Circuitos Acoplados Magnéticamente
Unidad IV
Circuitos Acoplados Magnéticamente
Conferencia 1
C. R. Lindo Carrión
1
Circuitos Acoplados Magnéticamente
Objetivos
Definir el concepto de Inductancia Mutua
Definir el fenómeno de acoplamiento magnético y su utilidad en los
circuitos eléctricos.
Utilizar adecuadamente el modelo del transformador ideal y las
relaciones de corriente , voltaje y potencia que lo caracterizan
Contenido
4.1
4.2
4.3
4.4
Introducción
Inductancia mutua
Consideraciones de energía
El transformador ideal
C. R. Lindo Carrión
2
Circuitos Acoplados Magnéticamente
4.1 Introducción
En circuitos eléctricos I se presentó al inductor como un elemento de
circuito, y se definió en términos del voltaje entre sus terminales y la
tasa de cambio de la corriente que pasa a través de ellas. Hablando
estrictamente, esa fue la definición de auto inductancia, pero en
lenguaje común se le llamó sólo inductancia.
Ahora es preciso considerar la inductancia mutua, una propiedad que
esta asociada mutuamente con dos o más bobinas que se encuentran
físicamente cercanas entre sí. No existe ningún elemento de circuito
llamado inductor mutuo, lo que es más, la inductancia mutua no es
una propiedad asociada con un solo par de terminales, sino que se
define con respecto a dos pares de terminales.
La inductancia mutua es el resultado de la presencia de un flujo
magnético común que enlaza a dos bobinas.
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El dispositivo físico cuya operación se basa de manera inherente en la
inductancia mutua es el transformador.
Como indicamos en la sección anterior de sistemas trifásicos, para
suministrar potencia de manera eficiente, ésta se transmite a alto
voltaje. Las líneas de 500KV son instalaciones típicas de transmisión.
Sin embargo, la potencia que se suministra a nuestras casas, por
ejemplo es, típicamente 208/120 Vrms. Para bajar de un nivel alto de
voltaje a uno bajo se utiliza un transformador.
La mayor parte de los radios contienen uno o más transformadores, así
como los receptores de televisión, los equipos de alta fidelidad,
algunos teléfonos, automóviles y los tranvías eléctricos.
Los transformadores continúan siendo un componente eléctrico
importante. Además de los sistemas de potencia, donde los
transformadores desempeñan un papel importante. Hay otras
aplicaciones.
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Por ejemplo, los transformadores se usan para eliminar ruido de alta
frecuencia en sistemas de control de audio e industriales, y se
construyen conectores de pared especiales que reducen el voltaje para
recargar baterías de calculadoras y de herramientas de mano.
Se definirá primero la inductancia mutua y se estudiarán los métodos
por medio de los cuales sus efectos se incluyen en las ecuaciones de
circuito.
4.2 Inductancia Mutua
Si por una bobina fluye una corriente que varía en el tiempo, se
produce un flujo magnético y por ende un voltaje en esta. Si
acercamos otra bobina observamos que las líneas de flujo inciden de
manera que recíprocamente en esta se induce un voltaje y si existe
trayectoria posible, también existirá una corriente. El voltaje que se
induce en la segunda bobina es proporcional al cambio de la corriente
de la primera bobina.
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Si relacionamos el voltaje inducido en la segunda bobina con la
corriente circulante de la primera bobina, se establece un coeficiente
llamado inductancia mutua
Para comenzar nuestra descripción de dos bobinas acopladas,
emplearemos la ley de Faraday, que puede establecer como sigue:
El voltaje inducido en una bobina es
proporcional a la razón con
respecto al tiempo del cambio de
flujo y el número de vueltas N, en
la bobina.
Las dos bobinas acopladas
muestran en la Figura 1.
se
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Los componentes de flujo son:
L1
1
Flujo en la bobina 1, que no se une con la bobina 2; este
es producido por la corriente en la bobina 1
Flujo en la bobina 2, que no se une con la bobina 1; este
es producido por la corriente en la bobina 2
Flujo en la bobina 1 producido por la corriente en la
bobina 2
Flujo en la bobina 2 producido por la corriente en la
bobina 1
Flujo en la bobina 1 producido por la corriente en la
bobina 1
Flujo en la bobina 2 producido por la corriente en la
bobina 2
Flujo total en la bobina 1
2
Flujo total en la bobina 2
L2
12
21
11=L1+21
22=L2+12
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A fin de escribir las ecuaciones que describen las bobinas acopladas,
definimos los voltajes y corrientes usando la convención de signos
pasivos en cada par de terminales.
En forma matemática la ley de Faraday puede escribirse como:
d1
v1 (t )  N 1
dt
El flujo 1 será igual a 11, el flujo de la bobina 1 ocasionado por la
corriente de la bobina 1, más o menos el flujo en la bobina 1
producido por la corriente de la bobina 2, es decir,
 1   11   12
Si la corriente de la bobina 2 es tal que los flujos se suman, entonces
se usa el signo más; si la corriente de la bobina 2 es tal que los flujos
se oponen uno al otro, se usa un signo menos. La ecuación para el
voltaje puede escribirse como:
v1 (t )  N 1
d 1
dt
 N1
d  11
dt
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 N1
d  12
dt
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De la física básica se sabe que 11 = N1i1P11 y 12 = N2i2P12
donde las P son constantes (permeancias) que dependen de las
trayectorias magnéticas tomadas por los componentes del flujo. La
ecuación del voltaje puede escribirse como:
v 1 ( t )  N 1 P11
2
di 1
dt
 N 1 N 2 P12
di 2
dt
La constante N12P11 = L11 (la misma L que usamos antes) se llama
ahora la auto inductancia, y la constante N1N2P12 = L12 se llama
inductancia mutua. Por tanto
v 1 ( t )  L 11
di 1
dt
 L 12
di 2
dt
Usando el mismo razonamiento anterior podemos escribir:
v 2 ( t )  L 22
di 2
dt
 L 21
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di 1
dt
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Si el medio a través del cual pasa el flujo magnético es lineal, entonces
P12 = P21. De aquí, L12 = L21 = M. Por conveniencia, definamos L1 = L11
y L2 = L22. Entonces escribimos:
v 1 ( t )  L1
di 1
dt
M
di 2
dt
v 2 (t )  L 2
di 2
dt
M
di 1
dt
Ahora necesitamos examinar los detalles físicos de las bobinas
acopladas. En física básica aprendimos la regla de la mano derecha, la
cual afirma que si giramos los dedos de nuestra mano derecha
alrededor de la bobina en la dirección de la corriente, el flujo
producido por la corriente está en la dirección de nuestro pulgar.
A fin de indicar la relación física de las bobinas y, por consiguiente,
simplificar la convención de signos para los términos mutuos,
empleamos lo que comúnmente se llama la convención de punto.
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Circuitos Acoplados Magnéticamente
Se colocan puntos al lado de cada
bobina de modo que si entran
corrientes en ambas terminales
con puntos o salen de ambas
terminales con puntos, los flujos
producidos por esas corrientes se
sumarán. Esto puede verse en la
Figura 2.
Cuando se escriben las ecuaciones para los voltajes terminales, los
puntos se usan para definir el signo de los voltajes mutuamente
inducidos.
Si las corrientes i1(t) e i2(t) están ambas entrando o saliendo de los
puntos, el signo del voltaje mutuo inducido M(di2/dt) será el mismo en
una ecuación que el del voltaje autoinducido L1(di1/dt). Si una
corriente entra a un punto y la otra sale de un punto, los términos del
voltaje mutuo inducido y del voltaje autoinducido tendrán signos
opuestos.
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Ejemplo
Determine la expresión de v1(t) y v2(t) para
el circuito que se muestra en la Figura 3.
Solución:
Las ecuaciones del voltaje v1(t) y v2(t) haciendo uso de la convención
de punto es:
v 1 ( t )  L1
di 1
dt
M
di 2
dt
v 2 (t )  L 2
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di 2
dt
M
di 1
dt
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Ejemplo
Determine la expresión de v1(t) y v2(t) para
el circuito que se muestra en la Figura 4.
Solución:
Las ecuaciones del voltaje v1(t) y v2(t) haciendo uso de la convención
de punto es:
v 1 ( t )  L1
di 1
dt
M
di 2
dt
v 2 (t )   L 2
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di 2
dt
M
di 1
dt
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Suponga que el circuito de la Figura 3 es excitado con una fuente
senoidal. Los voltajes serán de la forma V1ejt y V2ejt, y las corrientes
serán de la forma I1ejt e I2ejt, donde V1, V2, I1 e I2 son fasores.
Sustituyendo esos voltajes y corrientes en las ecuaciones de v1(t) y
v2(t), obtenemos:
V1 = jL1I1 + jMI2
V2 = jL2I2 + jMI1
El modelo del circuito acoplado en el dominio de la frecuencia es
idéntico al del dominio del tiempo, excepto por la manera en que
están marcados los elementos y variables. El signo de los términos
mutuos se maneja de la misma forma que se hace en el dominio del
tiempo.
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Circuitos Acoplados Magnéticamente
Ejemplo
Determine el voltaje de salida Vo el
circuito que se muestra en la Figura
5.
Solución:
La ecuación de la LKV para la malla 1 y 2 es:
(2 + j4)I1 – j2I2 = 24|30º
-j2I1 + (2 + j6 – j2)I2 = 0
Resolviendo las ecuaciones se obtiene:
I2 = 2.68|3.43º A
Vo = 2I2 = 5.36|3.43º V
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4.3 Análisis de Energía
Ahora haremos un análisis de energía en un
par de bobinas mutuamente acopladas como
la red que se muestra en la Figura 6.
Primero colocamos todos los voltajes y corrientes en el circuito igual a
cero. Una vez que el circuito esta inactivo, comenzamos haciendo que
la corriente i1(t) se incremente de cero a algún valor I1 con las
terminales del lado derecho abierto, es decir i2(t) = 0, y por
consiguiente la potencia que entra en esas terminales es cero.
La potencia instantánea que entra en las terminales del lado izquierdo
es:
 di ( t ) 
p ( t )  v 1 ( t ) i1 ( t )   L1 1  i1 ( t )
dt 

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La energía almacenada dentro del circuito acoplado en t1 cuando i1(t)
= I1 es entonces:
t1
I1
1
2
v
(
t
)
i
(
t
)
dt

L
i
(
t
)
di
(
t
)

L
I
1 1
0 1 1
0 1 1 1
2
Ahora comenzando en el tiempo t1, dejamos que la corriente i2(t) se
incremente de cero a algún valor I2 en el tiempo t2 mientras se
mantiene i1(t) constante a I1. La energía entregada a través de las
terminales del lado derecho es:
t2
I2
1
2
v
(
t
)
i
(
t
)
dt

L
i
(
t
)
di
(
t
)

L
I
2
2 2
t1 2 2
0 2 2
2
Sin embargo, durante el intervalo t1 a t2 el voltaje v1(t) es
v 1 ( t )  L1
di 1
dt
M
di 2
dt
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Como i1(t) es constante I1, la energía liberada a través de las
terminales del lado izquierdo es:

t2
t1
t2
v 1 ( t ) i1 ( t )dt   M
di 2 ( t )
dt
t
I2
I 1 dt  MI 1  di 2 ( t )  MI 1 I 2
0
Por lo tanto, la energía total almacenada en la red para t > t2 es:
w 
1
2
L1 I
2
1

1
2
L 2 I 2  MI 1 I 2
2
Podemos, por supuesto, repetir completo nuestro análisis anterior pero
con uno de los puntos en sentido inverso, y en este caso el signo del
término de la inductancia mutua sería negativo, produciendo:
w 
1
2
L1 I
2
1

1
2
L 2 I 2  MI 1 I 2
2
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Circuitos Acoplados Magnéticamente
Es importante darse cuenta que en nuestra derivación de la ecuación
anterior, los valores I1 e I2 podrían haber sido cualesquiera valores en
cualquier tiempo; por consiguiente, la energía almacenada en las
bobinas acopladas magnéticamente en cualquier instante de tiempo
esta dad por la expresión:
w (t ) 
1
2
L1 [ i1 ( t )] 
2
1
2
L 2 [ i 2 ( t )]  Mi 1 ( t ) i 2 ( t )
2
Las dos bobinas acopladas representan una red pasiva, y, por lo tanto,
la energía almacenada dentro de esta red debe ser no negativa para
cualesquiera valores de las inductancias y de las corrientes.
La ecuación para la energía instantánea almacenada en el circuito
magnético puede escribirse como:
w (t ) 
1
2
L 1 i1 
2
1
2
L 2 i 2  Mi 1 i 2
2
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Circuitos Acoplados Magnéticamente
Sumando y restando el término:
1 M
2
2
2 L2
i1
y arreglando la ecuación se obtiene:
1
M
 L1 
2 
L2
2
w (t ) 
 2 1

M 
 i1  L 2  i 2 
i1 


2
L2 


En esta expresión reconocemos
almacenada será no negativa si
M 
que
la
2
energía
instantánea
L1 L 2
Observe que esta ecuación especifica un límite superior del valor de la
inductancia mutua.
Definimos el coeficiente de acoplamiento entre las dos bobinas L1 y L2
como:
k 
M
L1 L 2
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Circuitos Acoplados Magnéticamente
notamos que el rango de valores de M es: 0  k  1
Este coeficiente es una indicación de qué cantidad de flujo de una
bobina está ligado con la otra bobina; es decir, si todo el flujo de una
bobina alcanza la otra bobina, entonces tenemos el 100% de
acoplamiento y k=1.
Para valores grandes de k (es decir, k>0.5), se dice que las bobinas
están fuertemente acopladas, y para pequeños valores (es decir,
k0.5), se dice que las bobinas están débilmente acopladas.
Las ecuaciones anteriores indican que el valor para la inductancia
mutua esta limitado al intervalo
0 M 
L1 L 2
Y que el límite superior es la media geométrica de las inductancias L1 y
L2 .
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Ejemplo
El circuito acoplado de la Figura 6
tiene un coeficiente de acoplamiento
de 1 (es decir, k=1). Se desea
determinar la energía almacenada
en
la
bobinas
mutuamente
acopladas en el tiempo t=5ms.
L1=2.653mH y L2=10.61mH.
Solución:
De los datos la inductancia mutua
es:
M 
L 1 L 2  5 . 31 mH
El circuito equivalente en el dominio de la frecuencia se muestra en la
Figura 8.
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Las ecuaciones de malla para la red son:
(2 + j1)I1 – j2I2 = 24|0º
-j2I1 + (4 + j4)I2 = 0
Resolviendo las ecuaciones se obtiene:
I1 = 9.41|-11.31º A
I2 = 3.33|33.69º A
Expresadas estas ecuaciones en el tiempo, son:
i1(t) = 9.41cos(377t -11.31º) A
i2(t) = 3.33cos(377t +33.69º) A
A t=5ms, 377t = 1.885rad ó 108º por consiguiente:
i1(5ms) = 9.41cos(108º -11.31º)= -1.1 A
i2(5ms) = 3.33cos(108º +33.69º)=-2.61 A
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Circuitos Acoplados Magnéticamente
Por lo tanto, la energía almacenada por las bobinas acopladas en
t=5ms es:
w ( t ) | t  5 ms 
1
( 2 . 653 m )(  1 . 1) 
2
2
1
(10 . 61 m )(  2 . 61 )  ( 5 . 31 m )(  1 . 1)(  2 . 61 )
2
2
w ( t ) | t  5 ms  1 . 61 m  36 . 14 m  15 . 25 m  22 . 5 mJ
4.4 El transformador ideal
Consideremos la situación que
se ilustra en la Figura 9, que
muestra dos bobinas de
alambre embobinado en un
solo núcleo magnético cerrado.
El núcleo magnético concentra el flujo de manera que todo el flujo una
todas las vueltas de ambas bobinas. En el caso ideal también
ignoramos la resistencia del alambre.
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Circuitos Acoplados Magnéticamente
Examinemos ahora las ecuaciones de acoplamiento bajo la condición
de que el mismo flujo vaya a través de cada devanado y, por tanto
v1 (t )  N 1
d1
dt
d
 N1
v 2 (t )  N 2
dt
d 2
dt
 N2
d
dt
y, por tanto la razón de v1 a v2 es:
v1
v2
N1

N2
d
N
dt
 1
d
N2
dt
Para desarrollar la relación entre las corrientes i1 e i2 empleamos la Ley
de Ampere que se escribe en forma matemática como:
 H .dl
 i encerrada  N 1 i1  N 2 i 2
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Circuitos Acoplados Magnéticamente
donde H es la intensidad del campo magnético y la integral esta sobre
la trayectoria cerrada recorrida por el flujo alrededor del núcleo del
transformador. Para el material del núcleo ideal μ=, H=0. Por tanto
i1
N 1 i1  N 2 i 2  0
 
i2
N2
N1
Observe que si dividimos la ecuación anterior entre N1 y la
multiplicamos por v1 obtenemos:
v 1 i1 
N2
N1
v1i 2  0
Sin embargo, como v1 = (N1/N2)v2, tenemos
v 1 i1  v 2 i 2  0
y de aquí la potencia total en el dispositivo es cero, lo que significa que
un transformador ideal no tiene pérdidas.
C. R. Lindo Carrión
26
Circuitos Acoplados Magnéticamente
Por tanto, para resumir la convención de punto para un transformador
ideal,
v1 
N1
N2
v2
donde ambos voltajes tienen referencia positiva en los puntos y
N 1 i1  N 2 i 2  0
donde se define que ambas corrientes entran a los puntos.
Considere ahora el circuito que se
muestra en la Figura 10, donde el
símbolo usado para el transformador
indica que es un transformador con
núcleo de hierro.
C. R. Lindo Carrión
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Circuitos Acoplados Magnéticamente
Debido a la relación entre los puntos, las corrientes y voltajes
asignados; los voltajes fasoriales V1 y V2 están relacionados por la
expresión
V1
N1

V2
N2
y las corrientes fasoriales, están relacionadas por:
I1
I2

N2
N1
El signo es inverso al obtenido anteriormente, ya que la dirección de I2
es inversa. Las dos ecuaciones anteriores pueden rescribirse como:
V1 
N1
N2
También note que:
V2
I1 
N2
N1
I2
*
 N
 N

*
*
S 1  V 1 I 1   1 V 2   2 I 2   V 2 I 2  S 2
 N2
 N 1

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Circuitos Acoplados Magnéticamente
De la Figura notamos que ZL = V2/I2, y, por lo tanto la impedancia de
entrada es:
2
Z1 
V1
I1
 N1 
 ZL
 

 N2 
Si ahora definimos la razón de vuelta como
n 
N2
N1
Entonces las ecuaciones de definición del transformador ideal son:
V1 
1
n
V2
I 1  nI 2
S1  S2
Z1 
1
n
2
ZL
Debe tenerse cuidado al usar estas relaciones, debido a que los signos
de los voltajes y las corrientes dependen de las referencias asignadas
y de cómo están relacionadas con los puntos.
C. R. Lindo Carrión
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