SISTEMA DIÉDRICO
Cambios de Planos
Ejercicio Nº 1.- Hallar la verdadera magnitud del segmento AB, mediante cambios
de plano.
A ''
B ''
L
T
A'
B'
1º Hacemos un cambio de plano por ejemplo cambiamos el vertical situando la nueva traza
paralela a la proyección horizontal del segmento A’-B’.
A ''
}
V1
H
B ''
L
T
A'
B'
2º Por A’ y B’ trazamos perpendiculares a la nueva LT.
A ''
}
V1
H
B ''
L
T
A'
B'
3º A partir de la nueva LT llevamos la cota h de A y la cota h1 de B obteniendo las nuevas
proyecciones de A y B A1’’ y B1’’.
A ''
B ''
h
h1
H
A 1 ''
h
}
V1
L
T
A '-A 1 '
B 1 ''
h1
B '-B 1 '
4º Unimos A1’’ y B1’’ y obtenemos la distancia entre A y B en verdadera magnitud al ser el
segmento una frontal del plano y estar la proyección vertical en verdadera magnitud.
A ''
B ''
h
h1
H
A 1 ''
h
}
V1
L
T
d
A '-A 1 '
B 1 ''
h1
B '-B 1 '
Ejercicio Nº 2.- Mediante cambios de plano, transformar la recta r dada en una
paralela a la LT de cota 25mm y alejamiento 20mm.
r''
T
L
r'
1º Hacemos un cambio de plano horizontal con la nueva LT a 25mm de la proyección vertical r’’ de la
recta. Situamos dos puntos A’-A’’ y B’-B’’ sobre la recta.
r''
A ''
B ''
T
L
B'
}
H1
V
A'
r'
2º Hallamos las nuevas proyecciones de los puntos. Por A’’ trazamos una perpendicular a la nueva LT y
sobre la nueva línea de referencia llevamos el alejamientos del punto A obteniendo la nueva proyección
horizontal A1’ del punto, repetimos el proceso con el punto B y obtenemos la proyección r1’ horizontal
nueva de la recta r.
r''
A ''
r ''
1
B ''
T
L
B'
r'
1
B 1'
}
H1
V
A 1'
A'
r'
3º Trazamos una nueva LT situando esta a 20 mm de la nueva proyección horizontal r1’, y
realizamos un nuevo cambio de plano en este caso vertical.
r''
A ''
r ''
1
B ''
T
L
}
H1
V2
B'
r'
1
B 1'
}
H1
V
A 1'
A'
r'
4º Hallamos las nuevas proyecciones de los puntos A2’’ y B2’’ respecto a la nueva LT. Por A1’ y B1’
trazamos las nuevas líneas de referencia perpendiculares a la nueva LT y llevamos la cota que en este caso
es la misma la de A y B (25 mm) y obtenemos las nuevas proyecciones de la recta r= r2’-r2’’.
r''
A ''
r ''
B 2 ''
2
A 2 ''
r ''
1
B ''
T
L
}
H1
V2
B'
r '-r '
1
2
B 1'
}
H1
V
A 1'
A'
r'
Ejercicio Nº3.- Dadas las proyecciones de una recta r, hacer un cambio de plano de
manera que la recta pase a estar situada en el primer plano bisector del nuevo sistema.
r''
L
T
r'
1º Las rectas situadas en el primer bisector tienen las proyecciones simétricas respecto a la LT. Por lo que
realizamos un cambio de plano vertical de forma que la nueva LT pase por la traza horizontal Hr de la recta.
r''
L
T
Hr
r'
2º Al ser simétricas cualquier punto como el A’-A’’ tiene que tener igual cota que alejamiento. Por lo
que tomamos un punto el A’-A’’ sobre la recta y con centro en A’ trazamos una circunferencia de radio
igual a la cota h. La nueva LT tiene que pasar por Hr y ser tangente a la circunferencia.
A ''
h
r''
L
T
Hr
r'
R=h
A'
3º Desde Hr trazamos las tangentes a la circunferencia y cualquiera de las dos tangentes es la
nueva LT.
A ''
h
r''
L
H
T
}
V1
Hr
r'
R=h
A'
H
}
V1
4º Desde A’ trazamos la nueva línea de referencia perpendicular a la nueva LT y llevamos la cota h del
punto A obteniendo la nueva proyección vertical A1’’ de A. Unimos esta con Hr y obtenemos las nuevas
proyecciones verticales r1’’ de r.
A ''
r''
h
A 1 ''
r 1 ''
H
T
h
L
}
V1
Hr
r'-r 1 '
R=h
A'
r 1 ''
H
}
V1
h
A 1 ''
Ejercicio Nº 4.- Mediante cambios de plano, transformar la recta r dada en una
perpendicular al PV y de cota 15 mm.
r''
T
L
r'
15
1º Hacemos un cambio de plano horizontal en que la LT nueva sea paralela a r’’ y a 15
mm de distancia.
r''
T
L
r'
V
}
H1
15
2º Situamos dos puntos sobre la recta un punto cualquiera A’-A’’ y la traza horizontal Hr.
A ''
r''
T
L
r'
Hr
}
A'
V
H1
15
3º Hallamos la nueva proyección horizontal de r1’ la recta r. Mediante los punto anteriores por A’’
y la proyección sobre la LT de Hr trazamos las líneas de referencia perpendiculares a la nueva LT
y sobre estas llevamos los alejamientos y nos determinan las proyecciones A1’ y H1r.
A ''-A 1 ''
r'' -r 1 ''
A 1'
T
L
r'
r 1 '-r 2 '
Hr
H 1r
}
A'
V
H1
15
4º Realizamos un nuevo cambio de plano en este caso vertical con la nueva LT perpendicular a la
proyección horizontal r1’ y como la otra proyección r1’’ es paralela a la LT y a 15 mm r2’’ estará a 15
mm de la LT definitiva. Y tenemos la nueva recta r perpendicular al PV y de 15 mm de cota.
A ''-A 1 ''
r'' -r 1 ''
A 1'
T
L
A'
r'
r 1 '-r 2 '
Hr
}
H1
H 1r
15
r 2 ''
}
H1
V2
V
Ejercicio Nº 5.- Dado un plano oblicuo en el sistema diédrico con vértice a la izquierda de
la LT, cuyas trazas horizontal y vertical forman 60º y 45º respectivamente con la LT.
Transformarlo mediante un cambio de plano en otro plano perpendicular el PV.
L
T
1º Trazamos las trazas del plano α, α1 con un ángulo de 60º y α2 con un ángulo de 45º.
2
T
L
a1
2º Realizamos un cambio de plano vertical trazando la nueva LT perpendicular a α1.
2
T
L
}
V1
H
a1
3º Situamos un punto A’-A’’ sobre el plano α1- α 2, situando la proyección A’ en la intersección de las
líneas de tierra para facilitar el procedimiento.
A ''
a2
A'
L
}
V1
H
a1
T
4º Por A’ trazamos una perpendicular a la nueva LT y sobre esta perpendicular llevamos la cota
del punto A’-A’’ obteniéndose la nueva proyección vertical A1’’ del punto A.
A ''
A 1 ''
a2
T
L
A '-A 1 '
}
V1
H
a1
5º Unimos el punto de corte de la nueva LT con α1 con la nueva proyección del punto A1’’ y
obtenemos la nueva proyección vertical α’2 del plano. La otra traza coincide con α1.
A ''
A 1 ''
a2
a '2
T
L
A '-A 1 '
}
V1
H
a 1- a ' 1
Ejercicio Nº 6.- Por cambios de plano transformar el plano oblicuo α en otro paralelo
a la LT con el segmento entre trazas situado en el cuarto diedro.
a2
L
T
a1
1º Hacemos un cambio de plano horizontal, con la nueva línea de tierra paralela a la traza vertical α2, a
una distancia cualquiera.
a2
V
}
H1
L
T
a1
2º Situamos un punto A’-A’’ en el plano α1-α2. Aprovechamos el punto de corte de las dos LT así
un a proyección estará el la LT y la otra en la traza.
2
V
}
H1
L
T
A ''
A'
a1
3º Hallamos las nuevas proyecciones A’1-A’’1 del punto. A’’1 no se mueve y coincide con A’’, para
hallar A’1 trazamos una perpendicular a la nueva LT y llevamos el alejamiento del punto mediante
un arco de circunferencia que nos determina A’1 nueva proyección horizontal del punto.
2
V
}
H1
A '1
L
T
A '' 1 -A ''
A'
a1
4º Por la proyección horizontal A’1 tiene que pasar la traza horizontal α’1 del plano α. Trazamos
una paralela a la nueva LT.
a 2- a ' 2
V
a '1
}
H1
A '1
L
T
A '' 1 -A ''
A'
a1
5º En la figura anterior el segmento entre trazas se encuentra en el 1º diedro, para que se encuentre en el
4º diedro los trazos de la LT tienen que estar para el lado de las trazas.
a 2- a ' 2
V
a '1
}
H1
A '1
L
T
A '' 1 -A ''
A'
a1
Ejercicio Nº 7.- Por cambios de plano, hallar la distancia del punto P al plano α.
a2
P ''
T
L
P'
a1
1º Hacemos un cambio de plano vertical de forma que la LT nueva sea perpendicular a la traza
horizontal α1 del plano. De esta manera el plano que obtenemos será proyectante vertical y la distancia
en verdadera magnitud será la que existe entre la nueva proyección vertical del punto y la traza vertical
del plano.
a2
P ''
T
L
P'
}
V1
H
a1
2º Situamos un punto A’-A’’ en el plano α=α1-α2.
a2
A ''
P ''
T
L
A'
P'
}
V1
H
a1
3º.- Hallamos las nuevas proyecciones del punto A’1-A’’1.
a2
A ''
A '' 1
P ''
T
L
A '-A ' 1
P'
}
V1
H
a1
4º Hallamos la nueva traza vertical α’2 del plano que pasa por A’’1.
a2
a '2
A ''
A '' 1
P ''
T
L
A '-A ' 1
P'
}
V1
H
a 1- a ' 1
5º Hallamos ahora las nuevas proyecciones P’1-P’’1 del punto P’-P’’.
a2
a '2
A ''
h
A '' 1
P '' 1
h
P ''
T
L
A '-A ' 1
P '-P ' 1
}
V1
H
a 1- a ' 1
6º Por P’’1 trazamos una perpendicular a la traza vertical α’2 determinando el punto I’’ la
distancia I’’-P’’1 es la distancia en verdadera magnitud del punto al plano.
a2
a '2
A ''
h
A '' 1
I''
d
P '' 1
h
P ''
T
L
A '-A ' 1
P '-P ' 1
}
V1
H
a 1- a ' 1
7º También podíamos una vez obtenido I’’1 hallar las proyecciones primitivas de I’-I’’ (haciendo los
mismo que con P’-P’’ pero al revés). Y a continuación hallar la distancia entre dos puntos I’-I’’ y P’-P’’.
a2
a '2
h
A ''
A '' 1
I'' 1
d
I''
P '' 1
h
P ''
T
L
A '-A ' 1
P '-P ' 1
I'
}
V1
H
a 1- a ' 1
Ejercicio Nº 8.- Hallar la distancia entre dos rectas paralelas r'-r'' y s'-s'‘ utilizando
los cambios de plano.
r''
L
T
r'
s''
s'
1º Tenemos que transformar ambas rectas en rectas de punta (perpendiculares a los planos de
proyección) por medio de dos cambios de plano 1º uno horizontal y otro vertical. Trazamos la
nueva LT paralela a r’’ y s’’.
V
}
H1
r''
L
T
r'
s''
s'
2º Situamos los puntos A’-A’’ y B’-B’’ sobre la recta r’-r’’ y el C’-C’’ sobre la s’-s’’.
V
}
H1
r''
A ''
L
T
B ''
r'
C ''
A'
B'
s''
C'
s'
3º Hallamos las nuevas proyecciones de los puntos anteriores por las proyecciones verticales
trazamos perpendiculares a la nueva LT y a continuación llevamos sobre las mismas el
alejamiento de cada punto respectivo.
C 1'
A 1'
V
}
H1
B 1'
r''
A ''-A 1 ''
L
T
B ''-B 1 ''
r'
C ''-C 1 ''
A'
B'
s''
C'
s'
4º Trazamos las nuevas proyecciones de las rectas que pasan por las nuevas proyecciones de los puntos la
proyección horizontal de s, s1’ es paralela a r1’.
s 1'
C 1'
A 1'
V
}
r 1'
H1
B 1'
A ''-A 1 ''
r''-r 1 ''
L
T
B ''-B 1 ''
r'
C ''-C 1 ''
A'
B'
s''-s 1 ''
C'
s'
5º Hacemos el segundo cambio de plano trazando la hueva LT perpendicular a las proyecciones r1’ y s1’.
s 1'
C 1'
A 1'
V
}
r 1'
H1
B 1'
A ''-A 1 ''
r''-r 1 ''
L
T
}
B ''-B 1 ''
r'
C ''-C 1 ''
V1 H
A'
B'
s''-s 1 ''
C'
s'
6º Obtenemos las nuevas proyecciones C2’’ y A2’’-B2’’, sobre la perpendicular de s1’ llevamos la
cota de C1’’ y sobre la de r1’ la cota de A1’’ y la de B1’’ que es la misma.
C 2 ''
s 1'
A 2 ''-B 2 ''
C 1 '-C 2 '
A 1 '-A 2 '
V
}
r 1'
H1
B 1 '-B 2 '
A ''-A 1 ''
r''-r 1 ''
L
T
}
B ''-B 1 ''
r'
C ''-C 1 ''
V1 H
A'
B'
s''-s 1 ''
C'
s'
7º Hallamos las nuevas proyecciones de las rectas s2’-s2’’y r2’-r2’’ que se transformo en una recta
de punta (perpendicular al PV).
C 2 ''-s 2 ''
s 1 '- s 2 '
A 2 ''-B 2 ''-r 2 ''
C 1 '-C 2 '
A 1 '-A 2 '
V
}
r 1 '-r 2 '
H1
B 1 '-B 2 '
A ''-A 1 ''
r''-r 1 ''
L
T
}
B ''-B 1 ''
r'
C ''-C 1 ''
V1 H
A'
B'
s''-s 1 ''
C'
s'
8º La distancia pedida es el segmento A2’’-C2’’ de longitud d. Otra solución seria transformar las
rectas en rectas perpendiculares al PH.
2
2
d
s 1 '- s 2 '
A 2 ''-B 2 ''-r 2 ''
V
C 1 '-C 2 '
A 1 '-A 2 '
}
r 1 '-r 2 '
H1
B 1 '-B 2 '
A ''-A 1 ''
r''-r 1 ''
L
T
}
B ''-B 1 ''
r'
C ''-C 1 ''
V1 H
A'
B'
s''-s 1 ''
C'
s'
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Ejercicio Nº 41 Transformación homológica de un