UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NUCLEO DE BOLIVAR
COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADO
POSTGRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCION FINANZAS.
V COHORTE
MATEMATICA APLICADA A LA ADMINISTRACION
CODIGO # 806-3120
SECCION A
PROF. HUGAR CAPELLA
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en
el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales,
constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y
Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien
entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de
una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas
de esta teoría no dejan de aparecer.
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1. Tasa de variación media
Incremento de una función: Sea y = f(x) y a un punto
del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h,
pasando al valor a +h=b, entonces f pasa a valer f(a+h)=f(b),
al valor h se le lama incremento de la variable, y a la
diferencia entre f(b) y f(a) se le llama el incremento de la
función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de
cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo
[a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la
variable, es decir:
T.V.M. [a, b] =
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Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función
f(x) =x2 +3 en el intervalo [0,3]
Solución
T.V.M. [0, 3] =
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Tasa de variación instantánea. La derivada
Consideremos un valor x (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [x, x +Δx] sería
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la Δx
tiende a cero, es decir :
A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por
por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de
la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.
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B
k
A
h
La pendiente o gradiente de una curva cualquiera en un punto se define como la pendiente de la tangente (recta que
toca a la curva sólo en dicho punto). En la figura, la pendiente de la curva en A es la pendiente de la recta AT, que es
la tangente a la curva en A. Esta pendiente se puede aproximar por la de la recta AB, que une A y B, un punto cercano
de la curva. La pendiente de AB es k/h. Si B se acerca hacia A, tanto k como h tienden a 0, pero su cociente tiende a
un determinado valor, que es la pendiente de AT. El cálculo diferencial se ocupa de calcular la pendiente de las curvas
y = f(x) en todos sus puntos
http://es.geocities.com/pilar_zutabe/UNIDADES_DIDACTICAS/ANALISIS/DERIVADAS/Derivada_de_una_funcion.ht
m#TASAMEDIA
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si f(x) es creciente en x=a, entonces f ´(a)>0
(recta tangente con pendiente positiva).
si f(x) es decreciente en x=a, entonces f ´(a)<0
(recta tangente con pendiente negativa).
si f(x) presenta un máximo o mínimo en x=a,
entonces f ´(a)=0 (recta tangente horizontal).
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Función derivada. Reglas de derivación.
Cálculo de derivadas
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Regla del producto y regla la cadena
REGLA DEL PRODUCTO
Ejemplo: y= (5x2-3x)(2x3+8x+7)
REGLA DE LA CADENA
Calcule dy/dx si y=(x2+1)5
sea u=x2+1
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APLICACIONES: ANALISIS MARGINAL
EL FABRICANTE DE CIERTO ARTICULO DESCUBRE QUE A FIN DE PRODUCIR X
DE ESTOS ARTICULOS , EL COSTO TOTAL EN BsF ESTA DADO POR:
C = 200 +0,03X2
SI SE PRODUCEN 100 ARTICULOS A LAS SEMANA EL COSTO ES :
C=200+0,03(100)2 = 500 BsF EL COSTO PROMEDIO POR ARTICULOS ES
500/100= BsF 5
SI REQUIERE CAMBIAR LA TASA DE PRODUCCION DE 100 A (100+ ΔX)
UNIDADES A LA SEMANA, ΔX REPRESENTA EL INCREMENTO EN LA
PRODUCCION.
C+ΔC=200+0,03(100+ ΔX)2 = 500+6ΔX+0,03ΔX2
EL COSTO EXTRA POR LA PRODUCCION DE ARTICULOS ADICIONALES ES :
ΔC= (C+ΔC) – C = 500+6ΔX+0,03ΔX2 -500 = 6ΔX+0,03ΔX2
EL COSTO PROMEDIO POR ARTICULO DE LAS UNIDADES EXTRAS ES
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COSTO MARGINAL
DEFINICION: ES EL VALOR LIMITE DEL COSTO PROMEDIO POR ARTICULO EXTRA
CUANDO ESTE NUMERO DE ARTICULO TIENDE A CERO.
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Ejemplo: Costo marginal
Sea la función de costo
C(x)= 0,001x3-0,3x2+40x+1000
a) Determine el costo marginal como una función de x, es decir C´(x)
b) Evalúe el costo marginal cuando la producción este en 50 artículos.
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INGRESO Y UTILIDAD MARGINALES
Ingreso marginal:
Si R(x) denota el ingreso de una
determinada empresa derivados de la venta de productos o
servicios entonces R´ (x) = dR/dx es el ingreso marginal y
representa la entrada adicional por articulo adicional
producido
Utilidad Marginal: La utilidad esta dada por la diferencia
entre sus ingresos y sus costos. Si P(x) denota a la
utilidad, P(x) = R(x) –C(x); entonces la utilidad
marginal es P´(x)
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Ejemplo: Utilidades marginales
pag 519 # 20.
EL EDITOR DE UNA REVISTA DESCUBRE QUE SI FIJA UN PRECIO DE
BSF 1 A SU REVISTA, VENDE 20000 EJEMPLARES AL MES; SIN EMBARGO, SI EL
PRECIO FIJADO ES DE BsF 1,5 SUS VENTAS SOLO SERAN
15000 EJEMPLARES. EL
COSTO DE PRODUCIR CADA EJEMPLAR ES DE BsF 0,80 Y TIENE COSTOS FIJOS DE
BsF 10000 AL MES . SUPONIENDO UNA ECUACION DE DEMANDA LINEAL, CALCULE
LA FUNCION UTILIDAD MARGINAL Y DETERMINE EL PRECIO DE LA REVISTA QUE
HAGA LA UTILIDAD MARGINAL IGUAL A CERO. EVALUE LA UTILIDAD MISMA
CUANDO EL PRECIO ES a) BsF 1,8 b) BsF 1,90 c) BsF 2
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Máximos y mínimos relativos (o locales) de funciones derivables
Si una función tiene un máximo o mínimo relativo (o local) se dirá
que tiene un extremo relativo.
Condición necesaria de extremo
Proposición.
Si f es derivable en el punto a y f tiene en a un extremo relativo,
entonces f ‘ (a)=0.
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Consideremos la función f( x ) = x3 + 3x2 - 1, cuya
gráfica se muestra a continuación.
La derivada de esta función es f `( x ) = 3x2 + 6x. Podemos observar que la gráfica
tiene un valor máximo y un valor mínimo, y es claro que la recta tangente a esos
máximo y mínimos su pendiente será cero, como lo indica la siguiente gráfica
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¿Cuáles son esos puntos? Dichos puntos deben satisfacer la ecuación f `( x ) = 0,
que en nuestro caso es
3x2 + 6x = 0
cuyas soluciones son x1 = -2 y x2 = 0.
Gráficamente vemos que el punto x1 = -2 otorga un valor máximo, y el punto
x2 = 0 corresponde a un mínimo, ¿pero cómo lo podemos determinar
analíticamente?
Notemos que si evaluamos en la función original los valores de f( x* - h ) y f( x*
+ h ), siendo x* solución de la ecuación f `( x* ) = 0
tenemos que f( x* - h ) < f( x* ) y f( x* ) > f( x* + h ), el punto x* es un máximo
f( x* - h ) > f( x* ) y f( x* ) < f( x* + h ), el punto x* es un mínimo
De tal manera que con estos criterios, efectivamente obtenemos que -2 es un
máximo y 0 es un mínimo para la función.
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EJEMPLO: UTILIDAD MAXIMA
PAG. 605 #21. UNA EMPRESA VENDE TODAS LAS UNIDADES QUE PRODUCE A BsF 4 CADA UNA.
EL COSTO TOTAL DE LA EMPRESA POR PRODUCIR X UNIDADES ESTA DADO POR
C = 50+ 1,3X + 0,001X2
a) ESCRIBA LA EXPRESIÓN PARA LA UTILIDAD TOTAL U COMO UNA FUNCIÓN DE X
b) DETERMINE EL VOLUMEN DE LA PRODUCCION X DE MODO QUE LA UTILIDAD P SEA
MAXIMA.
c) CUAL ES EL VALOR DE LA UTILIDAD MAXIMA.
SOLUCION: INGRESO R(X)
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EJEMPLO: PUBLICIDAD Y GANANCIA
PAG. 600 UNA COMPAÑÍA OBTIENE UNA UTILIDAD DE BsF 5 POR CADA ARTICULO DE
SU PRODUCTO QUE VENDE. SI GASTA A DOLARES POR SEMANA EN PUBLICIDAD, EL
NUMERO DE ARTICULOS QUE VENDE ESTA DADO POR:
X= 2000(1-e-kA)
en donde k= 0,001.
DETERMINE EL VALOR DE A QUE MAXIMIZA LA UTILIDAD NETA.
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ELASTICIDAD DE LA DEMANDA
CUANDO Δp TIENDE A CERO ENTONCES
Sea
x el numero de
unidades que se adquirirán
a un precio p variables
relacionadas
funcionalmente)
Si η<-1 demanda es elástica (cambio porcentual en la demanda es mayor que el cambio porcentual en el precio)
-1<η<0 demanda inelástica (cambio porcentual en la demanda es menor que el cambio porcentual en el precio)
η=-1 demanda unitaria (Un pequeño cambio porcentual en el precio es igual que el cambio porcentual en la demanda)
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Elasticidad y logaritmos
Del cuadro resumen de derivadas tenemos:
La función ingreso marginal esta dada por R(x) = cantidad vendida por precio)=xp
El ingreso marginal R´ (x) = d(xp)/dx = p+ x dp/dx
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Ejemplo: Elasticidad de la demanda
Si la relación de demanda es x = 100-50p.
Calcule la elasticidad de la demanda cuando a) p=5 b) p=10 c) p=15
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Ejemplo: Elasticidad.
Con respecto a la relación de demanda x = k(1-p-p2) determine el valor de p
que hace a η= -1. Encuentre los valores de p para los cuales la demanda es:
a) elástica b ) inelástica
Solución:
para η= -1
3p2 +2p -1 = 0
ec. De 2do grado
p= 1/3 p=-1
Demanda elástica.
Demanda inelástica
η<-1
-1<η<0
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Diapositiva 1 - Hugar Capella