a su vez se dividen en Naturales y
Enteros.
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Los Números Complejos.
Para Álgebra Lineal se hará uso además de estos
números los también llamados Números Complejos,
o también conocidos como Números Imaginarios.
¿Cuáles son los Números Complejos o de donde
provienen?
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Considere el problema de encontrar las raíces de
los polinomios
 2 +  +  = 0
Para encontrar las raíces, se utiliza la fórmula
cuadrática y se obtiene
1,2
− ±  2 − 4
=
2
Ing. Ignacio Dávila Ríos
En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles
casos
 2 +  +  = 0
1,2
Caso 1. Si
− ±  2 − 4
=
2
> 0, existen dos raíces reales.
Ing. Ignacio Dávila Ríos
En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles
casos
 2 +  +  = 0
1,2
Caso 1. Si
− ±  2 − 4
=
2
> 0, existen dos raíces reales.
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 1: Encuentre la o las raíces del siguiente
polinomio, si es que las hay.
 2 + 5 + 6 = 0
=
=
=
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 1: Encuentre la o las raíces del siguiente
polinomio, si es que las hay.
5 + 6 = 0
1 2 + 5
=
1,2
=
=
−5 ± (5)2 − (4)(1)(6)
=
2(1)
1,2
−5 ± 25 − 24
=
2
1,2
−5 ± 1
=
2
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 1: Encuentre la o las raíces del siguiente
polinomio, si es que las hay.
 2 + 5 + 6 = 0
 = 1  = 5  =6
1,2
−5 ± 1
=
2
−5 + 1
1 =
2
−5 − 1
2 =
2
−5 1
1 =
+
2
2
−5 1
2 =
−
2
2
1 = −2
2 = −3
Ing. Ignacio Dávila Ríos
En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles
casos
 2 +  +  = 0
1,2
− ±  2 − 4
=
2
Caso 2. Si
= 0, se obtiene una sola raíz
−
(de multiplicidad 2a)  =
2
Ing. Ignacio Dávila Ríos
En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles
casos
 2 +  +  = 0
1,2
− ±  2 − 4
=
2
Caso 2. Si
= 0, se obtiene una sola raíz
−
(de multiplicidad 2a)  =
2
Ing. Ignacio Dávila Ríos
En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles
casos
 2 +  +  = 0
1,2
− ±  2 − 4
=
2
Caso 3. Para manejar el caso que
< 0, se
introduce la unidad imaginaria. Esto porque no existen
las raíces negativas.
Ing. Ignacio Dávila Ríos
En esta ecuación se puede dar uno de tres posibles
casos
 2 +  +  = 0
1,2
− ±  2 − 4
=
2
Caso 3. Para manejar el caso que
< 0, se
introduce la unidad imaginaria. Esto porque no existen
las raíces negativas.
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 2: Encuentre la o las raíces del siguiente
polinomio, si es que las hay.
 2 + 2 + 5 = 0
=
=
=
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 2: Encuentre la o las raíces del siguiente
polinomio, si es que las hay.
2 + 5
5=0
1 2 + 2
=
1,2
=
=
−2 ± −16
=
2
Ing. Ignacio Dávila Ríos
El problema se presenta cuando el radicando se
hace negativo o su valor es menor que cero.
1,2
− ±  2 − 4
=
2
Unidad imaginaria. Que esta dada por la siguiente
expresión:
 = −
Y proviene del hecho de que:
 = −
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Entonces si  2 = −1 y para valores de  2 − 4 < 0
se tiene que:
2 − 4 =
(4 −  2 )(−1) =
4 −  2 ∙  2 = (4 −  2 ) ∙ 
Y las dos raíces de la fórmula cuadrática para
valores de  2 − 4 < 0 serían:

4 −  2
1 = − +

2
2

4 −  2
2 = − −

2
2
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Regresando al ejemplo 2 donde  2 − 4 < 0 y que
en este caso el resultado es
−16 podemos
expresarlo como sigue:
−16 =
(16)(−1) = 16 −1 = 4
−2 + 4
1 =
2
−2 − 4
2 =
2
1 = −1 + 2
2 = −1 − 2
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Un número complejo es una expresión de la forma:
 =  + 
Donde    son números reales.
A  se le denomina la parte real de z, (Re z).
A i se le denomina parte imaginaria de z, (Im z).
En ocasiones a esta representación se le denomina
forma cartesiana o rectangular del número
complejo.
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Regresando al ejemplo 2 tenemos dos raíces
complejas, que son:
1 = −1 + 2
2 = −1 − 2
Números
Complejos
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Si el valor de  = 0 entonces  =  es decir un
número real.
Por tanto podemos decir que el conjunto de los
números reales es un subconjunto de los números
complejos
 =  + 
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Los números complejos se pueden sumar y
multiplicar usando las reglas normales del álgebra.
Ejemplo 3.
Sean
 = 2 + 3
y
 = 5 − 4
Calcular:
a)  +  ,
b) 3 − 5
c)  ∙ 
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 3(a).
Sean
 = 2 + 3
y
 = 5 − 4
Calcular:
a)  + 
 +  = 2 + 3 + 5 − 4 = 2 + 5 + 3 − 4 =7 − 
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 3(b).
Sean
 = 2 + 3
y
 = 5 − 4
Calcular:
b) 3w − 5
3 = 3 5 − 4 = 15 − 12
5 = 5 2 + 3 = 10 + 15
3 − 5 = 15 − 12 − 10 + 15
15 − 10 + −12 − 15 = 5 − 27
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Ejemplo 3(c).
Sean
 = 2 + 3
y
 = 5 − 4
Calcular:
c)  · 
 ·  = 2 + 3 · (5 − 4) =
2 5 + 2 −4 + 3 5 + 3 −4 =
10 −8 +15 −12 2 =
10 +7 +(−12) −1 = 22 + 7
Ing. Ignacio Dávila Ríos
Instituto Tecnológico de Saltillo
Realizado por: M.C. Ignacio Dávila Ríos
Enero 2013
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