UNIVERSIDAD LATINA
DE COSTA RICA
DISTRIBUCION NORMAL
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
1
DISTRIBUCION DE VARIABLE
ALEATORIA CONTINUA
• La variable en estudio es continua: todas las
dimensiones (altura, peso, temperatura, ph,
espesor, área, volumen, diámetro,
• La variable toma valores en el conjunto de los
números reales y no es estrictamente mayor-igual
que cero.
• Ejemplo de variables negativas: temperatura,
diferencias de diámetro u otras medidas
• Probabilidades de >,=,<,>=,<= son básicamente
los mismos.
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
2
DISTRIBUCION NORMAL
¿Cuándo usar esta distribución?
Para que la teoría de normalidad puede ser usada se deben
cumplir con las siguientes propiedades:
• Comportamiento de simetría lo que implica que la
probabilidad de ocurrencia de un valor X< la media es
aproximadamente igual a la de un valor> que la media.
• El área total bajo la curva es 1, definida de - a + .
• La moda, media y mediana son iguales.
• Media () y varianza (2) determinan la curva y se
pueden calcular las probabilidades deseadas.
• Forma de la curva normal: campana de Gauss
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
3
DISTRIBUCION NORMAL
Función
Fórmulas
f (x) 
densidad
1

Función
2
*e
1  x 
 *

2   
2
acumulada
x
F ( x) 

f ( x ) dx

El valor esperado de la media es  y el de la varianza es 2.
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
4
DISTRIBUCION NORMAL
Forma de
la curva
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
5
DISTRIBUCION NORMAL
•
•
•
•
¿Cómo usar las tablas?
Las tablas de esta distribución dan valores de
probabilidad acumulados de izquierda a derecha y
para extraer estos valores se sigue el siguiente
procedimiento:
Asegurar que la variable sigue un comportamiento de
normalidad (esto se hace con una prueba de bondad
de ajuste).
Calcular los valores de la desviación estándar y el
promedio y determinar el valor de x para el que se
desea calcular la probabilidad.
Calcular el valor de Z=(x-)/.
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
6
DISTRIBUCION NORMAL
¿Cómo usar las tablas?
• Localizar en tablas el valor de la probabilidad asociada a
ese valor de Z. Los valores de Z pueden ser negativos o
positivos. Los primeros dos dígitos de Z se encuentran
en la columna de la izquierda y el tercer dígito en la
parte superior de la tabla. Por ejemplo si Z es igual 3.21 entonces el valor de la probabilidad es 0.0007 pues
se localiza en la intersección de -3.2 en la columna de
la izquierda y 0.01 en la parte superior tal y como se
muestra a continuación.
• Tabla se puede usar al
revés.
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
7
DISTRIBUCION NORMAL
EJEMPLO 1
Una empresa especifica que el peso medio de uno de
sus productos debe ser de 2 Kg. con una
desviación estándar de 0.05 Kg. Sabiendo que esta
variable se distribuye normalmente:
a. ¿cuál es la probabilidad de que un producto pese:
– menos de 1.93 Kg?
– mas de 2.02 Kg.?
– entre 1.90 y 2.06 Kg.?
b. Si la probabilidad a la izquierda de X gramos es
0.015, ¿cuánto vale x?
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
8
DISTRIBUCION NORMAL
SOLUCION
a. =2 Kg.
=0.05 Kg.
• P(x1.93)=?
 1 . 93  2 
P ( x  1 . 93 )  N 
  N   1 . 4   0 . 0808
 0 . 05 
La probabilidad de que un producto pese menos de 1.93
Kg. es 0.0808.
• P(x2.02)=1-P(x2.02)=1-0.6554=0.3446
 2 . 02  2 
P ( x  2 . 02 )  N 
  N 0 . 4   0 . 6554
 0 . 05 
La probabilidad de que un producto pese mas de
2.02 Kg. es 0.3446.
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
9
DISTRIBUCION NORMAL
SOLUCION
•
P(1.90x2.06)=?
 2 . 06  2 
 1 . 90  2 
P (1 . 9  x  2 . 06 )  N 
 N

 0 . 05 
 0 . 05 
P (1 . 9  x  2 . 06 )  N (1 . 2 )  N (  2 )
P (1 . 9  x  2 . 06 )  0 . 8849  0 . 0228  0 . 8621
La probabilidad de que un producto pese entre 1.90 y
2.06 Kg. es 0.8621.
x2
P ( X  x )  0 . 015  Z

0 . 05
b. P(X<x)=0.015
Z
en tablas es  2 . 17
Entonces:
0 . 015
0 . 015
 2 . 17 
El valor de x es 1.8915 gramos.
x2
 x  1 . 8915
0 . 05
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
10
DISTRIBUCION
NORMAL
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
11
DISTRIBUCION
NORMAL
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
12
DISTRIBUCION
NORMAL
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
13
DISTRIBUCION NORMAL
EXCEL
Una empresa especifica que el peso medio de uno de sus
productos debe ser de 2 Kg. con una desviación
estándar de 0.05 Kg. Sabiendo que esta variable se
distribuye normalmente.
a. ¿cuál es la probabilidad de que un producto pese:
menos de 1.93 Kg.
mas de 2.02 Kg.
entre 1.90 y 2.06 Kg.?
b. ¿cuál es el valor de peso cuya probabilidad a la
izquierda es de 0.1293?
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
14
DISTRIBUCION NORMAL
EXCEL
SOLUCIÓN:
a. =2 Kg.
=0.05 Kg.
– P(x1.93)=?
En Excel se pulsa en el menú:
INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS, DISTR.NORM
P(x1.93) se introduce el valor de x que es 1.93, el valor
de la media que es 2 y el valor de la desviación
estándar que es de 0.05. En el Acum se escribe
Verdadero pues es la función acumulada. Excel
retorna el valor de la probabilidad que es 0.080756.
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
15
DISTRIBUCION NORMAL
EXCEL
SOLUCIÓN: a. =2 Kg.
=0.05 Kg.
– P(x1.93)=?
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
16
DISTRIBUCION NORMAL
EXCEL
SOLUCIÓN:
– P(x2.02)=?
En Excel se pulsa en el menú:
INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS, DISTR.NORM
P(x2.02)=1- P(x2.02)=?
P(x2.02) se introduce el valor de x que es 2.02, el valor
de la media que es 2 y el valor de la desviación
estándar que es de 0.05. En el Acum se escribe
Verdadero pues es la función acumulada. Excel
retorna el valor de 0.6554. Sin embargo, lo que se
pide es el complemento, sea 0.3446.
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
17
DISTRIBUCION NORMAL
EXCEL
SOLUCIÓN: P(x2.02)=?
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
18
DISTRIBUCION NORMAL
EXCEL
SOLUCIÓN:
– P(1.9x2.06)=?
En Excel se pulsa en el menú:
INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS, DISTR.NORM
P(1.9x2.06)=P(x2.06)- P(x1.9)=0.884930.02275=0.86218
P(x2.06) se introduce el valor de x que es 2.06, el valor de
la media que es 2 y el valor de la desviación estándar
que es de 0.05. En el Acum se escribe Verdadero pues
es la función acumulada. Excel retorna el valor de la
probabilidad acumulada y que es 0.88493.
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
19
DISTRIBUCION NORMAL
EXCEL
SOLUCIÓN:
– P(1.9x2.06)=?
P(x1.9) se introduce el valor de x que es 1.9, el
valor de la media que es 2 y el valor de la desviación
estándar que es de 0.05. En el Acum se escribe
Verdadero pues es la función acumulada. Excel
retorna el valor de la probabilidad acumulada hasta
ese valor y que es 0.02275. La resta de estos
valores es la respuesta.
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
20
DISTRIBUCION NORMAL
EXCEL
SOLUCIÓN:
– P(1.9x2.06)=?
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
21
DISTRIBUCION NORMAL
EXCEL
SOLUCIÓN:
b. P(xX)=0.1293 X=?
En Excel se pulsa en el menú y se elige Normal
inversa.
INSERTAR, FUNCIÓN, ESTADÍSTICAS, DISTR.NORM.INV
P(xX) se introduce el valor de la probabilidad que es
0.1293, el valor de la media que es 2 y el valor de la
desviación estándar que es de 0.05. Excel retorna el
valor de X que es 1.435.
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
22
DISTRIBUCION NORMAL
EXCEL
SOLUCIÓN:
b. P(xX)=0.1293
X=?
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
23
DISTRIBUCION NORMAL
1.
a.
b.
c.
TAREA
Suponga que la fuerza que actúa sobre una
columna que ayuda a sostener un edificio está
normalmente distribuida con media de 15.0 psi y
desviación estándar de 1.25 psi. ¿Cuál es la
probabilidad de que la fuerza
Sea a lo sumo 17 psi?
Sea entre 12 y l7 psi?
Difiera de 15 psi en a lo sumo 1.5 psi?
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
24
DISTRIBUCION NORMAL
TAREA
2. Un tipo particular de tanque de gasolina para un automóvil
compacto está diseñado para contener 15 galones.
Suponga que la capacidad X de un tanque escogido al
azar esté normalmente distribuido con media de 15
galones y desviación estándar de 0.2 galones. ¿Cuál es la
probabilidad de que un tanque seleccionado al azar:
a. contenga a lo sumo 14.8 galones?
b. contenga entre 14.7 y 15.1 galones?
c. Si el automóvil en el que se instala un tanque seleccionado
al azar recorre exactamente 25 millas por galón, ¿cuál es
la probabilidad de que pueda recorrer 397 millas sin
reabastecerse?
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
25
DISTRIBUCION NORMAL
TAREA
3. Hay dos máquinas, para cortar corchos destinados
para usarse en botellas de vino. La primera produce
corchos con diámetros que están normalmente
distribuidos con media de 3 cms y desviación
estándar de 0.1 cm. La segunda máquina produce
corchos con diámetros que tienen una distribución
normal con media de 3.04 cms desviación estándar
de .02 cm. Los corchos aceptables tienen diámetros
entre 2.9 cm y 3.1 cm. ¿Cuál máquina tiene más
probabilidad de producir un corcho aceptable?
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
26
DISTRIBUCION NORMAL
TAREA
4. El ancho de una línea grabada en un circuito integrado
está normalmente distribuido con media de 3.000
micras y desviación estándar de 0.150 micras. ¿Qué
valor de ancho separa el 0% más ancho de todas las
líneas del otro 90%?
5. La lectura de temperatura de un termopar puesto en
un medio de temperatura constante está
normalmente distribuida con media  y desviación
estándar σ. ¿Cuál tendría que ser el valor de σ para
asegurar que el 95% de todas las lecturas se
encuentren dentro del ±0.10 de ?
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
27
DISTRIBUCION NORMAL
TAREA
6. Se sabe que es normal la distribución de resistencia para
resistores de cierto tipo, 10% de todos los resistores
tienen una resistencia que excede los 10.256 ohms, y
5% tiene una resistencia menor de 9.671 ohms.
¿Cuáles son el valores de la media y de la desviación
estándar de la distribución de resistencia?
7. Si el diámetro de un cojinete está normalmente
distribuido, ¿cuál es la probabilidad de que el diámetro
de un cojinete seleccionado al azar esté:
a. Dentro de ±1, ±2 y ±3σ de su valor medio?
b. A más de 2.5σ de su valor medio?
c. Entre 1 y 2σ de su valor medio?
DR. JORGE ACUÑA A. , PROFESOR
28
Descargar

distribucion-normal - control de calidad 1