La distribución binomial
Walter López Moreno, MBA, cDBA
Centro de Competencias de la
Comunicación
Universidad de Puerto Rico en Humacao
©Todos los derechos son reservados
2006-07
Tabla de contenido
Introducción
Objetivos de la presentación
Instrucciones de cómo usar la presentación
Glosario de términos
Dato histórico
Utilidad
Propiedades de un experimento de Bernoulli
La distribución binomial
La función
Ejemplos
Tabla de contenido
La tabla de la probabilidad binomial
Ejemplos
Ejercicio de redacción
La media y la desviación estándar
Resumen
Ejercicios de prueba
Aproximación a la distribución normal
Vídeo de repaso de conceptos
Referencias
Introducción
En las empresas tenemos muchas situaciones donde se espera
que ocurra o no un evento específico. Éste puede ser de éxito o
fracaso sin dar paso a un punto medio. Por ejemplo, en la
producción de un artículo, éste puede salir bueno o malo. Casi
bueno no es un resultado de interés. Para situaciones como
éstas se utiliza la distribución binomial.
En este módulo se describe el uso de la distribución binomial
para obtener la probabilidad de ocurrencia de ese evento que
representa un resultado esperado.
El módulo va dirigido al estudiantado de Administración de
Empresas en sus distintas concentraciones.
Objetivo general
Esperamos que cuando termines esta presentación
puedas utilizar la distribución binomial para obtener
las probabilidades de aquellas situaciones gerenciales
con dos posibles resultados.
Objetivos específicos
Además, esperamos que puedas:
 Identificar las propiedades de una distribución
binomial.
 Determinar los valores de éxitos p y fracasos q para
establecer las bases para el cómputo de las
probabilidades.
 Establecer el promedio, la varianza y la desviación
estándar utilizando las variables de la distribución
binomial.
Instrucciones de cómo usar la
presentación
La presentación inicia con las características que definen un
proceso binomial.
Te recomiendo que tengas acceso a Internet mientras trabajas
la presentación.
Siempre que se presente la siguiente figura:
puedes presionarla para navegar adecuadamente
a través de toda la presentación.
También encontrarás comentarios de apoyo y
retroalimentación en recuadros como éste:
nota
Instrucciones de cómo usar la
presentación
Durante la lectura del módulo tendrás la oportunidad de enlazar
el glosario de términos y regresar al lugar de origen
presionando:
Luego de leer el material que sirve de introducción, podrás
establecer enlaces que demuestran los conceptos teóricos.
Dato histórico
El cálculo de probabilidades tuvo un
notable desarrollo con el trabajo del
matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705).
Bernoulli definió el proceso conocido por su
nombre el cual establece las bases para el
desarrollo y utilización de la distribución binomial.
Utilidad
La distribución binomial se utiliza en situaciones cuya solución
tiene dos posibles resultados.
Por ejemplo:
Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra.
En el deporte un equipo puede ganar o perder.
En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas.
Utilidad
También se utiliza cuando el resultado se puede reducir a dos
opciones.
Por ejemplo:
Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.
La meta de producción o ventas del mes se pueden o no lograr.
En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o cinco
alternativas, se pueden clasificar como correcta o incorrecta.
Estos ejemplos los podemos considerar como
“experimentos de Bernoulli”
Propiedades de un
experimento de Bernoulli
1 - En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles
resultados: éxitos o fracasos.
2 - El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los
resultados obtenidos en pruebas anteriores.
3 - La probabilidad de un suceso es constante, la representamos
por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad del
complemento es 1- p y la representamos por q .
Si repetimos el experimento n veces podemos
obtener resultados para la construcción de la
distribución binomial.
La distribución binomial
La distribución de probabilidad binomial es un ejemplo de
distribución de probabilidad discreta.
Esta formada por una serie de experimentos de Bernoulli. Los
resutados de cada experimento son mutuamente excluyentes.
Para contruirla necesitamos:
1 - la cantidad de pruebas n
2 - la probabilidad de éxitos p
3 - utilizar la función matemática.
La función P(x=k)
A continuación vemos La función de probabilidad de la distribución
Binomial, también denominada Función de la distribución de
Bernoulli:
k - es el número de aciertos.
n - es el número de experimentos.
p - es la probabilidad de éxito, como por ejemplo, que salga
"cara" al lanzar la moneda.
1-p - también se le denomina como “q ”
Ejemplo1 de la función
F(x=k)
¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda
10 veces?
El número de aciertos k es 6. Esto es x=6
El número de experimentos n son 10
La probabilidad de éxito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la
moneda es 50% ó 0.50
La fórmula quedaría:
P (k = 6) = 0.205
Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces
una moneda es de 20.5% .
Ejemplo 2 de la función
F(x=k)
¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al
lanzar un dado ocho veces?
El número de aciertos k es 4. Esto es x=4
El número de experimentos n son 8
La probabilidad de éxito p (probabilidad de que salga un 3 al
tirar el dado) es 1 / 6 (= 0.1666)
La fórmula queda:
P (k = 4) = 0.026
Es decir, que la probabilidad de obtener cuatro veces el números
3 al tirar un dado 8 veces es de 2.6%.
Tabla de probabilidad binomial
Utilizando la tabla de probabilidad binomial se pueden resolver los
ejemplos anteriores.
Para esto debe saber los valores k y B (n,p) .
 k es el número de éxitos que buscamos. Este valor se encuentra
entre 0 y n.
 En el parámetro B(n,p), n debe ser mayor de 0 y p un valor desde
0 al 1.
En los ejemplos 1 y 2 los parámetros B(n,p) son
B(10,0.50) y B(8,0.1666) respectivamente.
Tabla de probabilidad binomial
Obtenga más información de cómo asignar probabilidades
utilizando las tablas.
Cuando llegue al enlance lea las
primeras 6 preguntas con sus
respuestas y luego practique con los
ejercicios 1.1
Ejemplo 3
B(n,p)
Busque en la tabla de probabilidad binomial
En una fábrica de cámaras el 5% sale con
defectos. Determine la probabilidad de que en
una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras
defectuosas.
Solución :
Se trata de una distribución binomial de parámetros B(12,
0.05). Debemos calcular la probabilidad de que x sea igual a k
que en este caso es 2. Esto es P (k=2).
Busque en la parte izquierda de la tabla n=12, luego en la parte
superiror p=0.05 . La probabilidad estará en x=2
El resultado es 0.0988
Ejemplo 4
B(n,p)
Compruebe el cómputo utilizando una calculadora
de probabilidad binomial
En una oficina de servicio al cliente se atienden 100
personas diarias. Por lo general 10 personas se van
sin recibir bien el servicio. Determine la
probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes
3 no hayan recibido un buen servicio.
Solución :
Vea otros ejemplos en
este enlace
Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0.10).
Debemos calcular la probabilidad P(X=3).
El resultado es 0.1285
Ejercicio de redacción
con experiencia interactiva
Observe el cambio de la distribución variando el parámetro B(n,p)
Presente una descripción escrita de
las observaciones que obtiene al
variar los valores n y p.
Cuando llegue al enlance
entre:
n en “Number ot trials”
p en “Prob. of Success”
La media μ y
desviación estándar σ
C a ra cte rística s d e la d istrib u ció n
b in o m ia l
M e d ia
 = E (X ) = n p
 = 5 · 0.1 = 0.5
 = 5 · 0.5 = 0.25
P (X )
.6
n = 5 p = 0 .1
.4
.2
0
X
0
1
2
3
4
5
D e s via c ió n e s tá n d a r
 
np (1  p )
P (X )
.6
n = 5 p = 0 .5
.4
 
5  0 . 1  (1  0 . 1)  0 . 67
.2
X
0
 
5  0 . 5  (1  0 . 5 )  1 . 1
0
1
2
3
4
5
17
En resumen
En este módulo hemos determinado la probabilidad binomial mediante el
uso de la función binomial, tablas de distribución y la calculadora del
enlace. Además, aprendimos que:




La distribución binomial se forma de una serie de experimentos de
Bernoulli
La media (μ) en la distribución binomial se obtiene con el producto de
nxp
La desviación estándar (σ ) en la distribución binomial se obtiene del
producto de n x p x q.
El valor de q es el complemento de p y se obtiene con 1 – p.
Ejercicio de prueba #1
Un comerciante de verduras tienen conocimiento de que el
10% de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 4
verduras al azar, encuentre la probabilidad de que.
a) las 4 estén descompuestas.
b) de 1 a 3 estén descompuestas.
Para resolver la pregunta “b” repase el
modulo de las reglas de probabilidad.
En este caso se resuelve sumando las
probabilidades P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)
= 0.6561 + 0.2916 + 0.0486
Ejercicio de prueba #2
En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que
el 20% presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estos
amortiguadores, hallar la probabilidad de que,
a) 4 salgan defectuosos,
b) más de 5 tengan fuga de aceite.
c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos.
d) Determine el promedio y la desviación estándar de
amortiguadores con defectos.
La pregunta “b” debe sumar las probabilidades desde
P(x=6) en adelante.
En la “c” debe sumar P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6).
Ejercicio de prueba #3
Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de
una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 10
alternadores de un lotes. Si el 15% de los alternadores del lote
están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra,
a) ninguno esté defectuoso,
b) uno salga defectuoso,
c) al menos dos salgan defectuosos
d) más de tres estén con defectos
Para la pregunta “d” puede realizar
la siguiente operación:
1 – [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)]
Ejercicio de prueba #4
La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin
que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una muestra
de 15,
a) 12 duren menos de un año,
b) a lo más 5 duren menos de un año,
c) al menos 2 duren menos de un año.
Ejercicio de prueba #5
Si 6 de 18 proyectos de viviendas violan el código de construcción,
¿cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que
selecciona aleatoriamente a cuatro de ellas, descubra que:
a) ninguna de las casas viola el código de
construcción
b) una viola el código de construcción
c) dos violan el código de construcción
d) al menos tres violan el código de construcción
Ejercicio de prueba #6
Sea x una variable aleatoria binomial. Hallar la distribución de
probabilidad de x si  = 4 y n= 10.
Para resolver esta pregunta utilice la relación de μ=np
Depejando por p queda
P= μ/n
Al tener el parámetro B(n,p) puede buscar en la tabla las x
y sus probabilidades correspondientes. Esto forma la
distribución de probabilidad binomial para este ejercicio.
Aproximación de la distribución
binomial por la normal
Experiencia interactiva, ejemplos y ejercicios relacionados a la
aproximación binomial por la normal
Una distribución binomial B (n, p) se puede
aproximar por una distribución normal, siempre que n
sea grande y p no esté muy próxima a 0 ó 1. La
aproximación consiste en utilizar una distribución
normal con la misma media y desviación típica de la
distribución binomial.
En la práctica se utiliza la aproximación cuando:
Lea el Módulo
de la distribución
normal
n>30, np>5, nq>5
En cuyo caso : x= B(n,p) se puede aproximar a N(μ=np, σ = npq )
Repaso de conceptos
Observe un vídeo de repaso de la distribución de probabilidad binomial
Cuando llegue al enlace haga
click en la columna izquierda en
Bernoulli
y continúe observando el video de
Binomial
Glosario de términos
Distribución de probabilidad discreta - distribución con un número
finito de valores.
Distribución binomial – Distribución discreta que se aplica cuando se
realizan más de una vez y de forma independiente el experimento de
Bernoulli.
Experimento de Bernoulli – Experimento con dos posibles resultados
(éxito o fracaso).
Experimento independiente – Cuando el resultado de un experimento
no tiene influencia en el resultado de otro experimento
Glosario de términos
Éxitos – Es la ocurrencia del evento de interés como cantidad de
defectos, llamadas recibidas, servicios completados.
Fracasos – Es el complemento de los éxitos. Es la ocurrencia del
evento que no es de interés.
Resultados mutuamente excluyentes – Son resultados que no pueden
ocurrir al mismo tiempo. Si un producto sale bueno, no puede salir
defectuoso al mismo tiempo.
Referencias
Anderson, S. (2006). Estadísticas para administración y
economía, ( 8tva ed.) México: Thomson.
Newbold, P. (2003). Statistics for Business And Economics,
(5ta. Ed.). New Jersey: Prentice Hall.
Bluman, A. G. (2007). Statistics. (6ta ed.). New York: Mc Graw
Hil,New York.
http://karnak.upc.es/teaching/estad/MC/taules/com-usartaules.pdf
Referencias
 http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htm
 http://www-stat.stanford.edu/~naras/jsm/example5.html
 http://cyber.gwc.cccd.edu/faculty/jmiller/Binom_Tab.pdf
 http://descartes.cnice.mecd.es/Estadistica/Distribucion_binomial/bin
omial.htm
 http://descartes.cnice.mecd.es/Estadistica/Binomial_Normal/index.ht
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