Tema I
Estudios de los
esfuerzos y
deformaciones en la
región elástica
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Fuerzas Internas
Las fuerzas internas, se pueden considerar
como fuerzas de interacción entre las partículas
de los materiales . Además se puede imaginar
que estas fuerzas quedan expuestas al pasar
diferentes planos cortantes a través del cuerpo.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Fuerzo resultante y momento
resultante
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo
Las fuerzas internas que
actúan en diferentes puntos
de un plano cortante se
describen en función de
una
cantidad
llamada
“esfuerzo” que representa
la intensidad de las fuerzas
internas por unidad de
área.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Fuerzas que actúan sobre un punto o
una porción de área referido al plano
de corte
P
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo Promedio

Sea “F” la fuerza resultante del sistema de fuerzas
interiores anteriormente mostrado, se define
“esfuerzo promedio” sobre la sección, al cociente
de la fuerza F sobre la sección A. Asimismo se
debe considerar una porción ΔA sobre la cual
actúa la fuerza ΔF siendo el esfuerzo promedio el
cociente de ΔF entre ΔA

m 

F
A

m 
F
A
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo en un punto de la sección
ΔA

Si P es un punto perteneciente al área ΔA, se
define el esfuerzo en este punto como el límite del
cociente de ΔF entre ΔA cuando ΔA tiende a cero.

 s  lim
A 0

F
A


dF
dA
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo Normal

La componente vectorial de F sobre la normal a la
sección trazada por el centroide se representa por
el vector N. A partir de ella se define el esfuerzo
promedio sobre toda la superficie como el
cociente de N y A, igualmente se hace para una
porción de área ΔA donde actúa la fuerza ΔN que
es la componente vectorial de ΔF sobre la normal
al plano.

n 

N
A

n 

N
A
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo normal en un punto

Sea P un punto perteneciente al área ΔA, el
esfuerzo normal en dicho punto se define como:

 n  lim
A 0

N
A


dN
dA
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Dirección normal al plano que pasa
por el punto P
z

n


Y
nˆ  cos  n , x iˆ  cos  n , y  ˆj  cos  n , z kˆ
X
nˆ  cos  iˆ  cos    ˆj  cos  kˆ
nˆ  l iˆ  m ˆj  n kˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzo normal
Como se vio anteriormente, la dirección normal
al plano se representa de la siguiente manera:
nˆ  l iˆ  m ˆj  n kˆ
La componente escalar del esfuerzo normal medio
sobre toda la superficie se define como:

 m   m nˆ
La componente escalar del esfuerzo normal en
un punto se define como:

 n   s nˆ   s cos 
Donde  es el ángulo entre σs y σn
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzo normal
La componente vectorial del esfuerzo normal se
haya por medio del teorema de Cauchy


 n   n nˆ   s cos  nˆ   s  nˆ   nˆ
El esfuerzo normal es a tensión si tiene el
mismo sentido de la normal (se considera
positivo).
El esfuerzo normal es a compresión si tiene
sentido contrario al de la normal (se considera
negativo).
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo Tangencial
La componente vectorial de la fuerza F en
dirección de la recta t a la sección trazada por el
centroide se representa con el vector T. El
esfuerzo tangencial promedio sobre la sección A

se define como:

 tm 
T
A
El esfuerzo tangencial promedio sobre la

porción de área ΔA

 tm 
T
A
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo Tangencial en un punto
Sea P un punto perteneciente a la porción de área
ΔA, se define el esfuerzo tangencial sobre dicho
punto como:

 t  lim
A 0

T
A


dT
dA
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzo tangencial
La dirección tangente viene dada por:
tˆ 
nˆ x sˆ  x nˆ
sen 
La componente escalar del esfuerzo tangencial

viene dada por:
   tˆ
t
s
La componente vectorial del esfuerzo tangencial
en dirección de la recta t se define como:



 t   t  tˆ   s  tˆ   tˆ   nˆ   s   nˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes vectoriales del
esfuerzo resultante
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ángulo entre el vector esfuerzo
resultante y el vector esfuerzo normal

  arccos
n

s
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes normal y tangencial del
esfuerzo σs
El
vector
esfuerzo
referido a la sección A, a
la porción de área ΔA o
al punto P tiene dos
componentes escalares,
una componente normal
y otra tangencial. Como
las direcciones normal y
tangencial
son
perpendiculares entre si,
podemos decir que:

2
s

2
n

2
t
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes escalares del esfuerzo
σs si la sección es un plano
coordenado
Para determinar las componentes cartesianas del
esfuerzo σs, es necesario definir un sistema de
ejes cartesianos. De manera que el plano π
corresponde a un plano coordenado, la normal a
este plano que pasa por el origen es un eje
coordenado;
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Cortes del elemento de volumen
paralelos a los planos coordenados
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes escalares de σ para los
diferentes planos coordenados
Plano π
Ox
Oy
Oz
Identificación
Oyz
σxx
xy
xz
La normal dirigida hacia el
exterior es paralela al eje X
Oxz
yx
σyy
yz
La normal dirigida hacia el
exterior es paralela al eje Y
Oxy
zx
xy
σxx
La normal dirigida hacia el
exterior es paralela al eje X
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes escalares de σ para los
diferentes planos coordenados



yz

y


yx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Estado de esfuerzo
Para establecer el estado de esfuerzo en un
punto se ha de definir nueve cantidades, sin
embargo es posible cierta simplificación, para
esto se busca una relación entre los esfuerzos
tangenciales
que
actúan
en
planos
perpendiculares entre si colocados en un cuerpo
en equilibrio el cual es un paralelepípedo con
aristas Δx, Δy, Δz en dirección de cada eje con
las caras respectivas paralelas a los planos
coordenados.
A continuación se hace un
ejemplo para los esfuerzos cortantes zy y yz,
para los demas se sigue el mismo
procedimiento
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
estado de esfuerzo
Las fuerzas asociadas con los esfuerzos zy y
yz ejercen su acción sobre las caras
correspondientes del paralelepípedo, sus
valores corresponden al producto del esfuerzo
por el área de la cara.
F1 = zyΔxΔy
F2 = yzΔxΔz
igualmente para F3 y F4
Z
F1
zy
F2
F4
yz
yz
Y
zy
F3
X
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
estado de esfuerzo
El paralelepípedo es una porción del cuerpo
en equilibrio, por lo que la sumatoria de
fuerzas verticales y la sumatoria de fuerzas
horizontales debe ser cero.
F1 + F 3 = 0
F1 = -F3
F2 + F 4 = 0
F 2 = - F4
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
estado de esfuerzo
Las fuerzas F1 y F3 forman un par,
igualmente las fuerzas F2 y F4, para que el
paralelepípedo esté en equilibrio los dos
pares deben producir momentos iguales y de
signo contrario, la suma de ambos debe ser
nula:
zyΔxΔyΔz - yzΔxΔyΔz = 0
de donde
zy = yz
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
estado de esfuerzo
Se sigue el mismo procedimiento para los
demás esfuerzos cortantes, entonces se afirma
lo siguiente
xy = yx
xz = zx
yz = zy
El estado de esfuerzos para un punto
cualquiera de un sólido sometido a cargas se
define entonces con seis componentes
σx, σy, σ z, xy, xz, yz
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Convención de signos
Planos: Se considera que un plano coordenado
es positivo si su normal (saliente del elemento de
volumen) apunta en la dirección positiva de un
eje coordenado. En caso contrario el plano será
considerado negativo.
Esfuerzos normales: Un esfuerzo normal se
considera positivo si es de tracción y negativo si
es de compresión.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
convención de signos
Esfuerzos tangenciales: un esfuerzo tangencial
es positivo si, actuando en un plano positivo (o
negativo), apunta en la dirección positiva (o
negativa) de un eje coordenado. Por el contrario
un esfuerzo tangencial será negativo si, actuando
en un plano positivo ( o negativo), apunta en la
dirección negativa (o positiva) de un eje
coordenado.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Estado de esfuerzo en el punto P
Conocidos los esfuerzos en planos paralelos a los
planos coordenados que pasan por un punto
interior P en un cuerpo en equilibrio se desea
conocer el vector esfuerzo que actúa en ese
punto, referido a un plano que es perpendicular a
la dirección definida por el vector y que pasa por
dicho punto:

 s  S x iˆ  S y ˆj  S z kˆ

s  s 
S S S
2
x
2
y
2
z
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo vectorial resultante en el
punto P
ABC
BOC
BOA
AOC
A
A1
A2
A3
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Cosenos directores que definen la
línea de acción del esfuerzo
resultante sobre el punto P
Sx
cos  s , x   l s  
s
Sy
cos  s , y   m s  
s
Sz
cos  s , z   n s  
s
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Si las dimensiones del tetraedro fueran
constantes y finitas, además de las fuerzas
sobre las caras habría que considerar el peso
del material encerrado en su volumen, sin
embargo, en el límite, el peso del material es
despreciable, por eso no aparece en el siguiente
sistema de fuerzas equivalentes
F
F
F
x
y
z
0
S x A   x A1   yx A 2   zx A3  0
0
S y A   xy A1   y A 2   y A3  0
0
S z A   xz A1   yz A 2   z A3  0
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
z
R

b
n
e

o

Y
c
cos   l 
a
A1
A
X
n
R
e
α
cos   m 
A
α
cos   n 
A
A1
β
A3
A
β
o
A2
A2
a
X
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes cartesianas del
esfuerzo resultante en el punto P
S x   xx l   yx m   zx n
S y   xy l  
yy
m   zy n
 s    ij nˆ 

S z   xz l   yz m   zz n
Sx

Sy

Sz
   xx  xy  xz
 
    yx  yy  yz
 
   zx  zy  zz






l 
 
m
n 
 
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos y fuerzas en las caras del
tetraedro elemental
Cara
ABC
BOC
BOA
AOC
Área
A
A1
A2
A3
Sx
σxx
yx
Ox
Sy
xy
xz
σyy
zx
zy
σzz
Oz
zxA3
- zyA3
Ox
- σzzA3
Oz
Componentes
de esfuerzo
Componentes
de fuerza
Sz
SxA
- σxxA1
SyA
xyA1
- xzA1
SzA
-
yz
- yxA2
- σyyA2
-
yzA2
-
Dirección
Oy
Oy
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Tensor de esfuerzos de Cauchy
(estado de esfuerzo en el punto P)
x
 ij   yx
 zx
 xy
 xz

y
 yz
 zy
z
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo normal sobre el punto P
referido al plano en cuestión



 n   s  nˆ  S x iˆ  S y ˆj  S z kˆ  l iˆ  m ˆj  n kˆ
 n  S xl  S y m  S z n

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Si en la ecuación anterior sustituimos los
valores de:
S x   xx l   yx m   zx n
S y   xy l  
yy
m   zy n
S z   xz l   yz m   zz n
Obtendríamos:
 n   x l   y m   z n  2  xy lm   xz l n   yz mn 
2
2
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo tangencial en el punto P
referido al plano en cuestión
(vectorial)

 t   S x  l  n iˆ  S y  m  n  ˆj   S z  n  n kˆ



 t   x l   yx m   zx n   l  n iˆ 




  xy l   y m   zy n   m  n mˆ   xz l   yz m   z n   n  n kˆ

 t   tx iˆ   ty ˆj   tz kˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo tangencial en el punto P
referido al plano en cuestión (escalar)
   x l   xy m   xz n    yx l   y m   yz n    zx l   zy m   z n 
2
2
t

2

  x l   y m   z n  2  xy ml   xz l n   yz nm 
2
2
2

t  t 
t 
 
2
tx
 
2
s
2
ty
2
n

2
tz
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos Principales

Para cualquier estado de esfuerzos en un punto P
de un cuerpo, existen tres planos que pasan por
ese punto sobre los cuales los esfuerzos
tangenciales o cortantes son nulos y los únicos
esfuerzos que actúan sobre ellos son esfuerzos
normales.
Estos planos son los “planos
principales” y los esfuerzos normales a esos
planos se les llama “esfuerzos principales”
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos principales
El procedimiento es maximizar la ecuación
del esfuerzo normal, haciendo uso del
método de Lagrange donde la condición es:
l  m  n 1
2
2
2
Solamente l y m pueden ser consideradas
como variables independientes de tal
manera que:
 n  S xl  S y m  S z 1  l  m
2
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos principales
Los valores extremos sobre los ejes principales
se designan como una condición estacionaria y
esta dada por:
 n
l
 n
m
 S xn  S z
 S yn  S z
l
 0
n
m
n
 0
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos principales
De lo anterior se obtiene la siguiente relación
entre las componentes del esfuerzo resultante
y los cosenos directores
Sx
l

Sy
m

Sz
n
La proporcionalidad de la ecuación anterior genera
el siguiente postulado: “cuando sobre un plano se
tiene un valor extremo o principal del esfuerzo
normal, sobre este plano (Plano Principal) el
esfuerzo cortante es nulo”.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos principales
De la proporcionalidad anterior salen las
siguientes ecuaciones
S x   il ;
S y   im ;
S z   in
La condición para que este sistema de ecuaciones
lineales homogéneas no presente soluciones
triviales, es el que determinante de sus
coeficientes sea igual a cero
  x   i   xy  xz 


 xy  y   i   yz   0


 zx  zy  z   i  
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ecuación característica
El desarrollo del determinante proporciona una
ecuación característica de tercer grado
  I 1  I 2 i  I 3  0
3
i
2
i
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Invariantes de esfuerzos
Como
los
esfuerzos
principales
son
independientes de la orientación del sistema de
referencia, los coeficientes de la expresión
anterior tienen que ser también independientes
de la orientación del sistema de referencia; las
expresiones de éste tipo se denominan
invariantes. Los coeficientes I1, I2, I3, se
denominan invariantes de los esfuerzos.
I1   x   y  
z
I 2    x  y   y  z   x 
z
 
I 3   x  y  z  2 xy  xz  yz   x
2
yz
2
xy
  xz   yz
2
  y
2
2
xz
  z
2
xy
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Invariantes de esfuerzo
El término I3 es el resultado de resolver el
determinante del tensor de esfuerzos
 x

I 3    yx


 zx
 xy
 xz 

y
 yz
 zy
z





Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Según el teorema fundamental del álgebra la
ecuación característica se puede escribir
como el producto de las diferencias entre la
incógnita y las raíces de la ecuación
 i   1  i   2  i   3   0
De lo anterior tendríamos que los invariantes de
esfuerzos pueden escribirse de la siguiente forma
I1   1   2   3
I 2    1 2   2 3   3 1 
I 3   1 2 3
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Orden de los esfuerzos
principales
Es sumamente importante ordenar los esfuerzos
principales de manera que:
σ1 > σ2> σ3
algebraicamente
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Direcciones Principales
Una vez determinados los esfuerzos principales
se deben determinar los cosenos directores de los
ejes principales (1), (2), (3), con respecto a los
ejes de referencia X, Y, Z. Para este estudio, las
tres direcciones principales se definen por medio
de los vectores n1, n2, n3, dirigidos según la
normal a cada unos de los planos principales. De
esta forma se tiene:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Cosenos directores para el eje (1)
nˆ1  cos 1, x iˆ  cos 1, y  ˆj  cos 1, z kˆ
nˆ1  cos  1 iˆ  cos   1  ˆj  cos  1 kˆ
nˆ1  L1iˆ  M 1 ˆj  N 1 kˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Cosenos directores para el eje (2)
nˆ 2  cos  2 , x iˆ  cos  2 , y  ˆj  cos  2 , z kˆ
nˆ 2  cos  2 iˆ  cos   2  ˆj  cos  2 kˆ
nˆ 2  L 2 iˆ  M 2 ˆj  N 2 kˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Cosenos directores para el eje (3)
nˆ 3  cos 3 , x iˆ  cos 3 , y  ˆj  cos 3 , z kˆ
nˆ 3  cos  3 iˆ  cos   3  ˆj  cos  3 kˆ
nˆ 3  L 3 iˆ  M 3 ˆj  N 3 kˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
En resumen tendríamos:
VECTOR
EJE
X
Y
Z
n1
1
L1
M1
N1
n2
2
L2
M2
N2
n3
3
L3
M3
N3
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Z
Y
X
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Cálculo de las direcciones principales
Li
 zy 
  y   i 


  yz  z   i 

Mi
 xy 
 zy


  z   i   xz 
L M
2
i
2
i
N

2
i
Ni
 xy

 xz
1

  i 

 yz 
y
 Ki
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
calculo de las direcciones principales
 zy 
  y   i 
Ai  

 z   i 
 yz
 xy
Ci  
 yz
 xy 
  zy
Bi  

  z   i   xz 

  i 

 yz

y
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
calculo de las direcciones principales
L i  Ai K i
donde
M i  Bi K i
Ki 
N i  CiK i
1
A B C
2
i
2
i
2
i
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
calculo de las direcciones principales
Li 
Ai
A B C
2
i
2
i
Ni 
Mi 
2
i
Ci
A B C
2
i
2
i
2
i
Bi
A B C
2
i
2
i
2
i
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
calculo de las direcciones principales
Se demuestra asimismo que para dos planos
principales cualesquiera :
Li L j  M i M j  N i N j  0
si
lo cual significa que estos planos son
perpendiculares entre si .
ji
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Direcciones principales referidas al
sistema coordenado ortogonal 1,2,3
L  cos  n , 1   cos    nˆ1  nˆ
M  cos  n , 2   cos     nˆ 2  nˆ
N  cos  n , 3   cos    nˆ 3  nˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo resultante (vectorial y
escalar) en el punto P en función de
los esfuerzos principales

 s  S 1iˆ  S 2 ˆj  S 3 kˆ

 s   1 L iˆ   2 M ˆj   3 N kˆ

s  s 
 L  M
2
1
2
2
2
2
 N
2
3
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo normal (vectorial y escalar)
en el punto P en función de los
esfuerzos principales

n
ˆ
ˆ
ˆ
  n Li   nM j   n Nk

 n   n   1L   2 M
2
2
  3N
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo cortante (vectorial y
escalar) en el punto P en función de
los esfuerzos principales

 t   1   n  L iˆ   2   n M ˆj   3   n  N kˆ
  L  M
2
t
2
1
2
2
2
2
   1   2  L M
2
t
2
2

  N   1L   2 M
2
3
2
2
2
2
  3N

2 2
  2   3  M N   1   3  L N
2
2
2
2
2
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Estado de esfuerzo triaxial, cilíndrico
y esférico



Si σ1, σ2, σ3 son distintos, por lo tanto n1, n2, y n3
son únicos y mutuamente perpendiculares (estado
triaxial).
Si σ1 = σ2 ≠ σ3, por lo tanto n3 es único y cada
dirección perpendicular a n3 es una dirección
principal asociado con σ1 = σ2 (estado de
esfuerzos cilíndrico).
Si σ1= σ2 = σ3, por lo tanto cada dirección es una
dirección principal (estado esférico).
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Estados de esfuerzos triaxial,
cilíndrico y esférico
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Valores extremos del esfuerzo
cortante o esfuerzos cortantes
principales

2
t
 L  M
2
1
2
2
2
2
  N   1 L   2 M
2
3
2
2
2
  3N

2 2
Poniendo la ecuación anterior en función de L y M
solamente se obtiene:
  L   
2
t
2
2
1
2
3
  M 
2
2
2

2
3
 
2
3

 L  1   3   M
2
2
 2   3    3 
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos cortantes principales
El objetivo es maximizar la ecuación anterior,
esto se hace diferenciando con respecto a L y
M e igualando a cero
2  1   3   2

L  L  1   3   M
L
t

 t
 t
M

2  2   3 
t
2
 2
M  L  1   3   M


 2   3    1   3   0
2

1
2

 2   3    1   3   0
2

1
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Posibles soluciones del sistema
anterior






Caso 1:
L=±1 M=0
N=0
Caso 2:
L=0
M= ±1 N=0
Caso 3:
L=0
M=0
N= ±1
Caso 4: L= ±√2/2 M= ±√2/2 N=0
Caso 5: L= ±√2/2 M=0 N= ±√2/2
Caso 6: L=0 M= ±√2/2 N= ±√2/2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos cortantes máximos para los
casos anteriores
Caso 1 :   0
Caso 2 :
  0
Caso 3 :
  0
Caso 4 :
  
1 
2
2
Caso 5 :
  

2

3
2
Caso 6 :
  
1 
2
3
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos cortantes principales
Si los cosenos directores de los tres últimos
casos son sustituidos por turno en la
ecuación

2
t
 L  M
2
1
2
2
2
2
 N
2
3
2
  1 L   2 M
2
2
  3N

2 2
Se obtienen los valores máximos del
esfuerzo de corte
1  
2 3
2
2  
1 3
2
3  
1  2
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Si los valores de los cosenos directores para los
planos sobre los cuales actúan los esfuerzos de
corte principales son sustituidos en la ecuación
del esfuerzo normal, se obtendrían los valores
del esfuerzo normal sobre esos planos:
N1 
 2   3 
2
N2 
 1   3 
2
N3 
 1   2 
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La ecuación que se presenta a continuación es
muy importante en las teorías de falla, ya que
esta muestra que cuando se alcanza la fluencia,
el proceso de deformación plástica que prosigue
es netamente de cizallamiento.
 t  2
 3 LM 
2
  2 LN

2
  1 MN

2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Forma general de las componentes
escalares del esfuerzo resultante en
un punto P sobre un plano cualquiera
La normal en el punto P a la superficie plana de la
sección y los dos ejes perpendiculares entre sí
trazados en el plano π, forman un sistema de ejes
cartesianos ortogonales PX1, PY1, PZ1. Estos
ejes cambian con la posición del punto P y con la
inclinación del plano π.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes del esfuerzo
cortante
La dirección y sentido de cada eje con
relación a los ejes de referencia Ox, Oy, Oz
están determinados respectivamente por los
vectores unitarios
tˆ1  cos  x1 , x iˆ  cos  x1 , y  ˆj  cos  x1 , z kˆ
tˆ2  cos  y 1 , x iˆ  cos  y 1 , y  ˆj  cos  y 1 , z kˆ
nˆ1  cos  z 1 , x iˆ  cos  z 1 , y  ˆj  cos  z 1 , z kˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
componentes del esfuerzo cortante
O también
tˆ1  l1iˆ  m 1 ˆj  n1 kˆ
tˆ2  l 2 iˆ  m 2 ˆj  n 2 kˆ
ˆn1  l iˆ  m ˆj  n kˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes del esfuerzo cortante
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
componentes del esfuerzo cortante
El vector esfuerzo resultante tiene dos conjuntos
de componentes escalares (Sx, Sy, Sz) son las
componentes con relación al sistema coordenado
de referencia (fijo) Oxyz; (1, 2, σn) son las
componentes con relación al sistema variable
Px1y1z1. Estas últimas se calculan usando las
igualdades siguientes:

 1   s tˆ1

 2   s tˆ2

 n   s nˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
componentes del esfuerzo cortante
En función de los elementos del tensor se
tendría
 1   x l1l   y m 1 m   z n1 n   yx  m 1l  l1 m    xz  n1l  l1 n    yz  n1 m  m 1 n 
 2   x l 2 l   y m 2 m   z n 2 n   yx  m 2 l  l 2 m    xz  n 2 l  l 2 n    yz  n 2 m  m 2 n 
 n   x l   y m   z n  2  xy lm   xz l n   yz mn 
2
2
2
t 
 
2
1
2
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
componentes del esfuerzo cortante
Escribiéndolo de forma matricial se
tendría:
  1   l1

 
  2    l1
   l
 n 
m1
m1
m
n 1   x

n1  xy

n   xz

 yx

y
 yz
 zx   l 
 
 zy   m 
 n 
 z  
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Transformación de ejes
ˆ s '  A ˆ s
nˆ '  A nˆ
 ij '  A  ij A
Cos  xx ' 
Cos  yx ' 
Cos  zx ' 
A  Cos  xy ' 
Cos  yy ' 
Cos  zy ' 
Cos  xz ' 
Cos  yz ' 
Cos  zz ' 
ˆ n '  A ˆ n
ˆ t '  A ˆ t
T
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
transformación de ejes
 x '  xy '  xz '   l1

 
 yx '  y '  yz '   l 2

 l

'

'

'
 3
zy
z 
 zx
m1
m2
m3
n 1   x

n 2   yx
n 3   zx

 xy

y
 zy
 xz   l1
l2

 yz   m 1 m 2
 n
 z  1 n2
l3 

m3 
n 3 
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos normales después de la
transformación de ejes
Resolviendo lo anterior podemos encontrar
los elementos del tensor para la nueva
ubicación de los ejes:
 x '   l   y m   z n  2  xy l1 m 1   xz l1 n1   yz m 1 n1 
2
x 1
2
1
2
1
 y '   l   y m   z n  2  xy l 2 m 2   xz l 2 n 2   yz m 2 n 2 
2
x 2
2
2
2
2
 z '   l   y m   z n  2  xy l 3 m 3   xz l 3 n 3   yz m 3 n 3 
2
x 3
2
3
2
3
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos cortantes después de la
transformación de ejes
 xy '   x l1l 2   y m 1 m 2   z n1 n 2   xy l1 m 2  m 1l 2    yz  m 1 n 2  n1 m 2 
  xz  n1l 2  l1 n 2    yx '
 yz '   x l 2 l 3   y m 2 m 3   z n 2 n 3   xy l 2 m 3  m 2 l 3    yz  m 2 n 3  n 2 m 3 
  xz  n 2 l 3  l 2 n 3    zy '
 xz '   x l1l 3   y m 1 m 3   z n1 n 3   xy l 3 m 1  m 3 l1    yz  m 3 n1  n 3 m 1 
  xz  n 3 l1  l 3 n1    zx '
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo normal octaédrico y
esfuerzo de corte octaédrico
 oct   m 
 oct 
1
3
 1   2 
3
 oct  
1  2 3
2
3
2
  2   3    3   1 
2
1   2   3
2
2
2
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Desviador de esfuerzos y esfuerzo
hidrostático
El estado de esfuerzo en un punto interior de un
cuerpo, se puede dividir en dos componentes, un
estado de esfuerzo que produce distorsión o
cambio de forma (desviador de esfuerzo) y un
estado de esfuerzo que produce variación de
volumen (esfuerzo esférico o hidrostático).
0 
 1 0 0   m 0 0    1   m  0
 


 

0 2 0  0 m 0  0
2 m
0
 


 
 0 0  3   0 0  m   0
 3   m 
0
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes del desviador de
esfuerzos
  1  m 
''
1
  2 m 
''
2
  3 m 
''
3
2 1   2   3
3
2 2   1   3
3
2 3   1   2
3
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Dirección del desviador de
esfuerzos
La dirección del esfuerzo principal del desviador
de esfuerzos es la misma que la del esfuerzo
principal del esfuerzo total, es decir, σ1’’ tiene la
misma dirección de σ1. Puesto que un cuerpo
isotrópico incompresible no se deforma por la
presión hidrostática, la deformación depende
solamente del desviador de esfuerzo, sin la
contribución del componente esférico
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Desviadores de esfuerzo principal
 
'' 3
  I
I 
''
2
''
''
3
0
donde
I 
''
2
I 
''
3
1
3
I
1
27
2
1
 3I2
21 I
3
1

 9 I 1 I 2  27 I 3

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Circulos de Mohr
La ecuación del que representa al círculo de
Mohr es la ecuación de una circunferencia del
tipo:
2
2 3 

2 3 
2
 n 
   

2
2




2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Centros y radios de los círculos de
Mohr
C1 
R1 
2 3
2
2 3
2
C2 
R2 
1  3
2
1 3
2
C3 
R3 
1  2
2
1  2
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Relación entre radios y centros
de Mohr y el estado de esfuerzo
Observando las ecuaciones de centros y radios
dadas anteriormente podemos afirmar que los
centros de los círculos de Mohr equivalen a los
esfuerzos normales, y los radios de dichos
círculos equivalen a los esfuerzo cortantes.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Círculos de Mohr



R 2

R 3
 R 1




Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Pasos para conseguir σn,σs, y t



Se dibujan los tres círculos de Mohr, con los
centros y radios dados por las ecuaciones
anteriores.
Se mide el ángulo =arc cos(L) a partir de una
vertical trazada por σ1 y hacia la izquierda, se
traza una recta con éste ángulo que corta las
circunferencias 2 y 3 en Q2 y Q3.
Con centro en C1 se traza el arco Q2Q3
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Se mide el ángulo =arc cos(N) a partir de una
vertical trazada por σ3 y hacia la derecha, se
traza una recta con este ángulo que corta a las
círculos 1 y 2 en los puntos S1 y S2.

Con centro en C3 se traza el arco S1S2. Los dos
arcos se interceptan en el punto “A” cuyas
componentes son los esfuerzos buscados.

Como un chequeo de la precisión en el trabajo,
se mide el ángulo β=arccos(M) en cada lado de
la vertical trazada por σ2, se cortan los círculos
C1 y C3 en T1 y T3. Con centro en C2 y radio
C2T1 se traza el arco T1AT3. Si el diagrama es
preciso, los tres arcos deben encontrarse en un
punto común (A).
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Solución gráfica

Q2
t
A
S2
Q3
s


S1
n




Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ecuaciones de equilibrio
En esta parte se van a obtener las ecuaciones
que deben verificar las fuerzas que actúan sobre
un elemento de volumen en el interior de un
cuerpo, de manera que este se encuentre en
equilibrio. Para hacer este estudio se deben
tomar un punto P y un punto Q ubicados en
vértices opuestos del paralelepípedo elemental,
como se muestra en la figura.
A
B
D
Q
P
C
F
E
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos sobre las caras que
concurren en el punto P
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos que concurren en el punto
Q
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
CARA
OX
PABC
  yz dxdz
PADF
  yx dxdz
PCHF
  zx dxdy
OBCE
QDFE
ODAB
 x




dx
 x
 dydz
x


  yx


  yx 
 dxdz
dy



y


  zx




dz
 zx
 dxdy
z


F mx
OY
  zy dxdy
  y dxdz
  y dxdz
OZ
  yz dxdz
  yz dxdz
  z dxdy
  xy


  xy 
 dydz
dx



x


 y


 y 
 dxdz
dy



y


  zy


  zy 
 dxdy
dz


z


F my
  xz




dx
 yx
 dydz
x


  yz


  yx 
 dxdz
dy



y


 z




dz
 z
 dxdy
z


F mz
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ecuaciones de equilibrio

x
x
  xy
x
  xz
x



  yx
y

y
y
  yz
y



  zx
z
  zy
z

z
z
 Fx  0
 Fy  0
 Fz
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformaciones en tres dimensiones
Si un sistema de fuerzas exteriores actúa sobre
un cuerpo que está impedido de moverse por las
restricciones que imponen las condiciones de
borde, o si por un medio físico-químico cualquiera
se
altera
su
temperatura,
bajo
estas
circunstancias el cuerpo sufre cambios en su
geometría
que
se
llaman
comúnmente
deformaciones.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones en tres dimensiones
La teoría que se va a presentar sobre las
deformaciones esta basada en un conjunto de
suposiciones que caracterizan el modelo físico
descrito a partir de los siguientes postulados:
a) El cuerpo tiene una distribución continua de
la materia (homogéneo).
b) Cuando aparecen en los cálculos ángulos
pequeños expresados en radianes, se pueden
sustituir por el seno o la tangente
trigonométrica respectiva.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones en tres dimensiones
c) Las deformaciones son pequeñas.
Los
desarrollos de las relaciones donde intervienen se
interrumpen en los términos de primer grado
despreciándose todos los demás, desde aquellos
en donde aparecen cuadrados o productos de las
mismas deformaciones; la teoría basada en estas
suposiciones se conoce como la teoría
linealizada de la deformación.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones en tres dimensiones
d) Los planos y rectas en el cuerpo antes de la
deformación quedan como tales después de la
misma.
e) La teoría es aplicable únicamente a regiones
pequeñas dentro del cuerpo y el análisis de las
deformaciones sólo se refiere a las cercanías
inmediatas de un punto determinado.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones en tres dimensiones
Y
A
YA
lo
A'
B
l
B'
YA
XA
XA
X
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones en tres dimensiones
Supongamos que A y B son dos puntos en un
material cualquiera, la distancia entre ellos es lo,
cuando no se han aplicado fuerzas externas al
cuerpo. Ahora, si lo sometemos a fuerzas, el
mismo tomará una nueva posición (líneas
punteadas), en la cual AB se movió a A’B’. La
distancia AA’ ha sido el desplazamiento del punto
A y similarmente BB’ es el desplazamiento de B.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones en tres dimensiones
Si A’B’ es paralela e igual que AB el
desplazamiento ha sido solamente de traslación;
pero si no es paralela, entonces incluye rotación
y traslación.
Si la distancia l entre A’ y B’ no es igual a lo
entonces ha existido desplazamiento relativo de B
con respecto a A y por lo tanto ha sucedido un
estado de deformación.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones en tres dimensiones
La posición de cualquier punto y su
desplazamiento pude ser especificada con
respecto a cualquier sistema de coordenadas X,
Y, Z. Así en tres dimensiones el punto A tiene
coordenadas XA, YA, ZA de manera que el
desplazamiento de A a A’ puede ser representado
por
ΔXA,
ΔYA,
ΔZA,
proyectando
el
desplazamiento sobre los ejes X, Y, Z
respectivamente.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones en tres dimensiones
La notación que debe usarse es:
ΔX=u
ΔY=v
ΔZ=w
De manera que las cantidades u, v y w son
usualmente referidas a “desplazamientos”
deformaciones en tres dimensiones
Para realizar el estudio de las deformaciones
se va a considerar el siguiente elemento
diferencial de volumen
3
dx
dy
dy
1
4
dx
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Relación entre desplazamientos y
deformaciones
Sea u = f(x,y,z) ; v = f’ (x,y,z) ;
w = f’’ (x,y,z)
dx
X
2
1
dx
u
1
u
2
Existe traslación
dx
u
1
X
Existe deformación
u
u
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Desplazamiento del punto 1 y
el punto 2
Desplazami ento del punto 1 
Desplazami ento del punto 2

u ( en la dirección
u  u  u 
u
 
l f  l0
l0
x 
ala rgam iento
longitud
inicial
dx
 x
dx

u
x
u
x
x)
dx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Y
deformación
3
v
Traslación
3
v
dy
3
dy
1
1
dy
v
1
v
v
X
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Desplazamiento de los puntos
1y3
Desplazami ento del punto 1 
Desplazami ento del punto 3 
v
y 
ala rgam iento
longitud
inicial

y
v ( en la dirección
v  v  v 
dy
dy

v
y
v
y
dy
y)
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformaciones en dirección de
los ejes coordenados
Análogamente en la tercera dimensión se
tiene: z = ∂w/∂z.
Por lo tanto:
x 
u
x
y 
v
y
z 
w
z
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Lo que realmente ocurre es:
4'
3'
4
3
2'
1'
1
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Desplazamiento de la arista 1-2
Y
2'
v =(∂v/∂x)dx
1'
v
1
dx
2
X
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Desplazamiento de la arista 1-3
Y
(∂u/∂y)dy
3'
3
dy
u
1
1'
X
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Y
u
(∂u/∂y)dy
4'
(∂u/∂y)dy
v+(∂v/∂y)dy
(∂v/∂x)dx
3'
4
3

dy+(∂v/∂y)dy


2'
1'
(∂v/∂x)dx
v
2
1
X
u+(∂u/∂x)dx
dx+(∂u/∂x)dx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación angular
La deformación de corte xy sobre un punto es
definido como el cambio en el valor del ángulo
entre los dos elementos originalmente
paralelos al eje X e Y sobre ese punto (12 y
13), de manera que en nuestro caso.
 xy 

2
    
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación angular
v
x
dx
v

x
tan    

u
u 

dx 
dx
1 

x
x 

como
1
u
x
1
entonces
 
v
x
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
u
y
tan    
dy 
como
1
v
y
u
dy
v
y
1
 xy    

dy
y

v 
 1 

y 

 
entonces

v
x

u
y
u
y
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformaciones angulares
De manera similar se hace para yz y para xz
entonces tendríamos:
 xy 
v
x

u

y

yz

w
x

yz
u
z

w
y

v
z
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
El alargamiento Δu en la dirección X se dijo
que era igual a (∂u/∂x)dx, pero esto sucede
análogamente en tres dimensiones
2'
(∂w/∂x)dx
(∂v/∂x)dx
1'
Z
Y
1
X
2
dx+(∂u/∂x)dx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Haciendo superposición en el plano XY, se
tiene:
u 
v 
u
x
v
x
dx 
dx 
u
y
v
y
dy 
dy 
u
z
v
z
dz
dz
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Haciendo superposición en las tres
dimensiones:
u 
v 
w 
u
dx 
x
v
x
dx 
w
x
u
dy 
y
v
y
dx 
u
dy 
w
y
z
v
z
dy 
dz
dz
w
z
dz
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Lo anterior puede ser escrito como el producto de
dos matrices
 u

x
 u  

  v
 v   

x
 w  


 w

 x
u 

y
z
  dx
v v 
  dy
y z 
 dz

w w 

y
z 
u





Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Matriz de los desplazamientos
relativos
D 
ij
 u

x

 v
 
x

 w

 x
u
y
v
y
w
y
u 

z

v 

z

w 

z 
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Aplicando la identidad matricial:
D 
ij
 

 

1
1
t
t 

D ij   D  
D ij   D   dx
2
2

Se obtiene el siguiente resultado
j
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
U
1  U
V 



2  Y
X 
X
D  
ij
1  V
U 



2  X
Y 
V
Y
1  W
U 



2  X
Z 
0

1  U
W 



2  Z
X 
1  V
W 



2  Z
Y 
1  W
V 



2  Y
Z 
1  U
V 



2  Y
X 
1  V
U 



2  X
Y 
1  W
U 



2  X
Z 
0
W
Z
1  U
W 



2  Z
X 
1  V
W 



2  Z
Y 
1  W
V 



2  Y
Z 
0
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
O también:
D 
ij

  xx

   yx 


  zx 

 xy 
1
2
1
2

yx
 zx
1
2
 xy
 xz 
 yy
 zy 
 yz 
1
2
1
 zy
1
2

2

 xz 
yz
 zz
y 
 0   z

  
0 x
z


    y  x 0 


D         
ij
ij
ij
Donde ij es el tensor de deformación y ωij es el
tensor de rotación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Tensor de deformación
U
X
1  V
U 
 ij  


2  X
Y 
1  W
U 



2  X
Z 
1  U
V 



2  Y
X 
V
Y
1  W
V 



2  Y
Z 

1  U
W 



2  Z
X 
1  V
W 



2  Z
Y 
W
Z
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Tensor de deformación
O también
x
 ij 


yx
2
zx
2

xy
2
y
 zy
2
 xz

2
yz
2
z
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Tensor de rotación ω
0
 ij
1  U
V 



2  Y
X 
1  V
U 
 


2  X
Y 
1  W
U 



2  X
Z 
0
1  U
W 



2  Z
X 
1  V
W 



2  Z
Y 
1  W
V 



2  Y
Z 
0
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación normal unitaria en
cualquier dirección
5'
r
+d
r
=
'
r
5
dz+w
dy
3
4
6'
6
dx
r
1'
Z
1
Y
X
dx
2
2'
dx+u
dy+v
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Según Pitágoras, para tres dimensiones
tenemos:
 r  dr 
2
  dx   u    dy   v    dz   w 
2
2
r  dx  dy  dz
2
2
2
2
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Si restamos las dos ecuaciones anteriores (la
segunda de la primera) obtenemos:
2 rdr  dr
2
 2 dx  u   u  2 dy  v   v  2 dz  w   w
2
2
Dividiendo por 2r 2
dr
r

dr
2
2r
2

dx  u
r
2

u
2
2r
2

dy  v
r
2

v
2
2r
2

dz  w
r
2

w
2r
2
2
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Sabemos que:
cos  
dx
l

dx  l  r
r
cos  
dy
m

dy  m  r
r
cos  
dz
r
n

dz  n  r
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Entonces la ecuación quedaría:
dr
r

dr
2
2r
2

lr  u
r
2

u
2
2r
2

mr  v
r
2

v
2
2r
2

nr  w
r
2

Despreciando términos cuadráticos por ser muy
pequeños se tiene:
dr
r

l u
r

mv
r

nw
r
w
2r
2
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Sustituyendo los valores de Δu, Δv, Δw se
tiene:
 m  v

l  u
u
u
v
v

 
dx 
dy 
dz  
dx 
dy 
dz 
r
r  x
y
z
y
z
 r  x

dr

n  w
w
w
 
dx 
dy 
dz 
r  x
y
z

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
dr

r


l u
r x
m v
r x
n w
r x
l r 
l r 
l r 
l u
r y
m r 
m v
r y
n w
r y
m r 
m r 
l u
r z
nr
m v
r z
n w
r z
nr
nr
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Sabiendo que:
x 
 xy 
u
y 
x
v
x

u
y

yz

v
z 
y
w
y

v
z
 xz 
w
w
x
z

u
z
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación normal
 n   x l   y m   z n   xy ml   xz nl   yz nm
2
2
2
Si comparamos esta ecuación con la ecuación del
esfuerzo normal
 n   x l   y m   z n  2  xy lm   xz l n   yz mn 
2
2
2
podemos observar la estrecha relación que
guardan ambas ecuaciones y por consiguiente se
da el siguiente diccionario.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Correspondencia entre
esfuerzos y deformaciones
x

y
z
x
y
z
 xy
 xz
 yz

xy
2

xz
2

yz
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Correspondencia entre esfuerzos
y deformaciones
1
1
2
2
3
3


2
l, m, n
l, m, n
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Correspondencia entre esfuerzos
y deformaciones
 ij
x
 xy
 xz
 yx

y
 yz
 zx
 zy
z

 ij
x

yx
2
 xy
 xz
2
2
y
 zx
 zy
2
2

yz
2
z
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ecuaciones de compatibilidad para
las deformaciones
Los desplazamientos de un punto en un cuerpo
deformado están dados por las tres
componentes u v y w, como funciones continuas
de x, y, z y las deformaciones están definidas
por seis componentes x, y, z, xy, xz, yz. Si se
tienen
las
tres componentes de
los
desplazamientos, todas las componentes de la
deformación pueden ser determinadas mediante
el siguiente procedimiento.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
ecuaciones de compatibilidad para las
deformaciones
Las tres primeras ecuaciones se deducen de la
siguiente manera:



Se parte de las expresiones de las
deformaciones angulares xy, xz, yz.
Se derivan cada una de ellas dos veces en
relación a las variables que aparecen como
subíndices.
En los resultados se sustituyen las derivadas
∂u/∂x, ∂v/∂y, ∂w/∂z por sus respectivas
expresiones x, y, z.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
ecuaciones de compatibilidad para las
deformaciones
 y
2
z
2
 z

x
 x

y
 x
z
2
 y

x
2
 
yz
yz
 
2

zx
zx
 
2
2
2
2
y
2

2
2
2
 z
2
2

xy
xy
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
ecuaciones de compatibilidad para las
deformaciones




Se parte también de las expresiones de las
deformaciones angulares xy, xz, yz.
Se deriva cada una de ellas con respecto a la
variable que no aparece en el subíndice.
Se suman los resultados obtenidos.
A esta suma se resta cada vez el doble de
cada una de las derivadas, obteniéndose tres
expresiones en donde aparecen en los
segundos miembros las derivadas segundas
de las componentes u, v y w.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
ecuaciones de compatibilidad para las
deformaciones

Se deriva cada una de estas tres igualdades
respectivamente con respecto a la tercera
variable x, y o z que no aparecen en las
segundas derivadas.

En los resultados se sustituyen las derivadas
∂u/∂x, ∂v/∂y, ∂w/∂z por sus expresiones x,
y, z
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
ecuaciones de compatibilidad para las
deformaciones
  zx   xy
    yz

2




xy
z  x
y
z




2
 x
    zx   xy   yz

2




yz
x  y
z
x




 y




 z
2
  yz   zx
    xy

2




zx
z  z
x
y
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformaciones principales
Para hallar las deformaciones principales se
hace el mismo procedimiento que con los
esfuerzos principales, esto es debido a la
analogía de las ecuaciones.
 xy

  x   i   xy 
2

 yx

 y   i 
  yx 
2

 zy
 zx





zx
zy

2
2

 xz 
 xz 

2
 l 
 yz   
 yz 
 m   0
2  
 n
 

 z   i  

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones principales
La condición para que el anterior sistema de
ecuaciones lineales homogéneas presente
soluciones no triviales es el que determinante
de sus coeficientes sea igual a cero, es decir:

  x   i 

  yx

2

  zx
 2

 xy


2
2

 yz 
 y   i 
0
2

 zy

 z   i 
2

 xz
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ecuación característica
Desarrollar
el
determinante
anterior
proporciona una ecuación característica de
tercer grado.
  J 1  J 2  i  J 3  0
3
i
2
i
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Invariantes del tensor de las
deformaciones
J1   x   y   z
J 2    x  y   y  z   x  z   
2
xy

J 3   x  y  z  2  xy  xz  yz   x 
2
yz
  y
2
xz

2
xz
2
yz
  z
2
xy
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Invariantes del tensor de las
deformaciones
El invariante J3 es el determinante del tensor de
deformación
 xy

 x
2


yx
J3  
y
 2


zy
zx

2
 2


2 
 yz 

2 

z 


xz
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Como

2
xy

1
4


2
xy
2
xz

1

4

2
xz
2
yz
1

4

2
yz
Entonces los invariantes se escriben:
J1   x   y   z
J 2    x  y   y  z   x  z  
J 3   x y z  2
 xy  xz 
2
2
yz
2
 xy
2


4
x
2
xz

4

2
yz
4
y

2
yz
4

2
xz
4
z

2
xy
4
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Invariantes de las deformaciones en
función de las deformaciones
principales.
J1  1   2   3
J 2    1 2   2  3   1 3 
J 3   1 2  3
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Direcciones principales
Tomando las dos últimas ecuaciones del
sistema lineal homogéneo y resolviendo se
pueden hallar los cosenos directores:
Li
 zy 

  y   i 

2


  yz

 z   i 
 2


Mi
  zy

2



z  i




2

 xz 
2 
xy

Ni
  xy

2

  xz
 2

 y   i 

 yz 
2 
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
direcciones principales
Si llamamos:
 zy 

  y   i 

2


Ai 
  yz

 z   i 

 2

 xy 
  zy


2
2
Bi  

 xz 


z  i 

2 
  xy

2
Ci  
  xz

 2

 y   i 

 yz 

2

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
direcciones principales
Entonces los cosenos directores serían:
Ai
Li 
2
2
2
Ai  B i  C i
Mi 
Ni 
Bi
A B C
2
i
2
i
2
i
Ci
A B C
2
i
2
i
2
i
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Estado de deformación en el punto P
referido al sistema coordenado
ortogonal
El estado de deformación en el punto P viene
dado por:



Deformación resultante.
Deformación normal.
Deformación angular.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación resultante en el punto P
(vectorial y escalar)

 s  S 1iˆ  S 2 ˆj  S 3 kˆ

 s   1 L iˆ   2 M ˆj   3 N kˆ

s  s 
 L  M
2
1
2
2
2
2
 N
2
3
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación normal en el punto P
(vectorial y escalar)

ˆ
ˆ
ˆ
 n   n Li   nM j   n Nk

 n   n  1L   2 M
2
2
 3N
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación angular en el punto P
(vectorial y escalar)

t 
    1   n  L iˆ   2   n M ˆj   3   n  N kˆ
 2 
2
t 
2
2




 
s
n
 2 
2
t 
2 2
    1   2  L M
 2 
2
  2   3  M N   1   3  L N
2
2
2
2
2
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformaciones normales máximas
 n1 
 2   3 
 n2 
2
 n3 
 1   2 
2
 1   3 
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformaciones angulares máximas
1
2

 2   3 
 1   3 
 
 

2
2
 2  max
2
2
3
2

 1   2 
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Circulo de Mohr para deformaciones
En el circulo de Mohr para el caso de
deformaciones, las coordenadas del punto A
corresponden a las componentes cartesianas
( , /2) del vector s. Estas componentes
estan relacionadas con las deformaciones
principales y con los cosenos directores del
vector normal.
2 2
2
2
2
2
2
1 L   2 M
1L   2 M
2
L M
2
2
 3 N
2
N
 3N
2
1
2
 s
 n
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Al resolver el sistema de ecuaciones anterior
se obtiene:
2
          
 2 
2
3


2
L 
 1   2  1   3 
2
N
2
2
M
2
          
 2 
3
1



 2   3  2   1 
          


1
2
2



 3   1  3   2 
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Tomando, por ejemplo, la primera ecuación,
podemos observar lo siguiente: como L2≥0 y
(1-2)(1-3) > 0 entonces podemos decir que:
2
 
      2    3   0
2
Análogamente se hace para las otras dos
ecuaciones, obteniéndose lo siguiente:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
2
2
2
2
2
2
2
2
2  3 

 2  3 
 
 

    
2
2
2




1   3 

 1   3 
 
 

    
2
2 
2



1   2 
 

 1   2 
    
 

2
2
2




2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Centros de los círculos de Mohr para
deformaciones
 2  3

C1  
, 0
2


 1   3

C2  
, 0
2


 1   2

C3  
, 0
2


Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Radios de los círculos de Mohr para
deformaciones
R1 
2  3
R2 
2
R3 
1   2
2
1   3
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Círculos de Mohr para deformaciones








Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Pasos a seguir para obtener la
ubicación del punto A



Se dibujan los tres círculos de Mohr, con los
centros y radios dados por las ecuaciones
anteriores.
Se mide el ángulo =arc cos(L) a partir de una
vertical trazada por 1 y hacia la izquierda, se traza
una recta con éste ángulo que corta las
circunferencias 2 y 3 en Q2 y Q3.
Con centro en C1 se traza el arco Q2Q3.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Pasos a seguir para obtener la ubicación
del punto A

Se mide el ángulo  = arc cos(N) a partir de una
vertical trazada por 3 y hacia la derecha, se
traza una recta con este ángulo que corta a las
círculos 1 y 2 en los puntos S1 y S2.

Con centro en C3 se traza el arco S1S2.

Los dos arcos se interceptan en el punto “A”
cuyas componentes son las deformaciones
buscadas.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Pasos a seguir para obtener la ubicación
del punto A

Como un chequeo de la precisión en el trabajo, se
mide el ángulo β=arccos(M) en cada lado de la
vertical trazada por σ2, se cortan los círculos C1 y
C3 en T1 y T3. Con centro en C2 y radio C2T1 se
traza el arco T1AT3. Si el diagrama es preciso, los
tres arcos deben encontrarse en un punto común
(A).
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Solución gráfica

Q2
t
A
S2
Q3
s


S1
n




Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Cambio unitario de volumen
El cambio unitario de volumen en un punto de
un cuerpo sometido a un estado de esfuerzo
triaxial se puede determinar considerando un
elemento de volumen. El volumen original que
tiene este elemento es Vo = dxdydz y el
volumen fianl esta dado por Vf = Lfx Lfy Lfz
donde:
L fx  L 0 (1   x )  dx (1   x )
L fy  L 0 (1   y )  dx (1   y )
L fz  L 0 (1   z )  dx (1   z )
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
cambio unitario de volumen
Las anteriores son las longitudes finales de
cada arista, de esta forma el volumen final
sería:
V f  1   x 1   y 1   z dxdydz
Por lo tanto el cambio de volumen sería:


 V  V f  V 0  1   x 1   y 1   z   1 dxdydz
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
cambio unitario de volumen
El cambio unitario de volumen o deformación
volumétrica sería:
 
V
V0

 1   x 1   y 1   z   1

Despreciando el producto de cantidades
pequeñas:
 
V
V0
  x   y   z  J1
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Relación de Poisson
Cuando una pieza se somete a un esfuerzo
normal de tensión en una dirección dada, en la
dirección del esfuerzo se produce un alargamiento
y en cada una de las direcciones perpendiculares
aparece una contracción. Si la pieza se somete a
un esfuerzo de compresión, sucede lo contrario,
hay una contracción en dirección del esfuerzo y
un alargamiento en cada una de las direcciones
perpendiculares.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
relación de Poisson
A la dirección del esfuerzo se le llama axial, y
a las direcciones perpendiculares se les
llama transversales. Se le da el nombre de
Relación de Poisson (u) al cociente de la
deformación unitaria transversal y la
deformación unitaria axial
u 
u 
y
x
t
a
u 
z
x
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
relación de Poisson
Dando a los alargamientos el signo positivo y a
las contracciones un signo negativo tendríamos:
Esfuerzo a tracción en la dirección Ox
 y  u
x
 z  u
x
Esfuerzo a compresión en la dirección Ox
 y  u
x
 z  u
x
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Módulo de Elasticidad
La relación entre el esfuerzo y la deformación en la
región elástica es una relación lineal.
Esta
idealización amplia y su generalización aplicable a
todos los materiales se conoce como Ley de
Hooke (σ = E), que significa simplemente que el
esfuerzo es directamente proporcional a la
deformación,
donde
la
constante
de
proporcionalidad (E) es el módulo de elasticidad o
módulo de Young.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
módulo de elasticidad
  E
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Módulo de Rigidez
Igualmente que para el módulo de elasticidad,
se sabe que existe una relación lineal entre el
esfuerzo tangencial o de corte y la deformación
angular.
Se llama Módulo de Rigidez al
cociente del esfuerzo de corte y la deformación
angular (G = /)
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
módulo de rigidez
  G
G 
E
2 1   
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ley de Hooke en tres dimensiones

Todo esfuerzo normal actuando en dos caras
opuestas de un elemento cúbico produce una
deformación
longitudinal
proporcional
al
esfuerzo aplicado y del mismo signo.

Dicho esfuerzo normal ocasiona al mismo
tiempo una deformación transversal de signo
opuesto al esfuerzo aplicado, y cuya magnitud
es una fracción de la deformación longitudinal.

Si en dos caras contiguas de un elemento
cúbico y en sus caras opuestas actúan
esfuerzos tangenciales en equilibrio, se produce
una deformación angular, proporcional al
esfuerzo tangencial actuante.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Es decir:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
A los alargamientos se les ha dado un signo
positivo y al acortamiento un signo negativo,
entonces se tiene
Esfuerzo
σx
σy
σz
Ox
σx/E
-uσy/E
-uσz/E
Oy
-uσx/E
σy/E
-uσz/E
Oz
-uσx/E
-uσy/E
σz/E
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ecuaciones de deformaciones en
función de esfuerzos
x 
y 
z 
1
E
1
E
1
E



x
y
z

   y   z 

   x   z 
   x  
y

 xy 

yz

 xz 
2 1   
E
 xy
2 1   
E
2 1   
E
 yz
 xz
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ecuaciones de esfuerzos en
función de deformaciones
x 

y

z 
E x
1u
E y
1u
E z
1u



E u  x   y   z 
1  u 1  2u 
E u  x   y   z 
1  u 1  2u 
E u  x   y   z 
1  u 1  2u 
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Otra forma de escribirlo sería:
x 

y

z 
E
1  u 1  2u 
E
1  u 1  2u 
E
1  u 1  2u 

1  u 
x
 u  y   z 
1  u 
y
 u  x   z 
1  u 
z
 u  x   y 


Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos cortantes
 xy  G  xy 
 xz  G  xz 
 yz  G 
yz

E
xy
2 1  u 
E
xz
2 1  u 
E
yz
2 1  u 
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos principales en función de
las deformaciones principales
Para hallar los esfuerzos principales a partir
de las deformaciones principales se procede
de la siguiente manera
i 
E i
1u

E u  1   2   3 
1  u 1  2u 
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Constante de Lame

Eu
1  u 1  2u 
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos en función de la constante
de Lame
x 

y

z 
E
1u
E
1u
E
1u
 x   J 1  2G  x   J 1
 y   J 1  2G  y   J 1
 z   J 1  2G  z   J 1
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos principales en función de
la constante de Lame
E
1 
 1   J 1  2G  1   J 1
1u
2 
3 
E
1u
E
1u
 2   J 1  2G  2   J 1
 3   J 1  2G  3   J 1
 xy   xz   yz  0
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Relación entre esfuerzos y
deformaciones en el circulo de Mohr
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Rosetas
θb
θa
θc
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ecuaciones de rosetas
 a   x cos  a   y sin  a   xy sin  a cos  a
2
2
 b   x cos  b   y sin  b   xy sin  b cos  b
2
2
 c   x cos  c   y sin  c   xy sin  c cos  c
2
2
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TEMA 1 Estudios de los esfuerzos y deformaciones en la región