Las Tardes del Petróleo
Había una vez …. Darcy
Un breve revisionismo histórico del concepto de
Permeabilidad Relativa
Marcelo Crotti – 14 de mayo de 2003.
Contenidos


Un breve análisis sobre el origen y empleo de
la ecuación de Darcy en la Ingeniería de
Reservorios.
Diferencias entre:

Conducción de fluidos.
Inyección de fluidos.

Producción de fluidos.




Limitaciones en el concepto de
Permeabilidad Relativa.
Diferentes Escenarios.
Conclusiones.
SPE –Las Tardes del Petróleo – 13 de mayo de 2003
La Ley de Darcy (I)

La ley de Darcy data de 1856 y describe
adecuadamente el flujo de una sola fase en
medios porosos. En esta ecuación, que
relaciona el caudal con la diferencia de
presión aplicada, aparecen tres factores.



Un factor geométrico dado por la longitud y el área del
sistema poroso.
Un factor que depende sólo del fluido (la viscosidad).
Un factor que depende sólo del medio poroso (la
permeabilidad).
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La Ley de Darcy (II)

Para Geometrías lineales la ley de Darcy adopta la
forma:
Q = K . A . DP / (µ . L) ...... [1]

De este modo la Permeabilidad queda definida
como:
"La capacidad de un medio poroso para
CONDUCIR fluidos".
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La Ley de Darcy (III)



Sólo la velocidad de inyección o de
producción puede ser medida
experimentalmente.
Pero..., durante el flujo de un fluido
homogéneo e incompresible:
 La velocidad de conducción es igual a :
 La velocidad de inyección
 La velocidad de producción.
De este modo alcanza con medir una de
estas velocidades para obtener las otras.
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Las Permeabilidades Relativas (I)


Para describir flujos multifásicos la ley de
Darcy fue “corregida” mediante el empleo de
un factor diferente para cada una de las
fases. Este “factor de corrección” se conoce
como curva de Permeabilidad Relativa.
Qw = K . Krw . A . DPw / (µw . L) .......... [2]
Qo = K . Kro . A . DPo / (µo . L) ............ [3]
El valor de permeabilidad relativa es diferente
para cada saturación de fluidos.
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Las Permeabilidades Relativas (II)




Sin embargo .....
Durante desplazamientos multifásicos noestacionarios surge un nuevo problema.
 La velocidad de conducción de cada fase pierde
su equivalencia con
 La velocidad de inyección, y
 La velocidad de producción.
Cuando circulan simultáneamente más de una fase
no es posible medir la velocidad de producción o de
inyección de cada fase para establecer la velocidad
de conducción de las mismas.
Y la aplicación de la ley de Darcy a cada fase se
basa en la capacidad de conducción exclusivamente.
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Las Permeabilidades Relativas (III)

Primera Solución: La vía experimental

En las décadas de 1930 y 1940 se hicieron
numerosas experiencias empleando métodos
estacionarios de medición.
Experimentalmente se re-crean las condiciones de la
ley de Darcy
Admisión = Conducción = Producción


Se mantiene una velocidad de inyección constante de
cada fase hasta que la velocidad de producción se hace
igual a la velocidad de inyección.
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Las Permeabilidades Relativas (IV)

Segunda Solución: La vía del cálculo

Gracias a los trabajos de Buckley & Leverett (1942),
Welge (1952) y JBN (1959) se resolvieron las
ecuaciones del desplazamiento no estacionario.
 Los cálculos se realizan en una lámina de espesor
nulo. Esta técnica es conocida como medición noestacionaria o de Welge.
 Toda la teoría se desarrolla bajo predominio
absoluto de las denominadas fuerzas viscosas
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Permeabilidades Relativas (Resumen)

Para aplicar la ecuación de Darcy al flujo multifásico
fue necesario generar una única saturación del
sistema en el punto de cálculo. De este modo se
obtiene nuevamente
Admisión = Conducción = Producción.
 En el método estacionario toda la muestra posee
la misma saturación
 En el método no estacionario se hacen los
cálculos en un punto particular y se trabaja sólo
con la saturación en ese punto (saturación
puntual).
 Las dos soluciones sólo se aplican a condiciones
de desplazamiento bajo predominio de fuerzas
viscosas.
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Una pregunta Fundamental (I)
Ambas metodologías conducen al
mismo resultado cuando se aplican a
medios porosos homogéneos.
 Sin embargo .....
 El resultado obtenido es adecuado
para los cálculos de Ingeniería de
Reservorios?

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Una pregunta Fundamental (II)
En otras palabras. La solución para el
caso particular en que
Admisión = Conducción = Producción
Es adecuada para describir reservorios
en estado no-estacionario?
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Respuesta (I)



Un ejemplo muy simple puede responder adecuadamente a la
pregunta planteada.
Supongamos que, como ejemplo de medio poroso elegimos un
conducto delgado horizontal.
Mientras el conducto está lleno de aire, resulta obvio que su
habilidad para conducir agua es nula. Empleando la ley de
Darcy diríamos que :
Kw = 0 cuando Sw = 0

Sin embargo.....
 Aunque no pueda conducir agua, no existen impedimentos
especiales para la inyección de agua en este medio poroso.
Una roca seca permite la inyección de agua.
 Aunque se puede inyectar agua, este fluido no puede ser
producido hasta que alcanza el extremo de salida.
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Respuesta (II)




Usando este modelo simple, podemos preguntar:
Cuál es la capacidad del sistema para conducir agua
cuando
Sw = 50%?
 La mitad del conducto con Sw = 100% y la otra
mitad con Sw = 0%
En el conducto hay dos capacidades de conducción
bien definidas:
 La capacidad "X" (obtenida mediante la ecuación
de Darcy en el tramo en que Sw = 100%
 Una capacidad nula donde Sw = 0
Entonces.... Cuál es la capacidad global del sistema
para conducir agua en condiciones de Sw = 50%?
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Respuesta (III)





Opcion 1: Kw = X ?
Opcion 2: Kw = 0 ?
Opcion 3: Kw = X/2 ?
Opcion 4: ......
Observación:
 Aunque no es posible establecer una única
capacidad de conducción, siempre existe
una capacidad de inyección y de
producción perfectamente definidas.
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Diferentes Definiciones


Para el reservorista:
 Las curvas de permeabilidad relativa
expresan la relación entre la saturación
media del sistema y la capacidad de
producción de fluidos de dicho sistema.
Para el laboratorista.
 Las curvas de permeabilidad relativa
expresan la relación funcional entre
saturación puntual y capacidad de
conducción cuando el desplazamiento
está dominado por fuerzas viscosas.
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Análisis




Al emplear la ley de Darcy en la simulación
numérica de reservorios, sólo se maneja la
capacidad de conducción de fluidos.
La ecuación de Darcy no proporciona la
capacidad de inyección o de producción en
sistemas no-estacionarios.
Y .....
Casi todos los reservorios están en
condiciones no estacionarias, durante la
producción. 
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Reservorios Naturales (El mundo real)

En Ingeniería de Reservorios, frecuentemente nos
encontramos con lo siguiente:





Medios poroso heterogéneos.
El flujo multifásico es el resultado de un equilibrio entre
fuerzas viscosas capilares y gravitatorias.
 El equilibrio varía con el tiempo y con la ubicación física
dentro de la estructura.
Saturación de fluidos muy heterogénea.
Cálculos de flujo basados en saturaciones medias de
fluidos.
 En una sola celda (Simulación numérica)
 Todo el reservorio (BM).
Las propiedades de interés son las capacidades de
producción e inyección de fluidos.
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Escenarios (I)


Cada escenario tiene su propia solución.
Algunas situaciones típicas son:



Sistemas homogéneos bajo predominio de fuerzas viscosas.
 Muy pocos reservorios caen en esta categoría, pero es
la situación típica de las mediciones de laboratorio.
Sistemas heterogéneos bajo predominio de fuerzas
viscosas.
 Reservorios estratificados con capas no comunicadas.
Sistemas heterogéneos bajo dominio de fuerzas viscosas y
capilares
 Reservorios estratificados con capas conectadas. Existe
“cross-flow” como consecuencia de procesos de
imbibición.
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Escenarios (II)

Otras situaciones típicas son:



Reservorios heterogéneos con petróleos pesados.
 Los fenómenos de imbibición pueden ser
dominantes.
Sistemas dominados por la gravedad.
 Principalmente en rocas de elevada
permeabilidad, con espesores importantes,
bajas viscosidades y diferencias de densidad
significativas. (Casquetes en expansión,
acuíferos basales, etc).
Reservorios dominados por fuerzas capilares.
 Principalmente en “tight sands”.
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Conclusiones (I)


Las mediciones habituales de laboratorio son
adecuadas para describir la habilidad de los
medios porosos para conducir fluidos en
condiciones de saturación homogénea y bajo
dominio de fuerzas viscosas.
Para los cálculos de ingeniería de reservorios
se necesita caracterizar la habilidad del
sistema poroso para admitir o producir
fluidos. En sistema no-estacionarios la
habilidad para conducir fluidos carece de
significado práctico.
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Conclusiones (II)


Para salvar la diferencia, la medición experimental
debe respetar los mecanismos de desplazamiento
dominantes a escala de reservorio.
Durante el escalamiento debe tenerse en cuenta:






Los mecanismos de desplazamiento dominantes.
Las mediciones de puntos extremos de laboratorio.
La geometría del sistema.
La heterogeneidad.
El escalamiento debe llevarse a cabo por un equipo
multi-disciplinario.
Las curvas de permeabilidad relativa deben
“construirse” para cada caso particular

Esta operación debe basarse en los datos disponibles y en
los modelos aceptados para el reservorio.
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Ejemplo

Se emplearán dos modelos muy esquemáticos para
analizar la vinculación entre producción y
saturación de fluidos.
 A: Desplazamiento agua-petróleo en una
geometría rectangular horizontal, bajo
predominio de fuerzas gravitatorias (Flujo
segregado).
 B: Desplazamiento agua-petróleo en una
geometría rectangular no-horizontal, bajo
predominio de fuerzas gravitatorias (Flujo
segregado)
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Flujo segregado (A).
Producción en diferentes caras
Q
Sw promedio = Swirr = 25%
Swirr
Sw
Q
Swirr
Sw
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Flujo segregado (A).
Producción en diferentes caras
Q
Sw promedio = 35%
Swirr
Sw
Q
Swirr
Sw
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Flujo segregado (A).
Producción en diferentes caras
Q
Sw promedio = 45%
Swirr
Sw
Q
Swirr
Sw
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Flujo segregado (A).
Producción en diferentes caras
Q
Sw promedio = 55%
Swirr
Sw
Q
Swirr
Sw
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Flujo segregado (A).
Producción en diferentes caras
Q
Sw promedio = 75%
Swirr
Sw
Q
Swirr
Sw
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Primer Comentario

La relación entre producción y saturación
de fluidos puede ser diferente para
diferentes puntos de la misma celda.
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Flujo segregado (B).
Producción en diferentes caras
Q
Sw promedio= Swirr = 25%
Swirr
Sw
Q
Swirr
Sw
SPE –Las Tardes del Petróleo – 13 de mayo de 2003
Flujo segregado (B).
Producción en diferentes caras
Q
Sw promedio = 35%
Swirr
Sw
Q
Swirr
Sw
SPE –Las Tardes del Petróleo – 13 de mayo de 2003
Flujo segregado (B).
Producción en diferentes caras
Q
Sw promedio = 50%
Swirr
Sw
Q
Swirr
Sw
SPE –Las Tardes del Petróleo – 13 de mayo de 2003
Flujo segregado (B).
Producción en diferentes caras
Q
Sw promedio = 75%
Swirr
Sw
Q
Swirr
Sw
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Segundo Comentario

Si las fuerzas gravitatorias intervienen en el
desplazamiento, la relación entre velocidad
de flujo y saturación puede depender de:
 El punto de producción elegido.
 La geometría global y la orientación del
sistema.
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Las Tardes del Petróleo
Había una vez …. Darcy
Fin de la Presentación
Marcelo Crotti – 14 de mayo de 2003.
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