TEOREMA DEL
LíMITE CENTRAL
DR. JORGE ACUÑA A., PROFESOR
TEOREMA DEL LÍMITE
CENTRAL
“Si se toman sucesivas muestras (k) de tamaño n de
una población que puede o no ser normal, la
distribución de probabilidad de esas muestras,
conforme n se vuelve grande, se aproxima a una
distribución normal con:
  
x


x

x

Z 
x  
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
n
x 

x
CONCEPTOS


Distribución muestral es una lista de todos los
valores posibles para un estadístico y la probabilidad
asociada con ese valor.
Error estándar de la distribución muestral de medias
es:
2
2
x 

2

n
x 
2

n
Factor de corrección para poblaciones finitas
x 
2

x 

n
2
N n


 N 1 
Estimaciones mejores con muestras más grandes
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TEOREMA DEL
LíMITE CENTRAL
n1
N
n2
n3
n4
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , ... , x k

x

x
2
nm
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

n
2
EJEMPLO
a.
b.
c.
d.
El valor nominal de la resistencia de una lámina
de un metal compuesto es de 8500 psi. Por
estudios pasados se conoce que la desviación
estándar de esta resistencia es 1950 psi. Se
tiene una muestra de 100 láminas. ¿Cuál es la
probabilidad de que la media de esa muestra:
Sea mayor a 8900 psi?
Sea menor a 8000 psi?
Esté entre 8200 y 8700 psi?
¿Qué valor de la media tiene una probabilidad de
ocurrencia menor a 16,35%?
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SOLUCIÓN
 = 8500 psi  = 1950 psi n = 100
a. Media mayor que 8900 psi
P ( x  8900 )  1  P ( x  8900 )
 8900  8500 
 1 N
  1  N ( 2 , 05 )
 1950 / 100 
 1  0 ,9798  0 , 0202
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b. Media menor que 8000 psi
 8000  8500 
P ( x  8000 )  N 
  N (  2 ,56 )  0 , 0053
 1950 / 100 
c. Media entre 8200 y 8700 psi
 8700  8500 
 8200  8500 
P ( 8200  x  8700 )  N 
 N

 1950 / 100 
 1950 / 100 
 N (1, 03 )  N (  1, 54 )  0 ,8485  0 , 0618  0 , 7867
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d. Xbarra para P(xbarra=XBar)=0,1635
P ( x  x i )  0 ,1635
 0 ,98 
Z 0 ,1635   0 ,98
x i  8500
1950 / 100
x i  195 x (  0 ,98 )  8500  8308 ,9 psi
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PROPORCIONES
MUESTRALES
n1
N
n2
nk
pi 
xi
ni
n3
p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , ... , p k
n4

P
p
Z 
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pP

p
DISTRIBUCIÓN DE LAS
PROPORCIONES MUESTRALES

Error estándar de la distribución muestral de
proporciones es:


p

P (1  P )
n
Factor de corrección para poblaciones finitas

p

P (1  P )
N n
n
N 1
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EJEMPLO
Se afirma que de los lotes de productos 8%
son defectuosos. Al inspeccionar un lote de
éstos sobre la base de una muestra de 1098
unidades se encuentran 102 que no reúnen
los requisitos planteados. ¿Qué probabilidad
de ocurrencia tiene un porcentaje igual o
menor al encontrado en esta muestra?
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SOLUCIÓN
P = 0,08
p = 102/1098= 0,0929(9,29%)
Probabilidad pedida:
Z 

p
0 , 0929  0 , 08



0 , 0929  0 , 08
 1,58
0 , 00819
p
0 , 08 (1  0 , 08 )
 0 , 00819
1098
N (1,58 )  0 ,9430
P(p  0,0929)  0,9430
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