TEMA 2.
CAMPO GRAVITATORIO
1. CAMPOS DE FUERZAS

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL: unifica
mecánica de cielos y Tierra PERO PLANTEA DOS
DIFICULTADES CONCEPTUALES:
 1.
GRAVEDAD = FUERZA A DISTANCIA  ¿mecanismo?
 2. LA EXPRESIÓN DE LA GRAVITACIÓN NO CONTIENE
EL TIEMPO  ¿existe una velocidad de propagación
finita de la fuerza o se transmite instantáneamente?
1. CAMPOS DE FUERZAS

DIVISIÓN DE LAS FUERZAS EN DOS GRUPOS:
 POR
CONTACTO (EXISTE VÍNCULO FÍSICO): fuerzas de
tracción, de fricción, …
 A DISTANCIA (ACTÚAN EN EL VACÍO):
 Fuerzas
gravitatoria y electromagnética (alcance infinito)
 Fuerza nuclear fuerte y débil (alcance corto -10-14 m-)
 Para
explicar el mecanismo con que actúan estas
fuerzas a distancia, se introduce el concepto de
CAMPO: Región del espacio donde se puede asignar a
cada punto una magnitud física. Existen dos tipos:
 Campos
materiales
 Campos de fuerzas
1. CAMPOS DE FUERZAS
CAMPOS MATERIALES: Distribución en el espacio de
variaciones locales de propiedades (mecánicas,
eléctricas,…) en un medio material
 CAMPOS DE FUERZAS: Perturbaciones que la
presencia de un cuerpo produce en el espacio
circundante. Estos campos actúan en el vacío, a
través de 2 etapas:

1ª: Todo cuerpo genera un campo de fuerzas a su
alrededor
 2ª: Si en el espacio alterado por la presencia del campo
ponemos un 2º cuerpo, éste recibe una fuerza, siendo el
campo de fuerzas el soporte de esa interacción a
distancia.

2. CAMPO GRAVITATORIO
Perturbación que produce todo cuerpo material
en el espacio que lo rodea
 Masa testigo (m’): permite detectar y medir un
campo gravitatorio
 Magnitudes propias del campo gravitatorio:

 Potencial
gravitatorio (magnitud escalar)  Vg
(en J/kg)
 Intensidad del campo (magnitud vectorial) 
fuerza gravitatoria que actúa sobre la unidad de
masa (m’) colocada en él. g  F ( en m/s )
g
m'
2
2. CAMPO GRAVITATORIO
CAMPO GRAVITATORIO DE UNA MASA PUNTUAL
 Masa (M) crea un campo a su alrededor. Si sitúo
masa testigo (m’), experimenta fuerza dirigida
hacia M. La intensidad del campo creado por m
es:

M·m' 
-G
ur
2
M 


r
g 

 g  G 2 u r
m'
m'
r

Fg
2. CAMPO GRAVITATORIO
CAMPO GRAVITATORIO DE UNA MASA PUNTUAL
 Características del campo gravitatorio creado por M:

Sólo depende de la masa que lo crea y la distancia a ella
 Tiene simetría esférica, dirección radial y se orienta hacia
la masa puntual
 El módulo es la gravedad

2. CAMPO GRAVITATORIO
CAMPO GRAVITATORIO DE UNA MASA PUNTUAL
 PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: PARA CALCULAR
EL CAMPO GRAVITATORIO DE UN SISTEMA DE
MASAS PUNTUALES SE SUMAN VECTORIALMENTE
TODOS LOS CAMPOS INDIVIDUALES PRODUCIDOS
POR CADA MASA:





g  g 1  g 2  g 3  ... 

i

gi
2. CAMPO GRAVITATORIO
CAMPO GRAVITATORIO CREADO POR UNA ESFERA
 1. ESFERA HOMOGÉNEA O DE CAPAS ESFÉRICAS
CONCÉNTRICAS UNIFORMES:

 CAMPO
GRAVITATORIO EXTERIOR IGUAL AL CREADO
POR UN PUNTO MATERIAL DE IGUAL MASA SITUADO
EN EL CENTRO DE LA ESFERA
M 

g esfera   G 2 u r para r  resfera
r
2. CAMPO GRAVITATORIO
CAMPO GRAVITATORIO CREADO POR UNA ESFERA
 1. ESFERA HOMOGÉNEA O DE CAPAS ESFÉRICAS
CONCÉNTRICAS UNIFORMES:

 CAMPO
GRAVITATORIO DENTRO DE LA ESFERA
DEPENDE DE LA DISTRIBUCIÓN DE MASA. Si es
homogénea, el valor máximo (g0) está en la superficie
2. CAMPO GRAVITATORIO
CAMPO GRAVITATORIO CREADO POR UNA ESFERA
 2. ESFERA HUECA:

 CAMPO
EXTERIOR COMO EL DE UNA MASA PUNTUAL
COLOCADA EN EL CENTRO
M 

g   G 2 u r para r  R esfera
r
 CAMPO
INTERIOR NULO
2. CAMPO GRAVITATORIO
FUERZA Y MOVIMIENTO: Cuerpo de masa “m”
situado en un campo
 gravitatorio experimenta
una fuerza F g  m ·g
 Si se mueve bajo la acción exclusiva del campo
gravitatorio:

 

F Fg  a 


Fg
m 
 

g  a  g
m
m
TODOS LOS CUERPOS QUE SE MUEVEN BAJO LA ACCIÓN
EXCLUSIVA DEL CAMPO GRAVITATORIO LO HACEN DE FORMA
IDÉNTICA, INDEPENDIENTE DE SU MASA Y CON UNA ACELERACIÓN
IGUAL A LA DE LA GRAVEDAD
3. ENERGÍA EN EL CAMPO GRAVITATORIO

FUERZA GRAVITATORIA = FUERZA CENTRAL
(Fuerza continuamente dirigida hacia un mismo punto cuyo valor depende
exclusivamente de la distancia del cuerpo a dicho punto)

1.
2.
TODAS LAS FUERZAS CENTRALES SON
CONSERVATIVAS, LO QUE SIGNIFICA QUE:
El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre
un cuerpo depende sólo de las posiciones final e
inicial
Los cuerpos sometidos a la fuerza de la gravedad
adquieren energía potencial gravitatoria
3. ENERGÍA EN EL CAMPO GRAVITATORIO

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA Y TRABAJO
REALIZADO POR LA FUERZA DE LA GRAVEDAD
ESTÁN RELACIONADOS POR EL TEOREMA DEL
TRABAJO:
W 1 2 


2
1
 
F g ·d r    Ep   ( Ep 2  Ep 1 )  Ep 1  Ep 2
El trabajo total para un desplazamiento finito se calcula integrando los
trabajos elementales a lo largo del camino seguido por el cuerpo
3. ENERGÍA EN EL CAMPO GRAVITATORIO


ENERGÍA POTENCIAL DE UN SISTEMA DE DOS
MASAS PUNTUALES
Suponemos m1 inmóvil y m2
se acerca desde el infinito hasta
rA
W   A  E p   E pA 
G·m 1 ·m 2 ·
1
rA

rA

- G·m 1 ·m 2 ·
 
F g ·d r 
1


rA


G ·m 1 ·m 2
r
2
rA
1 
dr  G ·m 1 ·m 2   
r 
0
 E p   E pA  G ·m 1 ·m 2 ·
1
rA
convenio : E p   0
E pA 
 G ·m 1 ·m 2
rA
 Ec. energía
potencial
para sistema
de dos masas
3. ENERGÍA EN EL CAMPO GRAVITATORIO

1.
2.
3.
4.
PARA APLICAR CORRECTAMENTE LA ECUACIÓN
EN UN SISTEMA DE MASAS PUNTUALES HAY
QUE TENER EN CUENTA QUE:
Ep<0  PORQUE TOMAMOS EL 0 EN EL INFINITO Y, AL ACERCARSE LAS
MASAS, DISMINUYE LA ENERGÍA POTENCIAL
CUANDO DOS MASAS SE ALEJAN, AUMENTA LA ENERGÍA POTENCIAL
GRAVITATORIA (NECESITO TRABAJO EXTERNO PARA PODER SEPARARLAS)
SI TENEMOS MÁS DE DOS MASAS, Ep SE CALCULA SUMANDO TODAS LAS
PAREJAS QUE PUEDAN FORMARSE
EL TRABAJO EXTERIOR PARA ACERCAR O ALEJAR MASAS SE CALCULA CON
Ep
E pA   G
m 1 ·m 2
rA
3. ENERGÍA EN EL CAMPO GRAVITATORIO

La energía potencial de una masa en un punto
del campo gravitatorio es el trabajo que el
campo realiza sobre ella cuando la traslada
desde el infinito hasta ese punto, cambiado de
signo
E p ( r )  W   r   
r


 
r 

F g ·d r   m  g ·d r

La energía potencial no es una magnitud
exclusiva del campo: también depende de la
masa m que se introduce en él
3. ENERGÍA EN EL CAMPO GRAVITATORIO

A partir de la energía potencial se obtiene la
segunda magnitud característica del campo: el
potencial gravitatorio (energía potencial que la
unidad de masa adquiere al ser colocada en
dicho punto)
Vg ( r ) 
Ep ( r )
m
 en el S.I. se mide en J/kg
3. ENERGÍA EN EL CAMPO GRAVITATORIO
Potencial gravitatorio creado por una masa
puntual o esférica de masa M:
Vg ( r )  
G ·M ·m / r

 G ·M
m

r
Para calcular el potencial de varias masas
puntuales: Principio de superposición:
n
V g  V g 1  V g 2  ... 
V
i 1
gi
3. ENERGÍA EN EL CAMPO GRAVITATORIO

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES: FORMADA
POR PUNTOS CONTIGUOS DE CAMPO QUE
TIENEN EL MISMO POTENCIAL. EL VECTOR
INTENSIDAD DE CAMPO ES PERPENDICULAR A
ESTAS SUPERFICIES Y SE DIRIGE HACIA
POTENCIALES DECRECIENTES
3. ENERGÍA EN EL CAMPO GRAVITATORIO

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN
CUERPO DENTRO DE UN CAMPO GRAVITATORIO:
Em = Ec + Ep  Em=Ec+Ep

Cuerpo que se mueve bajo la acción de un campo
 - E  E - E
gravitatorio: W
Si la única fuerza presente es la gravitatoria, el
teorema de la energía cinética garantiza que
fuerza gravedad

p
p1
p2
W 1 2   E c  E c 2  E c 1

CUANDO UN CUERPO SE MUEVE BAJO LA ACCIÓN
EXCLUSIVA DE LAS FUERZAS GRAVITATORIAS, Em= cte
Ec1+Ep1=Ec2+Ep2  Em = cte  Em=0
4. CAMPO GRAVITATORIO DE LA TIERRA

FORMA DE LA TIERRA: APROXIMADAMENTE
ESFÉRICA  GRAVEDAD EXTERIOR DEPENDE
DE r Y DE MT
g  G
MT
r

2
para r  rT
VALOR DE LA GRAVEDAD EN CUALQUIER PUNTO
DE LA SUPERFICIE TERRESTRE:
g G
MT
RT
2
 9 ,8 m/s
2
4. CAMPO GRAVITATORIO DE LA TIERRA

PESO DE UN CUERPO = FUERZA CON QUE ES
ATRAÍDO HACIA EL CENTRO DE LA TIERRA POR
LA GRAVEDAD. Para un cuerpo pequeño de
masa m próximo a la superficie:


M T ·m 
P  G
u r  m· g 0
2
RT

La diferencia entre MT y m hace que la posición
de la tierra no se altere, mientras los cuerpos
ejecutan movimiento de caída libre con a = g0
4. CAMPO GRAVITATORIO DE LA TIERRA

VARIACIÓN DE LA GRAVEDAD CON LA ALTURA:
g G
MT
r

Sabiendo que
g G
G
2
G
( RT  h )
2
MT
g0  G
MT
( RT  h )
2
MT
RT
2
M T RT
2
2
RT ( RT  h )
2
 g0
RT
2
( RT  h )
2
4. CAMPO GRAVITATORIO DE LA TIERRA

Situación de ingravidez de los astronautas:
Los astronautas se encuentran en ingravidez
aparente, lo que no significa que no haya
gravedad, sino que la fuerza gravitatoria que la
Tierra ejerce sobre ellos se utiliza para
describir su órbita circular (g hace de
aceleración centrípeta para que describan su
m.c.u. con la velocidad que llevan)
LA FUERZA DE ATRACCIÓN GRAVITATORIA TERRESTRE PUEDE HACER CAER
LOS CUERPOS SOBRE LA TIERRA O HACERLES DESCRIBIR ÓRBITAS A SU
ALREDEDOR. TODO DEPENDE DE LA VELOCIDAD DE ESTOS CUERPOS
(MÓDULO Y DIRECCIÓN)
5. ENERGÍA POTENCIAL Y VESCAPE

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA:
E p  G

M T ·m
 G
r
M T ·m
RT  h
EL VALOR DE LA ENERGÍA POTENCIAL AUMENTA
DESDE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA:
E p  E p  E p0
 G ·M T ·m

  
RT  h
RT

G ·M T ·m
Si h  R T  R T ( R T  h )  R T
E p 
G ·M T
Tomando

RT
2

M T ·m ·h
G

RT ( RT  h )

2
m ·h  m ·g 0 ·h  E p  E p 0  m ·g 0 ·h
como referencia
E p0  0  E p  m· g 0 ·h
¿podemos decir que siempre se cumple Ep=m·g0·h?
5. ENERGÍA POTENCIAL Y VESCAPE



CUANDO SE LANZA UN CUERPO DESDE LA SUPERFICIE DE UN
PLANETA, FUERZA DE ATRACCIÓN GRAVITATORIA HACE QUE SU
VELOCIDAD DISMINUYA CONFORME SE ALEJA (INTERCAMBIA
Ec POR Ep)
SE CONSIDERA QUE UN CUERPO ESCAPA DEL CAMPO
GRAVITATORIO CUANDO SE ANULA SU ENERGÍA MECÁNICA
SI QUEREMOS QUE UN CUERPO ESCAPE DE LA ATRACCIÓN DE
UN PLANETA, HAY QUE DARLE UNA VELOCIDAD DE
LANZAMIENTO QUE PERMITA ESTO:
Em= Ec + Ep = 0  Ec = - Ep
1
2
2
mv e 
G ·M ·m
r
 ve 
2 GM
r
 ve  f ( M , r )  ve  f (m )
5. ENERGÍA POTENCIAL Y VESCAPE

VELOCIDAD DE ESCAPE: Velocidad mínima que debe
alcanzar un cuerpo para escapar de un campo
gravitatorio
 Sabiendo que en un campo gravitatorio Em= Ec + Ep
(Ec>0 y Ep<0), para que Em≥0 y la masa pueda
moverse con libertad, ha de alcanzar una ve que
anule Em  Em= Ec + Ep = 0  Ec = - Ep
1
2

2
mv e 
G ·M ·m
r
 ve 
2 GM
r
 ve  f ( M , r )  ve  f (m )
Cuando v≥ve, Ec contrarresta a Ep y el cuerpo deja de
estar ligado al campo gravitatorio. Para cuerpos
próximos a la superficie, v  2·G ·M  2·g ·R  11 , 2 km/s
T
e
RT
0
T
6. MOVIMIENTO DE SATÉLITES ARTIFICIALES

1.
2.
3.
4.
SIGUEN ÓRBITAS CIRCULARES O ELÍPTICAS.
REQUISITOS QUE HAN DE CUMPLIR:
ÓRBITAS PLANAS. SI SON ELÍPTICAS, PERIGEO ES EL
PUNTO MÁS PRÓXIMO A LA TIERRA Y APOGEO EL
MÁS ALEJADO
EL PLANO DE LA ÓRBITA CONTIENE AL CENTRO DE
LA TIERRA
INCLINACIÓN DEL PLANO ORBITAL DE CADA SATÉLITE
ES FIJA
LA VELOCIDAD DEPENDE DE TAMAÑO Y FORMA DE
LA ÓRBITA PERO NO DE LAS CARACTERÍSTICAS DEL
SATÉLITE
6. MOVIMIENTO DE SATÉLITES ARTIFICIALES

ESTABILIDAD DINÁMICA DE UN SATÉLITE EN ÓRBITA
CIRCULAR:


CENTRO DE LA TIERRA = CENTRO DE LA ÓRBITA
PARA QUE LA ÓRBITA SEA ESTABLE: Fg = Fc = m·ac  Si no
se cumple esto, el satélite se aleja o se acerca a la tierra:
ÓRBITA ELÍPTICA
6. MOVIMIENTO DE SATÉLITES ARTIFICIALES

DE LA CONDICIÓN DE ESTABILIDAD DINÁMICA Fg=Fc
DE UNA ÓRBITA CIRCULAR SE DEDUCE QUE
G
Mp ·m
R

m
2
R
ASÍ:
v orbital 

2
v
G ·Mp
R

G ·Mp
Rp  h
h = altura de la órbita medida desde la superficie del planeta
6. MOVIMIENTO DE SATÉLITES ARTIFICIALES

La velocidad del satélite depende de la masa del
planeta y del radio de la órbita pero no de la masa m
del satélite
v orbital 

G ·Mp
G ·Mp

Rp  h
R
El período orbital se calcula teniendo en cuenta que la
órbita es una circunferencia de longitud 2·P·R:
T 
2·P ·R
v

2·P ·R
G ·Mp
R
 2·P ·
R
3
G ·Mp
6. MOVIMIENTO DE SATÉLITES ARTIFICIALES

CÁLCULO DEL PERÍODO (T) proporciona expresión
acorde a la tercera ley de Kepler
T 
2·P ·R
v

2·P ·R
G ·Mp
 2·P ·
R
3
G ·Mp
R


FRECUENCIA ORBITAL f=1/T
VELOCIDAD ANGULAR w = 2·P·f =2·P/T
6. MOVIMIENTO DE SATÉLITES ARTIFICIALES

MOMENTO LINEAL Y MOMENTO ANGULAR DE UN
SATÉLITE EN ÓRBITA:



 
m ·r x v
Al tratarse de una fuerza central, L =cte =
Si la órbita es circular, los vectores r y v son perpendiculares
(sen 90=1)  L = m·r·v
Hay que tener en cuenta que el momento lineal cambia
continuamente de dirección (órbita circular), pero su módulo
sí se mantiene constante:


p  cte ; p  p  m ·v  cte
6. MOVIMIENTO DE SATÉLITES ARTIFICIALES

ENERGÍA MECÁNICA DE UN SATÉLITE EN ÓRBITA:
Em  Ec  Ep 
1
mv  G
2
Mp ·m
2
Para satélite
 cte (gravedad
 fuerza conservati va)
R
atrapado en el campo gravitator
de radio R : v 
Si describe órbita circular
io : Em  0
G·Mp
R
Por tanto
: Ec 
1
mv
2
Así : Em  Ec  Ep 
2

1
2
 Ep
2
m
G·Mp

R
 Ep 
 Ep
2
Ep
2
 Em 
 G ·Mp ·m
2R
6. MOVIMIENTO DE SATÉLITES ARTIFICIALES


TRABAJO DE ESCAPE DESDE UNA ÓRBITA: Un cuerpo
atrapado en un campo gravitatorio puede escapar de
él anulando su energía mecánica: Em= 0
Así, si el cuerpo está en una órbita circular de altura h, el
trabajo de escape es el aumento de energía mecánica hasta
llegar a Em=0:
W escape  0  E m , órbita  0 
 G ·Mp ·m
2 ( Rp  h )

G ·Mp ·m
2 ( Rp  h )
7. PUESTA EN ÓRBITA DE UN SATÉLITE

SE REQUIERE UN MÍNIMO DE DOS ETAPAS:
1.
2.

IMPULSO DESDE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA HASTA LA
ALTURA ORBITAL (CON COHETE DE PROPULSIÓN)
SE COMUNICA AL SATÉLITE UN IMPULSO TANGENCIAL
ADECUADO CON PROPULSORES PARA CONSEGUIR LA
ÓRBITA CIRCULAR O ELÍPTICA QUE SE DESEA
EL LUGAR MÁS FAVORABLE PARA LANZAR UN
SATÉLITE ES EL ECUADOR POR DOS RAZONES:
1.
2.
TIENE RADIO MÁXIMO (MENOR GRAVEDAD)
TIENE VELOCIDAD LINEAL MÁXIMA (COHETES LANZADOS
NECESITAN UN IMPULSO MENOR)
7. PUESTA EN ÓRBITA DE UN SATÉLITE

ENERGÍA DE PUESTA EN ÓRBITA (energía mínima para poner
un satélite en una órbita circular de radio R):
W ext   Em  E m , órbita  E m , suelo 



 G ·M T ·m
2R
RT
 1
1 
 G ·M T ·m 


R
2
R
 T

Este trabajo es positivo y se realiza en contra del campo
gravitatorio ya que Em,órbita > Em,suelo
CAMBIO DE ÓRBITA: Cada órbita estable tiene una Em fija. Para
cualquier cambio de órbita hay que realizar un trabajo
adicional equivalente a Em=Em,f – Em,i
W ext   E m 

 G ·M T ·m
 G ·M T ·m
2 RF

 G ·M T ·m
2 Ri

G ·M T ·m  1
1 



2
R
R
F 
 i
Wext > 0 cuando el satélite salta a una órbita mayor
8. CLASIFICACIÓN ORBITAL DE LOS SATÉLITES ARTIFICIALES

CLASIFICACIÓN EN 3 GRUPOS SEGÚN SU ALTURA:

LEO (Low earth orbit)  Próximos a la superficie
(200-1500 km). A este grupo pertenece la ISS

MEO (Medium earth orbit)  Altura intermedia

GEO (Geostationary orbit)  Altura aproximada :36000 km.
Son los más lentos. Se utilizan como satélites metereológicos
(Meteosat) y de comunicaciones
8. CLASIFICACIÓN ORBITAL DE LOS SATÉLITES ARTIFICIALES

SATÉLITES GEOSÍNCRONOS: SU PERÍODO ORBITAL ES
IGUAL O MUY PRÓXIMO AL DE ROTACIÓN DE LA TIERRA.


PUEDEN DESCRIBIR ÓRBITAS CIRCULARES O ELÍPTICAS
GRUPO ESPECIAL: SATÉLITES GEOESTACIONARIOS
(SON SATÉLITES
GEOSÍNCRONOS CUYA ÓRBITA ES CIRCULAR Y ECUATORIAL). Vistos desde
la superficie de la tierra, parecen estar inmóviles
 Para
que un satélite parezca estar fijo, ha de girar
solidariamente a la tierra. Además, el plano de la órbita
debe contener el centro de la tierra  SÓLO EXISTE UNA
ÓRBITA QUE CUMPLA ESTE REQUISITO: CIRCULAR Y
ECUATORIAL
8. CLASIFICACIÓN ORBITAL DE LOS SATÉLITES ARTIFICIALES

SATÉLITES GEOESTACIONARIOS: ÓRBITA CIRCULAR Y
ECUATORIAL.
G ·M T
 RECORDANDO QUE v orbita 
l
R
Y
QUE TENEMOS UN MCU:
v
2·P ·R
T
 OBTENEMOS
R GEO 

3
EL RADIO DE ESTOS SATÉLITES:
G ·M T ·T GEO
4P
2
2
; sabiendo
que TGEO  T TIERRA  R GEO  42168 km
Los GEO tienen inclinación 0º (siguen órbitas ecuatoriales), y todos
tienen la misma altura: hGEO=RGEO-RT=42 168 – 6 370 = 35 790 km
8. CLASIFICACIÓN ORBITAL DE LOS SATÉLITES ARTIFICIALES

SATÉLITES EN ÓRBITA ELÍPTICA: LA DISTANCIA AL ASTRO
CENTRAL ES VARIABLE, PERO LA ENERGÍA MECÁNICA Y
EL MOMENTO ANGULAR SE MANTIENEN CONSTANTES.
8. CLASIFICACIÓN ORBITAL DE LOS SATÉLITES ARTIFICIALES
TIPO DE ÓRBITA
ENERGÍA MECÁNICA TOTAL
MOMENTO ANGULAR
CIRCULAR
Em 
 G ·m ·M
 cte
2R
  
L  r x p  cte
VELOCIDAD ORBITAL
v
G ·M
 cte
R
MÓDULO MOMENTO LINEAL
Ec y Ep

p  m ·v  cte
Ep   2·Ec  cte
ELÍPTICA
Em 
 G ·m ·M
 cte
2a
  
L  r x p  cte
v
2 1
G ·M   
r a

p  m ·v  cte
Ec  cte ; Ep  cte
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